Rješenje Bernoullijeve jednadžbe. Bernoullijeva jednadžba

Diferencijalna jednadžba oblika , gdje je , naziva se Bernoullijeva jednadžba.

Pod pretpostavkom da obje strane Bernoullijeve jednadžbe podijelimo s . Kao rezultat toga dobivamo: (8.1) Uvedimo novu funkciju . Zatim . Pomnožimo jednadžbu (8.1) s i prijeđimo na funkciju z(x): , tj. za funkciju z(x) dobivena linearna nehomogena jednadžba 1. reda. Ova se jednadžba rješava pomoću metoda opisanih u prethodnom paragrafu. Umjesto toga zamijenimo u njegovo opće rješenje z(x) izrazu, dobivamo opći integral Bernoullijeve jednadžbe, koji se lako rješava u odnosu na g. Kada se doda otopina y(x)=0. Bernoullijeva jednadžba također se može riješiti bez prijelaza na linearnu jednadžbu supstitucijom, već Bernoullijevom metodom.

Diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima.

Definicija. Ako je u jednadžbi M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(9.1) lijeva strana je totalni diferencijal neke funkcije U(x,y), onda se naziva totalna diferencijalna jednadžba. Ova se jednadžba može prepisati kao du(x,y)=0, dakle, njegov opći integral je u(x,y)=c.

Na primjer, jednadžba xdy+ydx=0 postoji jednadžba u ukupnim diferencijalima, budući da se može prepisati u obliku d(xy)=0. Opći integral bit će xy=c.

Teorema. Pretpostavimo da funkcije M I N definirana i kontinuirana u nekoj jednostavno povezanoj domeni D i imaju kontinuirane parcijalne derivacije u sebi, redom, u odnosu na g i po x. Zatim, da bi jednadžba (9.1) bila totalna diferencijalna jednadžba, potrebno je i dovoljno da vrijedi identitet (9.2).

Dokaz. Dokaz nužnosti ovog uvjeta je očit. Stoga dokazujemo dostatnost uvjeta (9.2). Pokažimo da se takva funkcija može pronaći u(x,y), kao .

Doista, od , tada (9.3) , gdje je proizvoljna diferencijabilna funkcija. Razlikujmo (9.3) s obzirom na y: . Ali, dakle, pretpostavimo a zatim .Dakle, funkcija je konstruirana , za koje , a .

Integrirajući faktor.

Ako jednadžba M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 nije totalna diferencijalna jednadžba i postoji funkcija µ = µ(x,y), tako da nakon množenja obje strane jednadžbe dobijemo jednadžbu

µ(Mdx + Ndy) = 0 u ukupnim razlikama, tj. µ(Mdx + Ndy)du, zatim funkcija µ(x,y) naziva se integrirajući faktor jednadžbe. U slučaju kada je jednadžba već jednadžba u totalnim diferencijalima, pretpostavljamo µ = 1.

Ako se pronađe integrirajući faktor µ , tada se integracija ove jednadžbe svodi na množenje obje njezine strane s µ i pronalaženje općeg integrala rezultirajuće jednadžbe u ukupnim diferencijalima.

Ako µ je kontinuirano diferencijabilna funkcija od x I g, To .

Iz toga slijedi da integrirajući faktor µ zadovoljava sljedeću parcijalnu diferencijalnu jednadžbu 1. reda: (10.1). Ako se unaprijed zna da µ= µ(ω) , Gdje ω – dana funkcija iz x I g, tada se jednadžba (10.1) svodi na običnu (i, štoviše, linearnu) jednadžbu s nepoznatom funkcijom µ na nezavisnu varijablu ω : (10.2), gdje je , tj. razlomak funkcija samo od ω .

Rješavajući jednadžbu (10.2), nalazimo integrirajući faktor, S= 1. Konkretno, jednadžba M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 ima integrirajući faktor koji ovisi samo o x(ω = x) ili samo od g(ω = y), ako su ispunjeni sljedeći uvjeti: , odnosno , .

10. Svojstva rješenja LDE drugog reda (s dokazom). Linearna diferencijalna jednadžba 2. reda (LDE) ima sljedeći oblik: , (2.1)

gdje su , , i zadane funkcije koje su kontinuirane na intervalu na kojem se traži rješenje. Uz pretpostavku da je a 0 (x) ≠ 0, podijelimo (2.1) s i, nakon uvođenja novih oznaka za koeficijente, napišemo jednadžbu u obliku: (2.2)

Prihvatimo bez dokaza da (2.2) ima jedinstveno rješenje na određenom intervalu koje zadovoljava sve početne uvjete , , ako su na promatranom intervalu funkcije , i kontinuirane. Ako je , onda se jednadžba (2.2) naziva homogenom, a jednadžba (2.2) se naziva nehomogenom u protivnom. Razmotrimo svojstva otopina loda 2. reda.

Definicija. Linearna kombinacija funkcija je izraz , gdje su proizvoljni brojevi.

Teorema. Ako je i rješenje za Lodu, (2.3) tada će njihova linearna kombinacija također biti rješenje ove jednadžbe.

Bernoullijeva jednadžba je osnovna jednadžba hidrodinamike, uspostavljajući vezu između prosječne brzine protoka i hidrodinamičkog tlaka u ravnomjernom gibanju.

Razmotrimo elementarnu struju u ravnomjernom gibanju idealnog fluida. Istaknimo dva odsječka okomita na smjer vektora brzine u, duljina elementa dl i područje dF. Dodijeljeni volumen bit će pod utjecajem gravitacije

i sile hidrodinamičkog pritiska
.

Jer
, To
.

S obzirom da u općem slučaju brzina odabranog elementa
, njegovo ubrzanje

Primjena težine na odabrani element
jednadžba dinamike
u projekciji na putanju njegova kretanja, dobivamo

S obzirom na činjenicu da
i to ravnomjernim kretanjem
, nakon integracije i dijeljenja s
dobivamo ukupni tlak protoka u razmatranom dijelu:

Gdje - geometrijski tlak (visina), koji izražava specifičnu potencijalnu energiju položaja čestice tekućine iznad određene referentne ravnine, m,

- pijezometrijski tlak, koji izražava specifičnu energiju tlaka, m,

- visina brzine, koja izražava specifičnu kinetičku energiju, m,

- statička glava, m.

Ovo je Bernoullijeva jednadžba. Trinom ove jednadžbe izražava tlak u odgovarajućem dijelu i predstavlja specifičnu (po jedinici težine) mehaničku energiju koju prenosi elementarni tok kroz ovaj dio.

U u praksi tehničkih mjerenja Bernoullijeva jednadžba se koristi za određivanje brzine tekućine
.

Bernoullijeva jednadžba može se dobiti i na sljedeći način. Zamislimo da fluidni element koji razmatramo miruje. Zatim se na temelju osnovne jednadžbe hidrostatike
potencijalna energija fluida u presjecima 1 i 2 bit će

Kretanje tekućine karakterizira pojava kinetičke energije, koja će za jedinicu težine biti jednaka za razmatrane dijelove
I
. Ukupna energija protoka elementarne struje bit će jednaka zbroju potencijalne i kinetičke energije, dakle

Dakle, osnovna jednadžba hidrostatike je posljedica Bernoullijeve jednadžbe.

Predavanje br.7

Bernoullijeva jednadžba za realni fluid

Bernoullijeva jednadžba u ravnomjernom gibanju idealnog fluida ima oblik:

Gdje - geometrijska glava (visina), m, - pijezometrijski tlak, m,

- pritisak brzine, m,
- statička glava, m.

U slučaju stvarne tekućine, ukupni tlak za različite struje u istom dijelu protoka neće biti isti, budući da tlak brzine u različitim točkama istog dijela protoka neće biti isti. Osim toga, zbog rasipanja energije uslijed trenja, tlak će se smanjivati od dijela do odjeljka.

Međutim, za dionice protoka u kojima se kretanje u dijelovima glatko mijenja, za sve elementarne struje koje prolaze kroz dionicu statički će tlak biti konstantan

Ako se Bernoullijeva jednadžba za elementarni tok proširi na cijeli tok i uzme u obzir gubitak tlaka zbog otpora gibanju, dobivamo

gdje je α koeficijent kinetičke energije, jednak 1,13 za turbulentno strujanje i 2 za laminarno strujanje; v– prosječna brzina protoka; h– smanjenje specifične mehaničke energije strujanja u području između presjeka 1 i 2, koje se javlja kao posljedica sila unutarnjeg trenja.

Izračun dodatnog roka h u Bernoullijevoj jednadžbi je glavni problem hidrotehnike.

Grafički prikaz Bernoullijeve jednadžbe za nekoliko dionica stvarnog toka fluida ima oblik:

L linija A, koja prolazi kroz razine u pijezometrima koji mjere višak tlaka u točkama, naziva se pijezometrijska linija. Prikazuje promjenu statičkog tlaka izmjerenu iz usporedne ravnine N S po dužini potoka. Piezometrijska linija odvaja područje mjerenja potencijalne i kinetičke energije.

Puni pritisak N opada po duljini toka (linija B je linija ukupnog tlaka realne tekućine).

Gradijent tlaka duž duljine toka naziva se hidraulički nagib a izražava se formulom

oni. hidraulički nagib brojčano je jednak sinusu kuta između horizontale i linije ukupnog tlaka realnog fluida.

Venturi mjerač protoka

R Venturijev mjerač protoka je uređaj ugrađen u cjevovode koji sužava protok – prigušnica. Mjerač protoka sastoji se od dva dijela: dijela koji se glatko sužava (mlaznica) i dijela koji se postupno širi (difuzor). Brzina strujanja u suženom području raste, a tlak pada. Piezometri su ugrađeni u najveći i najmanji dio cijevi, čija očitanja omogućuju određivanje razlike pijezometrijskog tlaka između dva dijela cijevi i bilježenje

Nepoznanice u ovoj jednadžbi su v 1 I v 2 . Iz jednadžbe kontinuiteta slijedi
, koji vam omogućuje određivanje brzine v 2 i protok tekućine kroz cijev

Gdje S– konstanta mjerača protoka, koja također uzima u obzir gubitke tlaka, kako je utvrđeno iskustvom.

Proračun protočnog ispirača, obično izrađenog u obliku prstena, provodi se na sličan način. Brzina protoka određena je izmjerenom razlikom razina u pijezometrima.

Bernoullijeva jednadžba i jednadžba kontinuiteta toka temeljne su u proračunu hidrauličkih sustava.

Kakve veze Bernoullijev zakon ima sa zrakoplovstvom? Ispada da je najizravnija. Uz njegovu pomoć moguće je objasniti nastanak uzgonske sile krila zrakoplova i drugih aerodinamičkih sila.

Bernoullijev zakon

Autor ovog zakona je Švicarski univerzalni fizičar, mehaničar i matematičar. Daniel Bernoulli je sin poznatog švicarskog matematičara Johanna Bernoullija. U 1838 objavio je temeljno znanstveno djelo “Hidrodinamika”, u kojem je izveo svoj poznati zakon.

Treba reći da tada aerodinamika kao znanost još nije postojala. A Bernoullijev zakon opisao je ovisnost protoka idealne tekućine o tlaku. Ali početkom dvadesetog stoljeća počinje se javljati zrakoplovstvo. I tu je Bernoullijev zakon bio vrlo koristan. Uostalom, ako strujanje zraka promatramo kao nestlačivi fluid, onda ovaj zakon vrijedi i za strujanja zraka. Uz njegovu pomoć uspjeli su shvatiti kako podići u zrak letjelicu težu od zraka. Ovo je najvažniji zakon aerodinamike, jer uspostavlja vezu između brzine kretanja zraka i tlaka koji u njemu djeluje, što pomaže u proračunima sila koje djeluju na zrakoplov.

Bernoullijev zakon je posljedica zakona održanja energije za stacionarno strujanje idealnog i nestlačivog fluida .

U aerodinamici se zrak smatra nestišljiva tekućina , odnosno medij čija se gustoća ne mijenja s promjenama tlaka. A stacionarni Razmatra se tok u kojem se čestice kreću duž vremenski nepromjenjivih putanja, koje se nazivaju strujnice. U takvim strujanjima se ne stvaraju vrtlozi.

Da bismo razumjeli bit Bernoullijevog zakona, upoznajmo se s jednadžbom kontinuiteta mlaza.

Jednadžba kontinuiteta mlaza

Iz njega je jasno da što je veća brzina protoka fluida (i u aerodinamici, brzina protoka zraka), niži je tlak, i obrnuto.

Bernoullijev efekt se može promatrati dok sjedite uz kamin. Pri jakim udarima vjetra povećava se brzina strujanja zraka i pada tlak. Tlak zraka u prostoriji je veći. I plamen juri u dimnjaku.

Bernoullijevo pravo i zrakoplovstvo

Koristeći ovaj zakon, vrlo je jednostavno objasniti kako dolazi do uzgona za letjelicu teži od zraka.

Tijekom leta, krilo aviona kao da siječe protok zraka na dva dijela. Jedan dio teče oko gornje površine krila, a drugi oko donje površine. Oblik krila je takav da gornji tok mora prijeći veći put kako bi se u jednoj točki spojio s donjim. To znači da se kreće većom brzinom. A budući da je brzina veća, tada je pritisak iznad gornje površine krila manji nego ispod donje. Zbog razlike u tim pritiscima nastaje sila dizanja krila.

Kako zrakoplov dobiva visinu, razlika tlaka se povećava, što znači da se povećava i sila uzgona, što omogućuje zrakoplovu da se podigne prema gore.

Odmah pojasnimo da gore opisani zakoni vrijede ako brzina strujanja zraka ne prelazi brzinu zvuka (do 340 m/s). Uostalom, zrak smo smatrali nestlačivim fluidom. No pokazalo se da se pri brzinama većim od brzine zvuka strujanje zraka ponaša drugačije. Stlačivost zraka više se ne može zanemariti. I pod tim uvjetima, zrak, kao i svaki plin, pokušava se proširiti i zauzeti veći volumen. Pojavljuju se značajni padovi tlaka ili udarni valovi. A sam protok zraka se ne sužava, već se, naprotiv, širi. Problemom kretanja zračnih struja brzinama bliskim ili većim od brzine zvuka bavi se plinska dinamika , koji je nastao kao nastavak aerodinamike.

Koristeći aerodinamičke zakone, teorijska aerodinamika omogućuje izračune aerodinamičkih sila koje djeluju na zrakoplov. A ispravnost ovih izračuna provjerava se ispitivanjem izgrađenog modela na posebnim eksperimentalnim postrojenjima, tzv. zračni tuneli . Ove instalacije omogućuju mjerenje veličine sila pomoću posebnih instrumenata.

Uz proučavanje sila koje djeluju na aerodinamičke modele, aerodinamička mjerenja koriste se za proučavanje raspodjele brzine, gustoće i temperature zraka koji struji oko modela.

Kada se prava tekućina giba, zbog svoje viskoznosti postoje hidraulički otpori, za čije svladavanje je potrebna energija. Ta se energija pretvara u toplinu i dalje se raspršuje tekućinom koja se kreće.

Bernoullijeva jednadžba za struju realnog fluida ima oblik

Gdje ─ gubitak tlaka po duljini presjeka duž osi toka između dva dijela.

Bernoullijeva jednadžba za stvarni protok fluida je:

(3.9)

Gdje
─ Coriolisovi koeficijenti, uzimajući u obzir razliku u brzinama u različitim točkama presjeka stvarnog strujanja fluida.

Na praksi
: za laminarno strujanje fluida u okruglim cijevima
; za turbulentni režim
.

Pomoću Bernoullijeve jednadžbe rješava se većina problema praktične hidraulike. Da biste to učinili, odaberite dva odjeljka duž duljine toka, tako da za jedan od njih budu vrijednosti
, a za drugi odjeljak je trebalo odrediti jednu ili vrijednosti. S dvije nepoznanice za drugu dionicu upotrijebite jednadžbu konstantnog protoka fluida υ 1 ω 1 = υ 2 ω 2 .

Hidraulički otpor

Protok fluida koji se kreće svojom stazom svladava sile trenja fluida o stijenke cijevi ili kanala i razne lokalne otpore, uslijed čega nastaju specifični gubici energije. Postoje dvije vrste gubitaka tlaka:

Gubitak duž duljine protoka ;

Gubici za svladavanje lokalnih otpora
.

Ukupni gubici tlaka jednaki su zbroju svih gubitaka

(3.10)

Gubitak glave po dužini

Uz ravnomjerno kretanje u cijevima, gubitak tlaka duž duljine, kako tijekom turbulentnog tako i laminarnog kretanja, određuje se za okrugle cijevi koristeći Darcyjevu formulu

(3.11)

a za cijevi bilo kojeg drugog oblika presjeka prema formuli

(3.12)

U nekim slučajevima koristi se i formula

(3.13)

Gubitak tlaka zbog trenja po duljini
, Pa, određuju se formulom

(3.14)

Gdje ─ duljina dijela cijevi ili kanala, m;

─ekvivalentni promjer, m;

─srednja strujna brzina, m/s;

─hidraulički radijus cijevi, m;

─koeficijent hidrauličkog trenja;

─Chezyjev koeficijent, povezan s koeficijentom hidrauličkog trenja ovisnostima

;

Ovisno o načinu vožnje koriste se različite formule za određivanje koeficijenta hidrauličkog trenja.

Tijekom laminarnog kretanja kroz okrugle cijevi, koeficijent hidrauličkog trenja određuje se formulom

(3.15)

i za cijevi bilo kojeg oblika presjeka

(3.16)

Gdje A─ koeficijent, čija numerička vrijednost ovisi o obliku poprečnog presjeka cijevi.

Tada formula za određivanje gubitka tlaka duž duljine u laminarnom načinu dobiva oblik

(3.17)

Po prvi put najopsežniji radovi na definiciji dobili su I.I. Nikuradze, koji je na temelju eksperimentalnih podataka konstruirao graf ovisnosti
iz
za raspon vrijednosti
. Nikuradzeovi pokusi provedeni su na cijevima s umjetno određenom hrapavošću, dobivenom lijepljenjem zrna pijeska određene veličine na unutarnje stijenke cjevovoda. Rezultati ovih istraživanja prikazani su na slici 3.5, gdje su prikazane ovisnosti
iz
za raspon vrijednosti
.

Pravac I odgovara laminarnom načinu gibanja fluida u skladu s izrazom (3.15).

U turbulentnom načinu rada razlikuju se tri područja hidrauličkog otpora, utvrđena kao rezultat eksperimenata koje je proveo Nikuradze (vidi sliku 3.5)