समीकरणाला एक उपाय आहे: जर अज्ञात गुणांकांपैकी किमान एक गुणांक शून्यापेक्षा वेगळा असेल. या प्रकरणात, कोणत्याही-आयामी वेक्टरला समीकरणाचे समाधान म्हटले जाते, जर त्याचे समन्वय बदलताना, समीकरण एक ओळख बनते.
समीकरण प्रणालीचे वर्णन करा.
उपाय:
1. यात परस्परविरोधी समीकरण आहे का?(गुणक असल्यास, या प्रकरणात समीकरणाचे स्वरूप आहे: आणि म्हणतात वादग्रस्त.)
2. सर्व अनुमत व्हेरिएबल्स शोधा. (अज्ञात म्हणतातपरवानगी आहेसमीकरणांच्या प्रणालीसाठी, जर ते +1 गुणांक असलेल्या प्रणालीच्या समीकरणांपैकी एकामध्ये समाविष्ट केले असेल, परंतु उर्वरित समीकरणांमध्ये समाविष्ट केले नसेल (म्हणजे, ते शून्याच्या समान गुणांकासह समाविष्ट केले असेल).
3. समीकरणांची प्रणाली सोडवली आहे का? (समीकरण प्रणालीला निराकरण म्हणतात, जर प्रणालीच्या प्रत्येक समीकरणामध्ये निराकरण केलेले अज्ञात असेल, ज्यामध्ये कोणतेही योगायोग नसतील)
सर्वसाधारणपणे, समीकरणांच्या निराकरण प्रणालीचे स्वरूप आहे:निराकरण अज्ञात, प्रणालीच्या प्रत्येक समीकरणातून एक घेतले, फॉर्म निराकरण झालेल्या अज्ञातांचा संपूर्ण संचप्रणाली (आमच्या उदाहरणात हे आहे)
पूर्ण सेटमध्ये समाविष्ट असलेल्या अनुमत अज्ञातांना देखील कॉल केले जाते मूलभूत(), आणि सेटमध्ये समाविष्ट नाही - फुकट ().
या टप्प्यावर, मुख्य गोष्ट म्हणजे ते काय आहे हे समजून घेणे अज्ञात निराकरण(आधारात समाविष्ट आणि विनामूल्य).
सामान्य उपायसमीकरणांची सोडवलेली प्रणाली ही मुक्त संज्ञा आणि मुक्त अज्ञातांद्वारे निराकरण केलेल्या अज्ञातांच्या अभिव्यक्तीचा संच आहे:
खाजगी निर्णयफ्री व्हेरिएबल्स आणि अज्ञातांच्या विशिष्ट मूल्यांसाठी सामान्य सोल्यूशनमधून मिळवलेले समाधान असे म्हणतात.
मूळ उपायफ्री व्हेरिएबल्सच्या शून्य मूल्यांसाठी सामान्य मधून मिळवलेले एक विशिष्ट समाधान आहे.
उदाहरण 1. समीकरण प्रणालीचे सामान्य, मूलभूत आणि कोणतेही विशिष्ट निराकरण शोधा:प्रमेय (१)
समीकरणांची निराकरण केलेली प्रणाली नेहमीच सुसंगत असते(कारण त्यात किमान एक उपाय आहे); शिवाय, जर सिस्टममध्ये विनामूल्य अज्ञात नसतील,(म्हणजे, समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये, सर्व अनुमती असलेल्यांचा आधारामध्ये समावेश केला जातो) नंतर ते परिभाषित केले आहे(एक अद्वितीय उपाय आहे); किमान एक फ्री व्हेरिएबल असल्यास, सिस्टम परिभाषित केले जात नाही(उपायांची अनंत संख्या आहे).
उपाय:
1. आम्ही सिस्टम अधिकृत आहे की नाही हे तपासत आहोत?
2. आम्ही सेटमध्ये अनुमत अज्ञात समाविष्ट करतो - प्रत्येक समीकरणातून एक.
3. आम्ही सेटमध्ये कोणत्या अज्ञात गोष्टींचा समावेश केला आहे त्यानुसार आम्ही सामान्य समाधान लिहितो.
4. खाजगी उपाय शोधत आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही फ्री व्हेरिएबल्सची समानता करतो जी आम्ही अनियंत्रित संख्यांसह सेटमध्ये समाविष्ट केलेली नाहीत.
उत्तर: खाजगी समाधान(पर्यायांपैकी एक)
5. मूळ उपाय शोधणे. हे करण्यासाठी, आम्ही शून्यावर सेटमध्ये समाविष्ट न केलेल्या फ्री व्हेरिएबल्सची बरोबरी करतो.
रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून समतुल्य निराकरण केलेल्या प्रणालींमध्ये कमी केल्या जातात.
प्रमेय (2)
जर काही सिस्टीमचे समीकरण काही शून्य शून्य संख्येने गुणाकार करा, आणि उर्वरित समीकरणे अपरिवर्तित सोडा, नंतर. (म्हणजेच, जर तुम्ही समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना समान संख्येने गुणाकार केला तर तुम्हाला याच्या बरोबरीचे समीकरण मिळेल)
प्रमेय (3)
तर प्रणालीच्या कोणत्याही समीकरणात दुसरे जोडा, आणि इतर सर्व समीकरणे अपरिवर्तित सोडा आम्हाला याच्या समतुल्य प्रणाली मिळते. (म्हणजे, तुम्ही दोन समीकरणे जोडल्यास (त्यांच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू जोडून) तुम्हाला डेटाच्या समतुल्य समीकरण मिळेल)
प्रमेयांचा परिणाम (2 आणि 3)
तर एका विशिष्ट संख्येने गुणाकार केलेल्या समीकरणात दुसरे समीकरण जोडा, आणि इतर सर्व समीकरणे अपरिवर्तित सोडा, मग आम्हाला याच्या समतुल्य प्रणाली मिळेल.
जर आमच्याकडे समीकरणांची प्रणाली असेल आणि आम्हाला ती समीकरणांच्या निराकरण प्रणालीमध्ये बदलायची असेल, तर जॉर्डन-गॉस पद्धत आम्हाला यामध्ये मदत करेल.
जॉर्डन परिवर्तननिराकरण घटकासह आपल्याला समीकरणांच्या प्रणालीसाठी क्रमांकासह समीकरणामध्ये निराकरण केलेले अज्ञात प्राप्त करण्यास अनुमती देते. (उदाहरण २).
जॉर्डन ट्रान्सफॉर्मेशनमध्ये दोन प्रकारच्या प्राथमिक परिवर्तनांचा समावेश आहे:समजा आम्हाला खालच्या समीकरणातील अज्ञाताला निराकरण अज्ञात बनवायचे आहे. हे करण्यासाठी, आपण द्वारे भागणे आवश्यक आहे, जेणेकरून बेरीज होईल.
उदाहरण 2 चला सिस्टम गुणांकांची पुनर्गणना करू
एखाद्या संख्येसह समीकरणाला द्वारे विभाजित करताना, त्याचे गुणांक सूत्रे वापरून पुन्हा मोजले जातात:
संख्या असलेल्या समीकरणातून वगळण्यासाठी, तुम्हाला संख्येसह समीकरणाचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि या समीकरणात जोडणे आवश्यक आहे.
प्रमेय (4) प्रणालीच्या समीकरणांची संख्या कमी करण्यावर.
समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये क्षुल्लक समीकरण असल्यास, ते प्रणालीमधून वगळले जाऊ शकते आणि मूळ समतुल्य प्रणाली प्राप्त केली जाईल.
प्रमेय (5) समीकरण प्रणालीच्या असंगततेवर.
जर समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये विसंगत समीकरण असेल तर ते विसंगत आहे.
जॉर्डन-गॉस पद्धतीद्वारे समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याच्या अल्गोरिदममध्ये अनेक समान चरणांचा समावेश आहे, ज्यापैकी प्रत्येक क्रिया खालील क्रमाने केली जाते:
शोधणे: दोन सामान्य आणि दोन संबंधित मूलभूत उपाय
उपाय:
गणना खालील सारणीमध्ये दर्शविली आहे:
सारणीच्या उजवीकडे समीकरणांवर क्रिया आहेत. बाण दर्शवितात की निराकरण करणाऱ्या घटकासह समीकरण कोणत्या समीकरणात जोडले आहे, योग्य घटकाने गुणाकार केला आहे.
सारणीच्या पहिल्या तीन ओळींमध्ये अज्ञातांचे गुणांक आणि मूळ प्रणालीच्या उजव्या बाजू आहेत. पहिल्या जॉर्डन ट्रान्सफॉर्मचे रिझोल्व्हिंग एलिमेंटचे परिणाम 4, 5, 6 ओळींमध्ये दिले आहेत. (-1) रिझोल्व्हिंग एलिमेंटसह दुस-या जॉर्डन ट्रान्स्फॉर्मचे परिणाम 7, 8, 9 ओळींमध्ये दिले आहेत. तिसरे समीकरण क्षुल्लक असल्याने ते वगळले जाऊ शकते.
n व्हेरिएबल्स असलेली m रेखीय समीकरणांची प्रणाली विचारात घ्या
(1)
ही प्रणाली थोडक्यात लिहिली जाऊ शकते: 
किंवा मॅट्रिक्स स्वरूपात: Ax = B.
रेखीय प्रोग्रामिंग समस्यांमध्ये, समीकरणांच्या अनिश्चित प्रणालींचा विचार केला जातो, म्हणजे. अनंत संख्येने उपाय असणे. नंतर सिस्टम मॅट्रिक्सचा रँक आर 
,
चलांच्या संख्येपेक्षा कमी: rn. याचा अर्थ (1) मधील रेषीय स्वतंत्र समीकरणांची कमाल संख्या r च्या बरोबरीची आहे. आम्ही असे गृहीत धरू की प्रणाली (1) मध्ये रेखीय स्वतंत्र समीकरणांची संख्या m च्या बरोबरीची आहे, म्हणजे. r = m. बीजगणितावरून हे ज्ञात आहे की या प्रकरणात एम व्हेरिएबल्स, गुणांक आहेत 
जे प्रणालीमध्ये (1) शून्य निर्धारकासह मॅट्रिक्स बनवते. अशा निर्धारकास मूलभूत मायनर म्हणतात, आणि संबंधित चलांना मूलभूत म्हणतात. उरलेल्या n–m व्हेरिएबल्सना फ्री व्हेरिएबल्स म्हणतात. सिस्टीम (1) च्या समीकरणांचा वापर करून बेसिक व्हेरिएबल्स फ्री व्हेरिएबल्सद्वारे व्यक्त केले जाऊ शकतात, फ्री व्हेरिएबल्सला अनियंत्रित मूल्ये नियुक्त करा आणि क्रेमरची सूत्रे वापरून मूलभूत चलांची मूल्ये शोधा. परिणाम प्रणाली (1) च्या उपायांपैकी एक आहे.
व्याख्या १.फ्री व्हेरिएबल्सच्या शून्य मूल्यांसह प्राप्त केलेल्या रेखीय समीकरण (1) च्या प्रणालीच्या समाधानास मूलभूत समाधान म्हणतात.
मूलभूत चल, आणि म्हणून मूळ सोल्यूशनचे शून्य नसलेले घटक, रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या गुणांक मॅट्रिक्सच्या रेखीय स्वतंत्र स्तंभांशी संबंधित आहेत. हे आपल्याला रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या मूलभूत समाधानाची भिन्न व्याख्या देण्यास अनुमती देते.
व्याख्या २.रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे मूलभूत समाधान हे या प्रणालीचे समाधान आहे ज्याचे शून्य नसलेले घटक या प्रणालीच्या गुणांक मॅट्रिक्सच्या रेखीय स्वतंत्र स्तंभांशी संबंधित आहेत.
बेस व्हेरिएबल्स (1) मध्ये निर्दिष्ट केलेल्या n व्हेरिएबल्समधील m व्हेरिएबल्स असलेले वेगवेगळे गट असू शकतात. n व्हेरिएबल्स असलेल्या संचातून m व्हेरिएबल्स निवडण्याच्या मार्गांची जास्तीत जास्त संभाव्य संख्या संयोजनांच्या संख्येइतकी आहे 
. तथापि, अशी प्रकरणे असू शकतात जेव्हा सिस्टीम (1) मध्ये निवडलेल्या m व्हेरिएबल्ससाठी गुणांकांनी बनलेल्या मॅट्रिक्सचा संबंधित निर्धारक शून्य असतो. म्हणून, मूलभूत चलांच्या गटांची संख्या ओलांडत नाही 
. मूलभूत व्हेरिएबल्सच्या प्रत्येक गटासाठी, सिस्टमचे संबंधित मूलभूत समाधान शोधू शकता (1). वरील तर्कावरून प्रमेय खालीलप्रमाणे आहे:
प्रमेय. अनिश्चित प्रणाली (1) च्या मूलभूत समाधानांची संख्या, ज्यामध्ये सिस्टम मॅट्रिक्सची श्रेणी आहेआर
=
मी
<
nपेक्षा जास्त नाही
.
उदाहरण. समीकरण प्रणालीची सर्व मूलभूत निराकरणे शोधा (2):
(2)
उपाय. स्पष्टपणे r=m=2, n=4. मूलभूत चलांच्या गटांची एकूण संख्या पेक्षा जास्त नाही 
= 6. तथापि, प्रणाली मॅट्रिक्समधील व्हेरिएबल्सच्या गुणांकांचे पहिले, द्वितीय आणि चौथे स्तंभ आनुपातिक आहेत, म्हणून या तीन स्तंभांपैकी कोणत्याही दोनच्या गुणांकांनी बनलेले द्वितीय-क्रम निर्धारक, शून्य समान आहेत. उर्वरित संच: 
,
आणि 
.
व्हेरिएबल्सच्या संचासाठी 
त्यांच्या गुणांकांनी बनलेला निर्धारक d = 
= –2 0. परिणामी, ही चल मूलभूत चल मानली जाऊ शकतात, 
- फुकट. फ्री व्हेरिएबल्सना शून्य मूल्ये देऊ: 
आम्ही सिस्टम सोडवतो:
(3)
, कुठे 
.
गॉसियन पद्धतीचे अनेक तोटे आहेत: गॉसियन पद्धतीमध्ये आवश्यक सर्व परिवर्तने पूर्ण होईपर्यंत ही प्रणाली सुसंगत आहे की नाही हे जाणून घेणे अशक्य आहे; गॉसची पद्धत अक्षर गुणांक असलेल्या प्रणालींसाठी योग्य नाही.
रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्याच्या इतर पद्धतींचा विचार करूया. या पद्धती मॅट्रिक्स रँकची संकल्पना वापरतात आणि क्रॅमरचा नियम लागू असलेल्या प्रणालीच्या समाधानापर्यंत कोणत्याही सुसंगत प्रणालीचे समाधान कमी करतात.
उदाहरण १.कमी झालेल्या एकसंध प्रणालीच्या सोल्युशनच्या मूलभूत प्रणालीचा वापर करून खालील रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधा आणि एकसमान प्रणालीचे विशिष्ट समाधान शोधा.
1. मॅट्रिक्स बनवणे एआणि विस्तारित प्रणाली मॅट्रिक्स (1)
2. सिस्टम एक्सप्लोर करा (1) एकजुटीसाठी. हे करण्यासाठी, आम्हाला मॅट्रिक्सची श्रेणी सापडते एआणि https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). असे आढळल्यास, सिस्टम (1) विसंगत. आम्हाला ते मिळाले तर , मग ही प्रणाली सुसंगत आहे आणि आम्ही ती सोडवू. (सुसंगतता अभ्यास क्रोनेकर-कॅपेली प्रमेयावर आधारित आहे).
a आम्ही शोधतो rA.
शोधण्यासाठी rA, आम्ही अनुक्रमे मॅट्रिक्सच्या पहिल्या, द्वितीय, इ. ऑर्डरच्या शून्य नसलेल्या अल्पवयीनांचा विचार करू. एआणि त्यांच्या सभोवतालचे अल्पवयीन.
M1=1≠0 (आम्ही मॅट्रिक्सच्या वरच्या डाव्या कोपऱ्यातून 1 घेतो ए).
आम्ही सीमा M1या मॅट्रिक्सची दुसरी पंक्ती आणि दुसरा स्तंभ. 
. आम्ही सीमा सुरू ठेवतो M1दुसरी ओळ आणि तिसरा स्तंभ..gif" width="37" height="20 src=">. आता आपण नॉन-झिरो मायनर सीमा करतो M2′दुसरी ऑर्डर.
आमच्याकडे आहे: 
(पहिले दोन स्तंभ समान असल्याने)
(दुसरी आणि तिसरी ओळी आनुपातिक असल्याने).
आम्ही ते पाहतो rA=2, a हा मॅट्रिक्सचा आधारभूत मायनर आहे ए.
b आम्ही शोधतो.
अगदी मूलभूत किरकोळ M2′मॅट्रिक्स एमुक्त अटी आणि सर्व पंक्तींच्या स्तंभासह सीमा (आमच्याकडे फक्त शेवटची पंक्ती आहे).
. ते त्याचे पालन करते M3′मॅट्रिक्सचे मूळ मायनर https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> राहते (2)
कारण M2′- मॅट्रिक्सचा आधार लहान एप्रणाली (2) , नंतर ही प्रणाली प्रणालीच्या समतुल्य आहे (3) , प्रणालीच्या पहिल्या दोन समीकरणांचा समावेश आहे (2) (च्या साठी M2′मॅट्रिक्स A च्या पहिल्या दोन ओळींमध्ये आहे).
(3)
मूळ अल्पवयीन https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> पासून (4)
या प्रणालीमध्ये दोन मुक्त अज्ञात आहेत ( x2 आणि x4 ). म्हणून एफएसआर प्रणाली (4) दोन उपायांचा समावेश आहे. त्यांना शोधण्यासाठी, आम्ही विनामूल्य अज्ञातांना नियुक्त करतो (4) प्रथम मूल्ये x2=1 , x4=0 , आणि मग - x2=0 , x4=1 .
येथे x2=1 , x4=0 आम्हाला मिळते:
.
ही यंत्रणा आधीच आहे एकमेव गोष्ट उपाय (हे क्रेमरचा नियम किंवा इतर कोणत्याही पद्धतीचा वापर करून शोधले जाऊ शकते). दुसऱ्या समीकरणातून पहिले वजा केल्यास, आम्हाला मिळते:
तिचे समाधान होईल x1= -1 , x3=0 . मूल्ये दिली x2 आणि x4 , जे आम्ही जोडले, आम्ही प्रणालीचे पहिले मूलभूत समाधान प्राप्त करतो (2) : .
आता आमचा विश्वास आहे (4) x2=0 , x4=1 . आम्हाला मिळते:
.
आम्ही क्रॅमरचे प्रमेय वापरून ही प्रणाली सोडवतो:
.
आम्ही प्रणालीचे दुसरे मूलभूत समाधान प्राप्त करतो (2) : .
उपाय β1 , β2 आणि मेकअप एफएसआर प्रणाली (2) . मग त्याचे सर्वसाधारण समाधान होईल
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
येथे C1 , C2 - अनियंत्रित स्थिरांक.
4. चला एक शोधूया खाजगी उपाय विषम प्रणाली(1) . परिच्छेदाप्रमाणे 3 , प्रणाली ऐवजी (1) चला समतुल्य प्रणालीचा विचार करूया (5) , प्रणालीच्या पहिल्या दोन समीकरणांचा समावेश आहे (1) .
(5)
आपण मुक्त अज्ञातांना उजवीकडे हलवू या x2आणि x4.
(6)
चला अज्ञातांना मोफत देऊ x2 आणि x4 अनियंत्रित मूल्ये, उदाहरणार्थ, x2=2 , x4=1 आणि त्यांना आत टाका (6) . चला सिस्टम मिळवूया
या प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय उपाय आहे (त्याचे निर्धारक पासून M2′0). ते सोडवून (क्रेमरचे प्रमेय किंवा गॉसची पद्धत वापरून), आम्ही मिळवतो x1=3 , x3=3 . मुक्त अज्ञातांची मूल्ये दिली x2 आणि x4 , आम्हाला मिळते विसंगत प्रणालीचे विशिष्ट समाधान(1)α1=(३,२,३,१).
5. आता फक्त ते लिहिणे बाकी आहे सामान्य सोल्यूशन α एक अभेद्य प्रणालीचे(1) : ते बेरजेइतके आहे खाजगी समाधानही यंत्रणा आणि त्याच्या कमी झालेल्या एकसंध प्रणालीचे सामान्य समाधान (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
याचा अर्थ: 
(7)
6. परीक्षा.आपण सिस्टम योग्यरित्या सोडवले आहे का ते तपासण्यासाठी (1) , आम्हाला एक सामान्य उपाय आवश्यक आहे (7) मध्ये पर्याय (1) . प्रत्येक समीकरण ओळखीमध्ये बदलल्यास ( C1 आणि C2 नष्ट करणे आवश्यक आहे), नंतर उपाय योग्यरित्या सापडेल.
आम्ही बदलू (7) उदाहरणार्थ, सिस्टमचे फक्त शेवटचे समीकरण (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
आम्हाला मिळते: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
कुठे –1=–1. आम्हाला एक ओळख मिळाली. आम्ही हे सिस्टमच्या इतर सर्व समीकरणांसह करतो (1) .
टिप्पणी.चेक सहसा खूप त्रासदायक असतो. खालील "आंशिक तपासणी" ची शिफारस केली जाऊ शकते: सिस्टमच्या सामान्य समाधानामध्ये (1) अनियंत्रित स्थिरांकांना काही मूल्ये नियुक्त करा आणि परिणामी आंशिक समाधान फक्त टाकून दिलेल्या समीकरणांमध्ये बदला (म्हणजे, पासून त्या समीकरणांमध्ये (1) , ज्यामध्ये समाविष्ट नव्हते (5) ). ओळख मिळाली तर अधिक शक्यता, सिस्टम सोल्यूशन (1) योग्यरित्या आढळले (परंतु अशी तपासणी अचूकतेची संपूर्ण हमी देत नाही!). उदाहरणार्थ, जर मध्ये (7) टाकणे C2=- 1 , C1=1, नंतर आपल्याला मिळेल: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. प्रणाली (1) च्या शेवटच्या समीकरणामध्ये बदलून, आमच्याकडे आहे: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , म्हणजे –1=–1. आम्हाला एक ओळख मिळाली.
उदाहरण २.रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधा (1) , मुक्त विषयांच्या दृष्टीने मूलभूत अज्ञात व्यक्त करणे.
उपाय.म्हणून उदाहरण १, मॅट्रिक्स तयार करा एआणि या मॅट्रिक्सपैकी https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> आता आपण फक्त सिस्टमची ती समीकरणे सोडतो (1) , ज्याचे गुणांक या मूलभूत मायनरमध्ये समाविष्ट केले आहेत (म्हणजे, आमच्याकडे पहिली दोन समीकरणे आहेत) आणि सिस्टीम (1) च्या समतुल्य असलेल्या सिस्टीमचा विचार करा.
या समीकरणांच्या उजव्या बाजूला मुक्त अज्ञात हस्तांतरित करूया.
प्रणाली (9) आम्ही गॉसियन पद्धतीने सोडवतो, उजव्या बाजूंना मुक्त संज्ञा मानून.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
पर्याय २.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
पर्याय 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
पर्याय 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
पर्याय 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
हे ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर जॉर्डन-गॉस पद्धत वापरून रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधते. तपशीलवार उपाय दिलेला आहे. गणना करण्यासाठी, समीकरणांची संख्या आणि चलांची संख्या निवडा. नंतर सेलमध्ये डेटा प्रविष्ट करा आणि "गणना" बटणावर क्लिक करा.
जॉर्डन-गॉस पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीवर उपाय शोधण्याच्या सैद्धांतिक भागासाठी खाली पहा.
|
संख्या प्रतिनिधित्व:
संपूर्ण संख्या आणि/किंवा सामान्य अपूर्णांकदशांश विभाजक नंतर ठिकाणांची संख्या
×
सर्व सेल साफ करायचे?
क्लिअर बंद करा
डेटा एंट्री सूचना.संख्या पूर्णांक (उदाहरणे: 487, 5, -7623, इ.), दशांश (उदा. 67., 102.54, इ.) किंवा अपूर्णांक म्हणून प्रविष्ट केल्या आहेत. अपूर्णांक a/b स्वरूपात प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे, जेथे a आणि b (b>0) पूर्णांक किंवा दशांश आहेत. उदाहरणे ४५/५, ६.६/७६.४, -७/६.७, इ.
जॉर्डन-गॉस पद्धत ही रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याची पद्धत आहे आणि व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्याची पद्धत देखील आहे. ही पद्धत गॉस पद्धतीमध्ये बदल आहे.
जॉर्डन-गॉस पद्धतीचा पहिला टप्पा गॉस पद्धती (डायरेक्ट गॉस चाल) सारखाच आहे, ज्याला "गॉस पद्धत ऑनलाइन" पृष्ठावर तपशीलवार पाहिले जाऊ शकते. जॉर्डन-गॉस पद्धतीचा दुसरा टप्पा (उलट) मध्ये अग्रगण्य घटकांच्या वरच्या रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीच्या गुणांक मॅट्रिक्सच्या सर्व घटकांना शून्य करणे समाविष्ट आहे. लक्षात घ्या की येथे आपण रेखीय समीकरणांच्या अनियंत्रित प्रणालीचा विचार करत आहोत, जिथे व्हेरिएबल्सची संख्या मर्यादांच्या संख्येइतकी असू शकत नाही.
रेखीय समीकरणांची खालील प्रणाली विचारात घ्या:
| (1) |
मॅट्रिक्स स्वरूपात सिस्टम (1) लिहू:
| Ax=b | (2) |
  | (3) |
ए- प्रणालीचे गुणांक मॅट्रिक्स म्हणतात, b- निर्बंधांची उजवी बाजू, x− शोधायचे व्हेरिएबल्सचे सदिश. रँक द्या( ए)=p.
चला सिस्टमचा विस्तारित मॅट्रिक्स तयार करूया:
जर ,..., शून्याच्या समान असतील, तर रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीला एक उपाय आहे, परंतु जर यापैकी किमान एक संख्या शून्यापेक्षा वेगळी असेल, तर प्रणाली विसंगत आहे. दुसऱ्या शब्दात, मॅट्रिक्सची रँक असल्यास आणि फक्त जर सिस्टम (2) सुसंगत आहे एविस्तारित मॅट्रिक्सच्या रँकच्या समान ( A|b).
द्या 
. नंतर, उलट क्रमाने, अग्रगण्य घटकापासून प्रारंभ करून, आम्ही उलट गॉसियन चाल लागू करतो. रिव्हर्स मोशनचे सार विस्तारित मॅट्रिक्सचे सर्व घटक रीसेट करणे आहे जे अग्रगण्य घटकांपेक्षा जास्त आहेत.
तर, कॉलममधील सर्व घटक रीसेट करूया p, घटकाच्या वर. ≠0 पासून, आम्ही 1,2 ओळी जोडतो,... p− 1 रेषेसह p, ने गुणाकार केला 
अनुक्रमे
विस्तारित मॅट्रिक्स खालील फॉर्म घेईल:
प्रत्येक पंक्तीला त्याच्या संबंधित अग्रगण्य घटकाने विभाजित करा (जर अग्रगण्य घटक अस्तित्वात असेल):
 |
मग उपाय खालीलप्रमाणे लिहिता येईल:
मॅट्रिक्स रेकॉर्डिंग प्रकार: Ax=b, कुठे
द्वारे सूचित करूया एक ijघटक i-वी ओळ आणि jवा स्तंभ.
पहिली पायरी. पुढे गॉसियन चाल
aअकरा हे करण्यासाठी, अनुक्रमे 1/2,-3/2 ने गुणाकार केलेल्या ओळी 2,3 सह ओळी 1 जोडा:
घटकाच्या वरील मॅट्रिक्सच्या 3र्या स्तंभातील घटक वगळू a३३. हे करण्यासाठी, ओळी 1, 2 ओळी 3 सह जोडा, अनुक्रमे -3/2, -5/4 ने गुणाकार करा:
आम्ही मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक पंक्तीला संबंधित अग्रगण्य घटकाने विभाजित करतो (जर अग्रगण्य घटक अस्तित्वात असेल):
मॅट्रिक्स रेकॉर्डिंग प्रकार: Ax=b, कुठे
द्वारे सूचित करूया एक ijघटक i-वी ओळ आणि jवा स्तंभ.
पहिली पायरी. डायरेक्ट गॉस हलवा.
घटकाच्या खाली असलेल्या मॅट्रिक्सच्या 1ल्या स्तंभातील घटक वगळू aअकरा हे करण्यासाठी, ओळी 1 सह ओळी 2,3 जोडा, अनुक्रमे 4/3, 5/3 ने गुणाकार करा:
दुसरा टप्पा. गौसियन उलटा
घटकाच्या वरील मॅट्रिक्सच्या दुसऱ्या स्तंभातील घटक वगळू a 22. हे करण्यासाठी, ओळ 2 सह ओळ 1 जोडा -3/10 ने गुणाकार करा:
चल व्यक्त करू x 1 , x 2 इतर चलांच्या सापेक्ष.
मग वेक्टर सोल्यूशन खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते:
 ,
|
x 3 ही अनियंत्रित वास्तविक संख्या आहे.
कुठे x* - एकसंध प्रणालीवरील उपायांपैकी एक (2) (उदाहरणार्थ (4)), (E−A+A)मॅट्रिक्सचे कर्नल (नल स्पेस) बनवते ए.
चला मॅट्रिक्सचे स्केलेटल विघटन करूया (E−A+A):
E−A + A=Q·S
कुठे प्र n×n−r- रँक मॅट्रिक्स (Q)=n−r, एस n−r×n-रँक मॅट्रिक्स (S)=n−r.
नंतर (13) खालील फॉर्ममध्ये लिहिले जाऊ शकते:
x=x*+Q·k, ∀ k ∈ आरएन-आर.
कुठे k=Sz.
तर, सामान्य उपाय शोधण्याची प्रक्रियास्यूडोइनव्हर्स मॅट्रिक्स वापरून रेखीय समीकरणांची प्रणाली खालील स्वरूपात दर्शविली जाऊ शकते:
x=x*+Q·k, ∀ k ∈ आरएन-आर.
ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर तुम्हाला तपशीलवार स्पष्टीकरणांसह रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधण्याची परवानगी देतो.
