Diskretno slučajno Varijable su slučajne varijable koje uzimaju samo vrijednosti koje su međusobno udaljene i koje se mogu unaprijed navesti.
Zakon raspodjele
Zakon distribucije slučajne varijable je odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti.
Niz distribucije diskretne slučajne varijable je popis njegovih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerojatnosti.
Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija:
,
određivanje za svaku vrijednost argumenta x vjerojatnosti da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od ovog x.

Očekivanje diskretne slučajne varijable
,
gdje je vrijednost diskretne slučajne varijable; - vjerojatnost da slučajna varijabla prihvati X vrijednosti.
Ako slučajna varijabla ima prebrojiv skup mogućih vrijednosti, tada:
.
Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u n neovisnih pokusa:
,

Disperzija i standardna devijacija diskretne slučajne varijable
Disperzija diskretne slučajne varijable:
ili .
Varijanca broja pojavljivanja događaja u n neovisnih ispitivanja
,
gdje je p vjerojatnost da će se događaj dogoditi.
Standardna devijacija diskretne slučajne varijable:
.

Primjer 1
Napravite zakon distribucije vjerojatnosti za diskretnu slučajnu varijablu (DRV) X – broj k pojavljivanja barem jedne “šestice” u n = 8 bacanja para kockica. Konstruirajte poligon distribucije. Odredite numeričke karakteristike distribucije (način distribucije, matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s(X)). Riješenje: Uvodimo oznaku: događaj A – “prilikom bacanja para kocki šestica se pojavljuje barem jednom.” Da bismo pronašli vjerojatnost P(A) = p događaja A, prikladnije je prvo pronaći vjerojatnost P(Ā) = q suprotnog događaja Ā - “prilikom bacanja para kockica šestica se nikada nije pojavila.”
Budući da je vjerojatnost da se "šestica" ne pojavi pri bacanju jedne kocke 5/6, tada prema teoremu množenja vjerojatnosti
P(Ā) = q = = .
Odnosno,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testovi u zadatku slijede Bernoullijevu shemu, pa se d.s.v. veličina x- broj k pojava najmanje jedne šestice pri bacanju dviju kockica pokorava se binomnom zakonu distribucije vjerojatnosti:

gdje je = broj kombinacija od n Po k.

Izračuni provedeni za ovaj problem mogu se prikladno prikazati u obliku tablice:
Distribucija vjerojatnosti d.s.v. x º k (n = 8; str = ; q = )

k
Pn(k)

Poligon (poligon) distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable x prikazano na slici:

Riža. Poligon distribucije vjerojatnosti d.s.v. x=k.
Okomita linija prikazuje matematičko očekivanje distribucije M(x).

Nađimo numeričke karakteristike distribucije vjerojatnosti d.s.v. x. Način distribucije je 2 (ovdje P 8(2) = 0,2932 maksimalno). Matematičko očekivanje po definiciji je jednako:
M(x) = = 2,4444,
Gdje xk = k– vrijednost koju preuzima d.s.v. x. Varijanca D(x) raspodjelu nalazimo pomoću formule:
D(x) = = 4,8097.
Standardna devijacija (RMS):
s( x) = = 2,1931.

Primjer2
Diskretna slučajna varijabla x dano zakonom raspodjele

Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je.

Riješenje. Ako je , tada (treće svojstvo).
Ako tada. Stvarno, x može uzeti vrijednost 1 s vjerojatnošću 0,3.
Ako tada. Doista, ako zadovoljava nejednakost
, tada je jednaka vjerojatnosti događaja koji se može dogoditi kada xće imati vrijednost 1 (vjerojatnost ovog događaja je 0,3) ili vrijednost 4 (vjerojatnost ovog događaja je 0,1). Budući da su ova dva događaja nekompatibilna, tada je, prema teoremu zbrajanja, vjerojatnost događaja jednaka zbroju vjerojatnosti 0,3 + 0,1 = 0,4. Ako tada. Doista, događaj je izvjestan, stoga je njegova vjerojatnost jednaka jedinici. Dakle, funkcija distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:

Grafikon ove funkcije:
Nađimo vjerojatnosti koje odgovaraju tim vrijednostima. Po uvjetu, vjerojatnosti kvara uređaja su jednake: tada su jednake vjerojatnosti da će uređaji raditi tijekom jamstvenog roka:




Zakon raspodjele ima oblik:

U primjenama teorije vjerojatnosti, kvantitativne karakteristike eksperimenta su od primarne važnosti. Veličina koja se može kvantitativno odrediti i koja kao rezultat pokusa može poprimiti različite vrijednosti ovisno o slučaju naziva se nasumična varijabla.

Primjeri slučajnih varijabli:

1. Koliko se puta paran broj bodova pojavljuje u deset bacanja kocke.

2. Broj pogodaka mete strijelca koji ispaljuje niz hitaca.

3. Broj fragmenata eksplozivne granate.

U svakom od navedenih primjera, slučajna varijabla može poprimiti samo izolirane vrijednosti, odnosno vrijednosti koje se mogu nabrojati prirodnim nizom brojeva.

Takva slučajna varijabla, čije su moguće vrijednosti pojedinačni izolirani brojevi, koje ova varijabla poprima s određenim vjerojatnostima, naziva se diskretna.

Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan (prebrojiv).

Zakon raspodjele Diskretna slučajna varijabla je popis njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable može se zadati u obliku tablice (niz distribucije vjerojatnosti), analitički i grafički (poligon distribucije vjerojatnosti).

Prilikom izvođenja eksperimenta, postaje neophodno procijeniti vrijednost koja se proučava "u prosjeku". Ulogu prosječne vrijednosti slučajne varijable ima numerička karakteristika tzv matematičko očekivanje, koji je određen formulom

Gdje x 1 , x 2 ,.. , x n– vrijednosti slučajne varijable x, A str 1 ,str 2 , ... , str n– vjerojatnosti ovih vrijednosti (imajte na umu da str 1 + str 2 +…+ str n = 1).

Primjer. Gađanje se izvodi u metu (slika 11).

Pogodak u I daje tri boda, u II – dva boda, u III – jedan bod. Broj bodova postignutih u jednom hicu jednog strijelca ima zakon raspodjele oblika

Za usporedbu strijelske vještine dovoljno je usporediti prosječne vrijednosti postignutih poena, tj. matematička očekivanja M(x) I M(Y):

M(x) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Drugi strijelac u prosjeku daje nešto veći broj bodova, tj. dat će bolje rezultate pri višekratnom paljenju.

Zabilježimo svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:

M(C) = C.

2. Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja članova:

M =(x 1 + x 2 +…+ x n)= M(x 1)+ M(x 2)+…+ M(x n).

3. Matematičko očekivanje umnoška međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku matematičkih očekivanja faktora

M(x 1 x 2 … x n) = M(x 1)M(x 2)… M(x n).

4. Matematička negacija binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti da se događaj dogodi u jednom pokušaju (zadatak 4.6).

M(x) = pr.

Za procjenu koliko slučajna varijabla "u prosjeku" odstupa od svog matematičkog očekivanja, tj. Kako bi se karakteriziralo širenje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti koristi se koncept disperzije.

Varijanca nasumična varijabla x naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja:

D(x) = M[(x - M(x)) 2 ].

Disperzija je numerička karakteristika disperzije slučajne varijable. Iz definicije je jasno da što je manja disperzija slučajne varijable, to su njezine moguće vrijednosti bliže matematičkom očekivanju, odnosno da se vrijednosti slučajne varijable bolje karakteriziraju njezinim matematičkim očekivanjem .

Iz definicije proizlazi da se varijanca može izračunati pomoću formule

.

Pogodno je izračunati varijancu pomoću druge formule:

D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2 .

Disperzija ima sljedeća svojstva:

1. Varijanca konstante je nula:

D(C) = 0.

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije kvadriranjem:

D(CX) = C 2 D(x).

3. Varijanca zbroja nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijance članova:

D(x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n)= D(x 1)+ D(x 2)+…+ D(x n)

4. Varijanca binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti događanja i nepojavljivanja događaja u jednom pokušaju:

D(x) = npq.

U teoriji vjerojatnosti često se koristi numerička karakteristika jednaka kvadratnom korijenu varijance slučajne varijable. Ova numerička karakteristika naziva se srednje kvadratno odstupanje i označava se simbolom

.

Karakterizira približnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine prosječne vrijednosti i ima istu dimenziju kao slučajna varijabla.

4.1. Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerojatnost pogotka mete svakim hicem je 0,3.

Konstruirajte niz distribucije za broj pogodaka.

Riješenje. Broj pogodaka je diskretna slučajna varijabla x. Svaka vrijednost x n nasumična varijabla x odgovara određenoj vjerojatnosti P n .

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable u ovom slučaju može se odrediti blizu distribucije.

U ovom problemu x uzima vrijednosti 0, 1, 2, 3. Prema Bernoullijevoj formuli

,

Nađimo vjerojatnosti mogućih vrijednosti slučajne varijable:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Raspoređivanjem vrijednosti slučajne varijable x rastućim redoslijedom dobivamo niz distribucije:

x n

Imajte na umu da iznos

znači vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti barem jednu vrijednost među mogućim, pa je stoga ovaj događaj pouzdan

.

4.2 .U urni se nalaze četiri kuglice s brojevima od 1 do 4. Izvade se dvije kuglice. Slučajna vrijednost x– zbroj brojeva kuglica. Konstruirajte niz distribucije slučajne varijable x.

Riješenje. Vrijednosti slučajne varijable x su 3, 4, 5, 6, 7. Nađimo odgovarajuće vjerojatnosti. Vrijednost slučajne varijable 3 x može se prihvatiti samo u slučaju kada jedna od odabranih kuglica ima broj 1, a druga 2. Broj mogućih ishoda testa jednak je broju kombinacija četiri (broj mogućih parova kuglica) od dvije.

Korištenjem klasične formule vjerojatnosti dobivamo

Također,

R(x= 4) =R(x= 6) =R(x= 7) = 1/6.

Zbroj 5 može se pojaviti u dva slučaja: 1 + 4 i 2 + 3, dakle

.

x ima oblik:

Pronađite funkciju distribucije F(x) nasumična varijabla x i zacrtajte ga. Izračunajte za x njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

Riješenje. Zakon raspodjele slučajne varijable može se specificirati funkcijom raspodjele

F(x) =P(x x).

Funkcija distribucije F(x) je neopadajuća, lijevo kontinuirana funkcija definirana na cijelom brojevnom pravcu, dok

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Za diskretnu slučajnu varijablu ova se funkcija izražava formulom

.

Stoga u ovom slučaju

Grafik funkcije distribucije F(x) je stepenasta linija (Sl. 12)

	F(x)

Očekivana vrijednostM(x) je ponderirani aritmetički prosjek vrijednosti x 1 , X 2 ,……X n nasumična varijabla x s vagama ρ 1, ρ 2, …… , ρ n a naziva se srednja vrijednost slučajne varijable x. Prema formuli

M(x)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(x) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Disperzija karakterizira stupanj disperzije vrijednosti slučajne varijable od njezine prosječne vrijednosti i označava se D(x):

D(x)=M[(HM(x)) 2 ]= M(x 2) –[M(x)] 2 .

Za diskretnu slučajnu varijablu varijanca ima oblik

ili se može izračunati pomoću formule

Zamjenom numeričkih podataka problema u formulu dobivamo:

M(x 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(x) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dvije se kockice bacaju dvaput u isto vrijeme. Napišite binomni zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x- broj pojavljivanja parnog ukupnog broja bodova na dvije kocke.

Riješenje. Uvedimo slučajni događaj

A= (dvije kocke jednim bacanjem dale su ukupni paran broj bodova).

Koristeći se klasičnom definicijom vjerojatnosti nalazimo

R(A)= ,

Gdje n - broj mogućih ishoda testa određuje se pravilom

množenje:

n = 6∙6 =36,

m - broj ljudi koji favoriziraju događaj A ishodi – jednaki

m= 3∙6=18.

Dakle, vjerojatnost uspjeha u jednom pokušaju je

ρ = P(A)= 1/2.

Problem se rješava pomoću Bernoullijeve sheme testa. Jedan izazov ovdje bio bi bacanje dvije kockice jednom. Broj takvih testova n = 2. Slučajna varijabla x uzima vrijednosti 0, 1, 2 s vjerojatnostima

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Tražena binomna distribucija slučajne varijable x može se predstaviti kao serija distribucije:

x n
ρ n

4.5 . U seriji od šest dijelova nalaze se četiri standardna. Nasumično su odabrana tri dijela. Konstruirajte distribuciju vjerojatnosti diskretne slučajne varijable x– broj standardnih dijelova među odabranima i pronađite njegovo matematičko očekivanje.

Riješenje. Vrijednosti slučajne varijable x su brojevi 0,1,2,3. Jasno je da R(x=0)=0, jer postoje samo dva nestandardna dijela.

R(x=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(x=3) =
= 1/5.

Zakon raspodjele slučajne varijable x Predstavimo ga u obliku serije distribucije:

x n
ρ n

Očekivana vrijednost

M(x)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Dokažite da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable x- broj pojavljivanja događaja A V n neovisna ispitivanja, u svakom od kojih je vjerojatnost događanja događaja jednaka ρ – jednaka umnošku broja pokušaja s vjerojatnošću pojave događaja u jednom pokušaju, odnosno dokazati da je matematičko očekivanje binomne distribucije

M(x) =n . ρ ,

i disperzija

D(x) =n.p. .

Riješenje. Slučajna vrijednost x može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2..., n. Vjerojatnost R(x= k) nalazi se pomoću Bernoullijeve formule:

R(x=k)= R n(k)= ρ Do (1-ρ ) n- Do

Niz distribucije slučajne varijable x ima oblik:

x n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Gdje q= 1- ρ .

Za matematičko očekivanje imamo izraz:

M(x)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

U slučaju jednog testa, odnosno sa n = 1 za slučajnu varijablu x 1 – broj pojavljivanja događaja A- serija distribucije ima oblik:

x n
ρ n

M(x 1)= 0∙q + 1 ∙ str = str

D(x 1) = str – str 2 = str(1- str) = pq.

Ako x k – broj pojavljivanja događaja A u kojem testu, dakle R(x Do)= ρ I

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Odavde dobivamo

M(x)=M(x 1 )+M(x 2)+ … +M(x n)= nρ,

D(x)=D(x 1)+D(x 2)+ ... +D(x n)=npq.

4.7. Odjel kontrole kvalitete provjerava standardnost proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod standardan je 0,9. Svaka serija sadrži 5 proizvoda. Nađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable x- broj serija od kojih će svaka sadržavati 4 standardna proizvoda - ako je pregledu 50 serija.

Riješenje. Vjerojatnost da će u svakoj nasumično odabranoj seriji biti 4 standardna proizvoda je konstantna; označimo to sa ρ .Zatim matematičko očekivanje slučajne varijable x jednaki M(x)= 50∙ρ.

Nađimo vjerojatnost ρ prema Bernoullijevoj formuli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(x)= 50∙0,32=16.

4.8 . Bacaju se tri kocke. Nađite matematičko očekivanje zbroja ispuštenih bodova.

Riješenje. Možete pronaći distribuciju slučajne varijable x- zbroj izgubljenih bodova i potom njegovo matematičko očekivanje. Međutim, ovaj put je previše glomazan. Lakše je koristiti drugu tehniku, koja predstavlja slučajnu varijablu x, čije matematičko očekivanje treba izračunati, u obliku zbroja više jednostavnijih slučajnih varijabli, čije je matematičko očekivanje lakše izračunati. Ako je slučajna varijabla x ja je broj osvojenih bodova ja– th kosti ( ja= 1, 2, 3), zatim zbroj bodova xće se izraziti u obliku

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Za izračunavanje matematičkog očekivanja izvorne slučajne varijable, sve što preostaje jest koristiti svojstvo matematičkog očekivanja

M(x 1 + X 2 + X 3 )= M(x 1 )+ M(x 2)+ M(x 3 ).

Očito je da

R(x ja = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, ja= 1, 2, 3.

Dakle, matematičko očekivanje slučajne varijable x ja izgleda kao

M(x ja) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(x) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli tijekom testiranja ako:

a) vjerojatnost kvara za sve uređaje je ista R, a broj testiranih uređaja je jednak n;

b) vjerojatnost kvara za ja – uređaja jednako je str ja , ja= 1, 2, … , n.

Riješenje. Neka je slučajna varijabla x je broj pokvarenih uređaja, dakle

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

x ja =

Jasno je da

R(x ja = 1)= R ja , R(x ja = 0)= 1– R ja ,i= 1, 2, … ,n.

M(x ja)= 1∙R ja + 0∙(1-R ja)=P ja ,

M(x)=M(x 1)+M(x 2)+ … +M(x n)=P 1 +P 2 + … + P n .

U slučaju "a" vjerojatnost kvara uređaja je ista, tj

R ja =str,i= 1, 2, … ,n.

M(x)= n.p..

Ovaj odgovor možemo dobiti odmah ako primijetimo da je slučajna varijabla x ima binomnu distribuciju s parametrima ( n, str).

4.10. Dvije kocke bacaju se istovremeno dva puta. Napišite binomni zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj bacanja parnog broja bodova na dvije kocke.

Riješenje. Neka

A=(bacivanje parnog broja na prvoj kockici),

B =(bacanje parnog broja na drugu kockicu).

Dobivanje parnog broja na obje kocke u jednom bacanju izražava se umnoškom AB. Zatim

R (AB) = R(A)∙R(U) =
.

Rezultat drugog bacanja dviju kockica ne ovisi o prvom, pa Bernoullijeva formula vrijedi kada

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Slučajna vrijednost x može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2 , čija se vjerojatnost može pronaći pomoću Bernoullijeve formule:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Niz distribucije slučajne varijable X:

4.11. Uređaj se sastoji od velikog broja neovisno aktivnih elemenata s istom vrlo malom vjerojatnošću kvara svakog elementa tijekom vremena t. Pronađite prosječan broj odbijanja tijekom vremena t elemenata, ako je vjerojatnost da barem jedan element zakaže tijekom tog vremena 0,98.

Riješenje. Broj ljudi koji su odbili tijekom vremena t elementi – slučajna varijabla x, koji je raspoređen prema Poissonovom zakonu, budući da je broj elemenata velik, elementi rade neovisno i vjerojatnost kvara svakog elementa je mala. Prosječan broj pojavljivanja događaja u n testovi jednaki

M(x) = n.p..

Budući da je vjerojatnost neuspjeha DO elementi iz n izražen formulom

R n (DO)
,

gdje je  = n.p., zatim vjerojatnost da niti jedan element neće otkazati tijekom vremena t dobivamo na K = 0:

R n (0)= e -  .

Stoga je vjerojatnost suprotnog događaja u vremenu t barem jedan element ne uspije – jednako 1 - e -  . Prema uvjetima zadatka ta je vjerojatnost 0,98. Iz jednadžbe

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

odavde  = -ln 0,02  4.

Dakle, na vrijeme t rad uređaja, u prosjeku će 4 elementa otkazati.

4.12 . Kocka se baca sve dok se ne pojavi “dvojka”. Nađite prosječan broj bacanja.

Riješenje. Uvedimo slučajnu varijablu x– broj testova koji se moraju obaviti dok se ne dogodi događaj koji nas zanima. Vjerojatnost da x= 1 jednaka je vjerojatnosti da se tijekom jednog bacanja kocke pojavi “dvojka”, tj.

R(X= 1) = 1/6.

Događaj x= 2 znači da se na prvom testu "dvojka" nije pojavila, ali na drugom jest. Vjerojatnost događaja x= 2 nalazi se pravilom množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Također,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

itd. Dobivamo niz distribucija vjerojatnosti:

					(5/6) Do ∙1/6

Prosječan broj bacanja (pokušaja) je matematičko očekivanje

M(x) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + DO (5/6) DO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + DO (5/6) DO -1 + …)

Nađimo zbroj niza:

DOg DO -1 = (g DO) g 
.

Stoga,

M(x) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Dakle, potrebno je napraviti prosječno 6 bacanja kocke dok se ne pojavi “dvojka”.

4.13. Nezavisni testovi se provode s istom vjerojatnošću pojavljivanja događaja A u svakom testu. Odredite vjerojatnost događanja događaja A, ako je varijanca broja pojavljivanja događaja u tri neovisna pokusa 0,63 .

Riješenje. Broj pojavljivanja događaja u tri pokusa je slučajna varijabla x, raspoređen prema binomnom zakonu. Varijanca broja pojavljivanja događaja u neovisnim pokusima (s istom vjerojatnošću pojavljivanja događaja u svakom pokusu) jednaka je umnošku broja pokusa s vjerojatnostima pojavljivanja i nepojavljivanja događaja (problem 4.6)

D(x) = npq.

Po stanju n = 3, D(x) = 0,63, tako da možete R pronaći iz jednadžbe

0,63 = 3∙R(1-R),

koji ima dva rješenja R 1 = 0,7 i R 2 = 0,3.

Diskretna zove se slučajna varijabla koja može poprimiti pojedinačne, izolirane vrijednosti s određenim vjerojatnostima.

PRIMJER 1. Broj pojavljivanja grba u tri bacanja novčića. Moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, njihove su vjerojatnosti jednake redom:

P(0) = ; R(1) = ; R(2) = ; R(3) = .

PRIMJER 2. Broj pokvarenih elemenata u uređaju koji se sastoji od pet elemenata. Moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5; njihove vjerojatnosti ovise o pouzdanosti svakog elementa.

Diskretna slučajna varijabla x može biti dana nizom distribucije ili funkcijom distribucije (integralni zakon distribucije).

Blizu distribucije je skup svih mogućih vrijednosti xja i njihove odgovarajuće vjerojatnosti Ri = P(X = xja), može se odrediti kao tablica:

x i				x n
p i				r n

U ovom slučaju, vjerojatnosti Rja zadovoljiti uvjet

Rja= 1 jer

gdje je broj mogućih vrijednosti n može biti konačan ili beskonačan.

Grafički prikaz serija distribucije koji se naziva poligon distribucije . Za njegovu konstrukciju, moguće vrijednosti slučajne varijable ( xja) iscrtavaju se duž x-osi, a vjerojatnosti Rja- duž ordinatne osi; bodova Aja s koordinatama ( xi,rja) povezani su isprekidanim linijama.

Funkcija distribucije nasumična varijabla x nazvana funkcija F(x), čija vrijednost u točki x jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla xće biti manji od ove vrijednosti x, to je

F(x) = P(X< х).

Funkcija F(x) Za diskretna slučajna varijabla izračunati po formuli

F(X) = Rja , (1.10.1)

gdje se zbrajanje provodi po svim vrijednostima ja, za koji xja< х.

PRIMJER 3. Iz serije od 100 proizvoda, od kojih je 10 neispravno, nasumično se odabire pet proizvoda radi provjere njihove kvalitete. Konstruirajte niz distribucija slučajnog broja x neispravne proizvode sadržane u uzorku.

Riješenje. Budući da u uzorku broj neispravnih proizvoda može biti bilo koji cijeli broj u rasponu od 0 do uključivo 5, tada moguće vrijednosti xja nasumična varijabla x su jednaki:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Vjerojatnost R(X = k) da uzorak točno sadrži k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) neispravni proizvodi, jednako

P (X = k) = .

Kao rezultat izračuna pomoću ove formule s točnošću od 0,001, dobivamo:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(x= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Korištenje jednakosti za provjeru Rk=1, uvjeravamo se da su izračuni i zaokruživanje ispravno obavljeni (vidi tablicu).

x i
p i

PRIMJER 4. Zadan niz distribucije slučajne varijable x :

x i
p i

Pronađite funkciju distribucije vjerojatnosti F(x) ove slučajne varijable i konstruirajte je.

Riješenje. Ako x Onda 10 funti F(x)= P(x<x) = 0;

ako 10<x Onda 20 funti F(x)= P(x<x) = 0,2 ;

ako 20<x Onda 30 funti F(x)= P(x<x) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ako 30<x Onda 40 funti F(x)= P(x<x) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ako 40<x Onda 50 funti F(x)= P(x<x) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Ako x> 50, dakle F(x)= P(x<x) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE

SLUČAJNE VARIJABLE

Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.

Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali nije unaprijed poznato koju. Za slučajnu varijablu, dakle, možete specificirati samo vrijednosti, od kojih će jednu sigurno uzeti kao rezultat eksperimenta. U nastavku ćemo ove vrijednosti zvati moguće vrijednosti slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.

Slučajne varijable obično se označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.

Postoje tri vrste slučajnih varijabli:

Diskretna; Stalan; Mješoviti.

Diskretna je slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. Zauzvrat, skup čiji se elementi mogu numerirati nazivamo prebrojivim. Riječ "diskretan" dolazi od latinske riječi discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova".

Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji od n proizvoda. Doista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.

Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti mogu biti numerirane, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno velik broj.

Stalan je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke osi, koji se ponekad naziva i interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.

Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije poduzeća.

Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je pogreška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka je iz principa rada visinomjera poznato da je pogreška u rasponu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.

Zakon raspodjele slučajnih varijabli.

Slučajna varijabla se smatra potpuno određenom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i ako je uspostavljen zakon distribucije.

Zakon raspodjele slučajne varijable je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti.

Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema danom zakonu ili podložna danom zakonu distribucije. Brojne vjerojatnosti, funkcija distribucije, gustoća vjerojatnosti i karakteristična funkcija koriste se kao zakoni distribucije.

Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu raspodjele, prije pokusa može se procijeniti koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati ​​češće, a koje rjeđe.

Za diskretnu slučajnu varijablu zakon raspodjele može se zadati u obliku tablice, analitički (u obliku formule) i grafički.

Najjednostavniji oblik zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica (matrica) koja u rastućem redoslijedu navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti, tj.

Takva se tablica naziva serija distribucije diskretne slučajne varijable. 1

Događaji X 1, X 2,..., X n, koji se sastoje u činjenici da će kao rezultat testa slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti x 1, x 2,... x n, redom, su nekonzistentne i jedine moguće (budući da su u tablici navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. čine kompletnu grupu. Stoga je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu

(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i izraz "distribucija").

Niz distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nanesu na apscisnu os, a njihove odgovarajuće vjerojatnosti na ordinatnu os. Spoj dobivenih točaka čini isprekidanu liniju, koja se naziva poligon ili poligon distribucije vjerojatnosti (slika 1).

Primjer Lutrija uključuje: automobil u vrijednosti od 5.000 den. kom., 4 televizora po 250 den. jedinica, 5 video rekordera u vrijednosti od 200 den. jedinice Za 7 dana prodano je ukupno 1000 ulaznica. jedinice Napravite zakon o raspodjeli neto dobitka koji je dobio sudionik lutrije koji je kupio jedan listić.

Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - jednake su 0-7 = -7 novca. jedinice (ako listić nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako listić sadrži dobitke od videorekordera, televizora ili automobila). Uzimajući u obzir da je od 1000 listića broj nedobitnih 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1 redom, te korištenjem klasične definicije vjerojatnosti dobivamo.

Definicija 1

Slučajna varijabla $X$ naziva se diskretnom (diskontinuiranom) ako je skup njezinih vrijednosti beskonačan ili konačan, ali prebrojiv.

Drugim riječima, veličina se naziva diskretnom ako se njezine vrijednosti mogu numerirati.

Slučajna varijabla može se opisati pomoću zakona distribucije.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable $X$ može se zadati u obliku tablice u kojoj su u prvom retku sve moguće vrijednosti slučajne varijable u rastućem redoslijedu, a u drugom retku su odgovarajuće vjerojatnosti tih vrijednosti:

Slika 1.

gdje je $r1+ r2+ ... + rn = 1$.

Ova tablica je blizu distribucije diskretne slučajne varijable.

Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada niz $r1+ r2+ ... + rn+ ...$ konvergira i njegova suma će biti jednaka $1$.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable $X$ može se prikazati grafički, za što se u koordinatnom sustavu konstruira izlomljena linija (pravokutnik), koja sekvencijalno povezuje točke s koordinatama $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Linija koju smo dobili zove se distribucijski poligon.

Slika 2.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable $X$ može se prikazati i analitički (pomoću formule):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operacije na diskretnim vjerojatnostima

Pri rješavanju mnogih problema u teoriji vjerojatnosti potrebno je izvesti operacije množenja diskretne slučajne varijable s konstantom, zbrajanja dviju slučajnih varijabli, njihovog množenja, zamjene na potenciju. U tim slučajevima potrebno je pridržavati se sljedećih pravila za slučajne diskretne veličine:

Definicija 3

Množenje diskretne slučajne varijable $X$ konstantom $K$ je diskretna slučajna varijabla $Y=KX,$ koja je određena jednakostima: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ lijevo(x_i\desno)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definicija 4

Pozivaju se dvije slučajne varijable $x$ i $y$ nezavisna, ako zakon raspodjele jedne od njih ne ovisi o tome koje je moguće vrijednosti stekla druga količina.

Definicija 5

Iznos dvije nezavisne diskretne slučajne varijable $X$ i $Y$ nazivaju se slučajna varijabla $Z=X+Y,$ određena je jednakostima: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\desno)= P\lijevo(x_i\desno)P\lijevo(y_j\desno)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\lijevo (x_i\desno)=p_i$, $P\lijevo(y_j\desno)=p"_j$.

Definicija 6

Množenje dvije nezavisne diskretne slučajne varijable $X$ i $Y$ nazivaju se slučajna varijabla $Z=XY,$ određena je jednakostima: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\lijevo(z_(ij)\desno) =P\lijevo( x_i\desno)P\lijevo(y_j\desno)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ lijevo(x_i\desno )=p_i$, $P\lijevo(y_j\desno)=p"_j$.

Uzmimo u obzir da neki umnošci $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ mogu biti međusobno jednaki. U tom je slučaju vjerojatnost zbrajanja umnoška jednaka zbroju odgovarajućih vjerojatnosti.

Na primjer, ako je $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $tada će vjerojatnost $x_2y_3$ (ili istog $x_5y_7$) biti jednaka $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Gore navedeno vrijedi i za iznos. Ako je $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ tada će vjerojatnost $x_1+\ y_2$ (ili istog $x_4+\ y_6$) biti jednaka $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Slučajne varijable $X$ i $Y$ određene su zakonima distribucije:

Slika 3.

Gdje je $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Tada će zakon raspodjele zbroja $X+Y$ imati oblik

Slika 4.

I zakon distribucije proizvoda $XY$ će imati oblik

Slika 5.

Funkcija distribucije

Potpuni opis slučajne varijable također daje funkcija distribucije.

Geometrijski, funkcija distribucije se objašnjava kao vjerojatnost da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost koju na brojevnom pravcu predstavlja točka koja leži lijevo od točke $x$.