Općenito, linearna jednadžba ima oblik:

Jednadžba ima rješenje: ako je barem jedan od koeficijenata nepoznanica različit od nule. U tom slučaju, bilo koji -dimenzionalni vektor naziva se rješenjem jednadžbe ako, kada se zamijene njegove koordinate, jednadžba postaje identitet.

Opće karakteristike riješenog sustava jednadžbi

Primjer 20.1

Opišite sustav jednadžbi.

Riješenje:

1. Postoji li proturječna jednadžba?(Ako su koeficijenti, u ovom slučaju jednadžba ima oblik: i zove se kontroverzno.)

• Ako sustav sadrži nešto proturječno, onda je takav sustav nekonzistentan i nema rješenja.

2. Pronađite sve dopuštene varijable. (Nepoznati se zovedopuštena za sustav jednadžbi, ako je uključen u jednu od jednadžbi sustava s koeficijentom +1, ali nije uključen u ostale jednadžbe (tj. uključen je s koeficijentom jednakim nuli).

3. Je li sustav jednadžbi riješen? (Sustav jednadžbi naziva se riješenim, ako svaka jednadžba sustava sadrži riješenu nepoznanicu, među kojima nema podudarnih)

Formiraju se razriješene nepoznanice, uzete po jedna iz svake jednadžbe sustava puni skup riješenih nepoznanica sustava. (u našem primjeru ovo je)

Također se pozivaju dopuštene nepoznanice uključene u kompletan skup Osnovni, temeljni(), i nije uključeno u set - besplatno ().

U općem slučaju riješeni sustav jednadžbi ima oblik:

U ovoj fazi, glavna stvar je razumjeti što je to riješeno nepoznato(uključeno u osnovicu i besplatno).

Općenito Posebno Osnovna rješenja

Općenito rješenje razriješeni sustav jednadžbi je skup izraza razriješenih nepoznanica kroz slobodne članove i slobodne nepoznanice:

Privatna odluka naziva se rješenje koje se dobiva iz općeg rješenja za specifične vrijednosti slobodnih varijabli i nepoznanica.

Osnovno rješenje je partikularno rješenje dobiveno iz općeg za nulte vrijednosti slobodnih varijabli.

• Osnovno rješenje (vektor) naziva se degenerirati, ako je broj njegovih koordinata različitih od nule manji od broja dopuštenih nepoznanica.
• Osnovno rješenje tzv nedegeneriran, ako je broj njegovih koordinata različitih od nule jednak broju dopuštenih nepoznanica sustava uključenih u kompletan skup.

Teorem (1)

Riješeni sustav jednadžbi uvijek je konzistentan(jer ima barem jedno rješenje); Štoviše, ako sustav nema slobodnih nepoznanica,(odnosno u sustavu jednadžbi sve dopuštene ulaze u bazu) onda se definira(ima jedinstveno rješenje); ako postoji barem jedna slobodna varijabla, tada sustav nije definiran(ima beskonačan broj rješenja).

Primjer 1. Naći opće, osnovno i neko posebno rješenje sustava jednadžbi:

Riješenje:

1. Provjeravamo je li sustav autoriziran?

• Sustav je razriješen (budući da svaka od jednadžbi sadrži razriješenu nepoznanicu)

2. U skup uključujemo dopuštene nepoznanice - po jednu iz svake jednadžbe.

3. Zapisujemo opće rješenje ovisno o tome koje smo dopuštene nepoznanice uključili u skup.

4. Pronalaženje određenog rješenja. Da bismo to učinili, izjednačimo slobodne varijable koje nismo uključili u skup s proizvoljnim brojevima.

Odgovor: privatno rješenje(jedna od opcija)

5. Pronalaženje osnovnog rješenja. Da bismo to učinili, izjednačavamo slobodne varijable koje nismo uključili u skup s nulom.

Elementarne transformacije linearnih jednadžbi

Sustavi linearnih jednadžbi se elementarnim transformacijama svode na ekvivalentne riješene sustave.

Teorem (2)

Ako ijedan pomnožite jednadžbu sustava nekim brojem različitim od nule, a ostatak jednadžbi ostaviti nepromijenjenim, zatim . (odnosno, ako pomnožite lijevu i desnu stranu jednadžbe s istim brojem, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu ovoj)

Teorem (3)

Ako dodajte još jednu bilo kojoj jednadžbi sustava, i ostavite sve ostale jednadžbe nepromijenjene dobivamo sustav ekvivalentan ovome. (odnosno, ako zbrojite dvije jednadžbe (zbrajanjem njihove lijeve i desne strane) dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna podacima)

Posljedica teorema (2 i 3)

Ako dodati još jednu jednadžbu jednadžbi pomnoženoj s određenim brojem, a sve ostale jednadžbe ostaviti nepromijenjene, tada dobivamo sustav ekvivalentan ovome.

Formule za preračunavanje koeficijenata sustava

Ako imamo sustav jednadžbi i želimo ga transformirati u riješeni sustav jednadžbi, u tome će nam pomoći Jordan-Gaussova metoda.

Jordanova transformacija s razlučujućim elementom omogućuje dobivanje razriješene nepoznanice za sustav jednadžbi u jednadžbi s brojem. (primjer 2).

Jordanova transformacija se sastoji od elementarnih transformacija dva tipa:

Recimo da nepoznanicu u donjoj jednadžbi želimo učiniti razriješenom nepoznanicom. Da bismo to učinili, moramo podijeliti s , tako da je zbroj .

Primjer 2. Preračunajmo koeficijente sustava

Kada se jednadžba s brojem podijeli s , njezini se koeficijenti ponovno izračunavaju pomoću formula:

Da biste isključili iz jednadžbe s brojem , morate jednadžbu s brojem pomnožiti s i dodati ovoj jednadžbi.

Teorem (4) O smanjenju broja jednadžbi sustava.

Ako sustav jednadžbi sadrži trivijalnu jednadžbu, tada se ona može isključiti iz sustava, te će se dobiti sustav ekvivalentan izvornom.

Teorem (5) O nekompatibilnosti sustava jednadžbi.

Ako sustav jednadžbi sadrži nekonzistentnu jednadžbu, onda je on nekonzistentan.

Algoritam Jordan-Gaussove metode

Algoritam za rješavanje sustava jednadžbi Jordan-Gaussovom metodom sastoji se od niza sličnih koraka, u svakom od kojih se radnje izvode sljedećim redoslijedom:

1. Provjerava je li sustav nedosljedan. Ako sustav sadrži nekonzistentnu jednadžbu, onda je nekonzistentan.
2. Provjerava se mogućnost smanjenja broja jednadžbi. Ako sustav sadrži trivijalnu jednadžbu, ona je prekrižena.
3. Ako je sustav jednadžbi riješen, zapišite opće rješenje sustava i po potrebi partikularna rješenja.
4. Ako sustav nije razlučen, tada se u jednadžbi koja ne sadrži razriješenu nepoznanicu odabire razlučujući element i s tim se elementom izvodi Jordanova transformacija.
5. Zatim se vratite na točku 1

Primjer 3 Riješite sustav jednadžbi Jordan-Gaussovom metodom.

Pronaći: dva opća i dva odgovarajuća osnovna rješenja

Riješenje:

Izračuni su prikazani u tablici u nastavku:

Desno od tablice nalaze se radnje na jednadžbama. Strelice pokazuju kojoj se jednadžbi dodaje jednadžba s razrješujućim elementom, pomnožena s odgovarajućim faktorom.

Prva tri retka tablice sadrže koeficijente nepoznanica i desne strane izvornog sustava. Rezultati prve Jordanove transformacije s razlučnim elementom jednakim jedan dani su u recima 4, 5, 6. Rezultati druge Jordanove transformacije s razlučnim elementom jednakim (-1) dani su u recima 7, 8, 9. Budući da je treća jednadžba trivijalna, ne može se uzeti u obzir.

Razmotrimo sustav od m linearnih jednadžbi koji sadrži n varijabli

(1)

Ovaj sustav se može ukratko napisati kao:

Ili u matričnom obliku: Ax = B.

U problemima linearnog programiranja razmatraju se nesigurni sustavi jednadžbi, tj. ima beskonačan broj rješenja. Tada je rang r matrice sustava

,
manji od broja varijabli: rn. To znači da je najveći broj linearno neovisnih jednadžbi u (1) jednak r. Pretpostavit ćemo da je u sustavu (1) broj linearno neovisnih jednadžbi jednak m, tj. r = m. Iz algebre je poznato da u ovom slučaju postoji m varijabli, koeficijenata koji u sustavu (1) tvore matricu s determinantom različitom od nule. Takva se determinanta naziva bazični minor, a pripadajuće varijable bazične. Preostalih n – m varijabli nazivamo slobodnim varijablama. Osnovne varijable moguće je izraziti preko slobodnih varijabli pomoću jednadžbi sustava (1), slobodnim varijablama dodijeliti proizvoljne vrijednosti i pronaći vrijednosti osnovnih varijabli pomoću Cramerovih formula. Rezultat je jedno od rješenja sustava (1).

Definicija 1. Rješenje sustava linearnih jednadžbi (1), dobiveno s nultim vrijednostima slobodnih varijabli, naziva se osnovnim rješenjem.

Osnovne varijable, a time i komponente različite od nule osnovnog rješenja, odgovaraju linearno nezavisnim stupcima matrice koeficijenata sustava linearnih jednadžbi. To nam omogućuje da damo drugačiju definiciju osnovnog rješenja sustava linearnih jednadžbi.

Definicija 2. Osnovno rješenje sustava linearnih jednadžbi je rješenje tog sustava čije komponente različite od nule odgovaraju linearno neovisnim stupcima matrice koeficijenata tog sustava.

Osnovne varijable mogu biti različite skupine koje sadrže m varijabli od n varijabli navedenih u (1). Najveći mogući broj načina odabira m varijabli iz skupa koji sadrži n varijabli jednak je broju kombinacija . Međutim, mogu postojati slučajevi kada je odgovarajuća determinanta matrice sastavljene od koeficijenata za odabranih m varijabli u sustavu (1) jednaka nuli. Stoga broj skupina osnovnih varijabli ne prelazi . Za svaku skupinu osnovnih varijabli može se pronaći odgovarajuće osnovno rješenje sustava (1). Iz gornjeg obrazloženja slijedi teorem:

Teorema. Broj osnovnih rješenja neodređenog sustava (1), u kojem je rang matrice sustavar = m < nne prelazi .

Primjer. Nađi sva osnovna rješenja sustava jednadžbi (2):

(2)

Riješenje. Očito je r=m=2, n=4. Ukupan broj grupa osnovnih varijabli nije veći od = 6. Međutim, prvi, drugi i četvrti stupac koeficijenata varijabli u matrici sustava su proporcionalni, stoga su determinante drugog reda, sastavljene od koeficijenata bilo koja dva od ta tri stupca, jednake nuli. Preostali setovi:
,
I
.

Za skup varijabli
determinanta sastavljena od njihovih koeficijenata d = = –2 0. Prema tome, ove se varijable mogu smatrati osnovnim varijablama,
– besplatno. Dodijelimo nulte vrijednosti slobodnim varijablama:
Rješavamo sustav:

(3)
, gdje
.

Gaussova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati je li sustav konzistentan ili ne dok se ne provedu sve transformacije potrebne u Gaussovoj metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sustave sa slovnim koeficijentima.

Razmotrimo druge metode za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ove metode koriste koncept ranga matrice i reduciraju rješenje bilo kojeg konzistentnog sustava na rješenje sustava na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.

Primjer 1. Pronađite opće rješenje sljedećeg sustava linearnih jednadžbi koristeći temeljni sustav rješenja reduciranog homogenog sustava i posebno rješenje nehomogenog sustava.

1. Izrada matrice A i matrica proširenog sustava (1)

2. Istražite sustav (1) za zajedništvo. Da bismo to učinili, pronalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se pokaže da , tada sustav (1) nekompatibilan. Ako to dobijemo , onda je ovaj sustav dosljedan i mi ćemo to riješiti. (Studija kompatibilnosti temelji se na Kronecker-Capellijevom teoremu).

a. Pronašli smo rA.

Pronaći rA, razmotrit ćemo sekvencijalno različite minore prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.

M1=1≠0 (uzimamo 1 iz gornjeg lijevog kuta matrice A).

Mi graničimo M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. . Nastavljamo do granice M1 drugi redak i treći stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada obrubljujemo minor koji nije nula M2′ druga narudžba.

Imamo: (pošto su prva dva stupca ista)

(jer su drugi i treći red proporcionalni).

Vidimo to rA=2, a je bazni minor matrice A.

b. Pronašli smo.

Sasvim osnovni minor M2′ matrice A rub sa stupcem slobodnih pojmova i svim redovima (imamo samo zadnji red).

. Iz toga slijedi da M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Jer M2′- baza minor matrice A sustava (2) , onda je ovaj sustav ekvivalentan sustavu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednadžbe sustava (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).

(3)

Budući da je osnovni minor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

U ovom sustavu postoje dvije slobodne nepoznanice ( x2 I x4 ). Zato FSR sustava (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznanice (4) vrijednosti prije svega x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .

Na x2=1 , x4=0 dobivamo:

.

Ovaj sustav već ima jedina stvar rješenje (može se pronaći pomoću Cramerovog pravila ili bilo koje druge metode). Oduzimajući prvu od druge jednadžbe, dobivamo:

Njezino će rješenje biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 I x4 , koje smo dodali, dobivamo prvo temeljno rješenje sustava (2) : .

Sada vjerujemo u (4) x2=0 , x4=1 . Dobivamo:

.

Ovaj sustav rješavamo koristeći Cramerov teorem:

.

Dobivamo drugo temeljno rješenje sustava (2) : .

Rješenja β1 , β2 i našminkati se FSR sustava (2) . Tada će njegovo opće rješenje biti

γ= C1 β1+S2β2=S1(‑1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2)

Ovdje C1 , C2 – proizvoljne konstante.

4. Nađimo jedan privatna riješenje heterogeni sustav(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sustava (1) Razmotrimo ekvivalentni sustav (5) , koji se sastoji od prve dvije jednadžbe sustava (1) .

(5)

Pomaknimo slobodne nepoznanice na desnu stranu x2 I x4.

(6)

Dajmo besplatne nepoznanice x2 I x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i stavi ih unutra (6) . Uhvatimo sustav

Ovaj sustav ima jedinstveno rješenje (budući da njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (koristeći Cramerov teorem ili Gaussovu metodu), dobivamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 I x4 , dobivamo partikularno rješenje nehomogenog sustava(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sada samo preostaje to zapisati opće rješenje α nehomogenog sustava(1) : jednako je zbroju privatno rješenje ovaj sustav i opće rješenje njegovog svedenog homogenog sustava (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).

To znači: (7)

6. Ispitivanje. Da provjerite jeste li ispravno riješili sustav (1) , trebamo opće rješenje (7) zamijeniti u (1) . Ako se svaka jednadžba pretvori u identitet ( C1 I C2 moraju biti uništeni), tada je rješenje pronađeno ispravno.

Mi ćemo zamijeniti (7) npr. samo posljednja jednadžba sustava (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Dobivamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1

(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1

Gdje je –1=–1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednadžbama sustava (1) .

Komentar. Provjera je obično prilično glomazna. Može se preporučiti sljedeća “djelomična provjera”: u općem rješenju sustava (1) dodijeliti neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijeniti dobiveno parcijalno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednadžbe iz (1) , koji nisu bili uključeni u (5) ). Ako dobijete identitete, onda vjerojatnije, sustavno rješenje (1) pronađen ispravno (ali takva provjera ne daje potpuno jamstvo ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobivamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednadžbu sustava (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.

Primjer 2. Pronađite opće rješenje sustava linearnih jednadžbi (1) , izražavajući osnovne nepoznanice u terminima slobodnih.

Riješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sustava (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednadžbe) i smatramo sustav koji se sastoji od njih, ekvivalentan sustavu (1).

Prenesimo slobodne nepoznanice na desne strane ovih jednadžbi.

sustav (9) Rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući desne strane slobodnim članovima.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

opcija 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opcija 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opcija 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opcija 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Ovaj mrežni kalkulator pronalazi opće rješenje sustava linearnih jednadžbi pomoću Jordan-Gaussove metode. Daje se detaljno rješenje. Za izračun odaberite broj jednadžbi i broj varijabli. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na gumb "Izračunaj".

U nastavku pogledajte teorijski dio pronalaženja rješenja sustava linearnih jednadžbi pomoću Jordan-Gaussove metode.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Predstavljanje brojeva:

Cijeli brojevi i/ili obični razlomci
Cijeli brojevi i/ili decimale

Broj mjesta iza decimalnog razdjelnika

×

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Upute za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimale. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Jordan-Gaussova metoda

Jordan-Gaussova metoda je metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi i također metoda za pronalaženje inverzne matrice. Ova metoda je modifikacija Gaussove metode.

Prva faza Jordan-Gaussove metode slična je Gaussovoj metodi (izravni Gaussov potez) koju možete detaljno pogledati na stranici "Gaussova metoda online". Drugi stupanj (obrnuti) Jordan-Gaussove metode sastoji se u postavljanju na nulu svih elemenata matrice koeficijenata sustava linearnih jednadžbi iznad vodećih elemenata. Imajte na umu da ovdje razmatramo proizvoljan sustav linearnih jednadžbi, gdje broj varijabli ne mora biti jednak broju ograničenja.

Razmotrimo sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

(1)

Zapišimo sustav (1) u matričnom obliku:

Ax=b

(2)

(3)

A- koja se naziva matrica koeficijenata sustava, b− desna strana ograničenja, x− vektor varijabli koje treba pronaći. Neka rang( A)=str.

Izgradimo proširenu matricu sustava:

Ako su ,..., jednaki nuli, tada sustav linearnih jednadžbi ima rješenje, ali ako je barem jedan od tih brojeva različit od nule, tada je sustav nekonzistentan. Drugim riječima, sustav (2) je konzistentan ako i samo ako je rang matrice A jednak rangu proširene matrice ( A|b).

Neka . Zatim, obrnutim redoslijedom, počevši od vodećeg elementa, primjenjujemo obrnuti Gaussov pomak. Bit obrnutog poteza je resetiranje svih elemenata proširene matrice koji su viši od vodećih elemenata.

Dakle, poništimo sve elemente u stupcu str, iznad elementa. Budući da je ≠0, zbrajamo retke 1,2,... p− 1 s linijom str, pomnoženo s odnosno.

Proširena matrica će imati sljedeći oblik:

Podijelite svaki red s njegovim odgovarajućim vodećim elementom (ako vodeći element postoji):

Tada se rješenje može napisati na sljedeći način:

Vrsta snimanja matrice: Ax=b, Gdje

Označimo sa a ij elementi ja-th line i j th stupac.

Prva razina. Gaussov pomak naprijed

a jedanaest . Da biste to učinili, dodajte retke 2,3 s retkom 1, pomnoženo s 1/2, -3/2, redom:

Isključimo elemente 3. stupca matrice iznad elementa a 33. Da biste to učinili, zbrojite retke 1, 2 s retkom 3, pomnoženo s -3/2, odnosno -5/4:

Svaki redak matrice dijelimo s odgovarajućim vodećim elementom (ako vodeći element postoji):

Vrsta snimanja matrice: Ax=b, Gdje

Označimo sa a ij elementi ja-th line i j th stupac.

Prva razina. Direktan Gaussov potez.

Isključimo elemente 1. stupca matrice ispod elementa a jedanaest . Da biste to učinili, dodajte retke 2,3 s retkom 1, pomnoženo s 4/3, odnosno 5/3:

Druga faza. Gaussov obrat

Isključimo elemente 2. stupca matrice iznad elementa a 22. Da biste to učinili, zbrojite redak 1 s redkom 2 pomnoženim s -3/10:

Izrazimo varijable x 1 , x 2 u odnosu na druge varijable.

Tada se vektorsko rješenje može prikazati na sljedeći način:

,

x 3 je proizvoljan realan broj.

Gdje x* - jedno od rješenja nehomogenog sustava (2) (na primjer (4)), (E−A+A)čini jezgru (nulti prostor) matrice A.

Napravimo kosturnu dekompoziciju matrice (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Gdje Q n×n−r- matrica ranga (Q)=n−r, S n−r×n-rang matrica (S)=n−r.

Tada se (13) može napisati u sljedećem obliku:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Gdje k=Sz.

Tako, postupak pronalaženja općeg rješenja sustavi linearnih jednadžbi koji koriste pseudoinverznu matricu mogu se prikazati u sljedećem obliku:

1. Izračunavanje pseudoinverzne matrice A + .
2. Izračunavamo posebno rješenje nehomogenog sustava linearnih jednadžbi (2): x*=A + b.
3. Provjeravamo kompatibilnost sustava. Da bismo to učinili, izračunavamo A.A. + b. Ako A.A. + b≠b, onda je sustav nedosljedan. U protivnom nastavljamo postupak.
4. Hajdemo shvatiti E−A+A.
5. Radi razgradnju skeleta E−A + A=Q·S.
6. Izrada rješenja

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi online

Online kalkulator omogućuje vam pronalaženje općeg rješenja sustava linearnih jednadžbi s detaljnim objašnjenjima.