हायड्रोस्टॅटिक्स बर्नौली समीकरण. नवशिक्यांसाठी द्रव प्रवाह आणि बर्नौली समीकरण

ज्याप्रमाणे न्यूटनचा सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम स्वतः न्यूटनच्या खूप आधी लागू होता बर्नौलीचे समीकरणबर्नौलीचा जन्म होण्याच्या खूप आधीपासून अस्तित्वात होते. त्याने हे समीकरण केवळ दृश्य स्वरूपात मांडले, ही त्याची निर्विवाद आणि प्रचंड गुणवत्ता आहे. मला बर्नौली समीकरणाची गरज का आहे, तुम्ही विचारता, कारण मी त्याशिवाय जगलो. होय, पण निदान हायड्रोलिक्स परीक्षेसाठी तरी ते तुमच्यासाठी उपयुक्त ठरेल! जसे ते म्हणतात, "जर तुम्हाला माहित असेल आणि बर्नौलीचे समीकरण तयार केले तर ते इतके वाईट नाही."

बर्नौली कोण आहे?

डॅनियल बर्नौली- प्रसिद्ध शास्त्रज्ञाचा मुलगा जेकब बर्नौली,स्विस गणितज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ. 1700 ते 1782 पर्यंत तो जगला आणि 1725 ते 1733 पर्यंत त्याने सेंट पीटर्सबर्ग अकादमी ऑफ सायन्सेसमध्ये काम केले. भौतिकशास्त्र आणि गणिताव्यतिरिक्त, बर्नौलीने गणितीय भौतिकशास्त्राचे संस्थापक जनक मानल्या जाणाऱ्या डी'अलेमबर्ट आणि युलर यांच्यासोबत वैद्यकशास्त्राचाही अभ्यास केला. या माणसाचे यश आपल्याला आत्मविश्वासाने सांगू देते की तो खरा “सुपरब्रेन” होता.

डी. बर्नौली (१७००-१७८२)

आदर्श द्रवपदार्थ आणि आदर्श द्रवपदार्थाचा प्रवाह

आम्हाला ज्ञात असलेल्या भौतिक बिंदू आणि आदर्श वायू व्यतिरिक्त, तेथे देखील अस्तित्वात आहे आदर्श द्रव. काही विद्यार्थ्याला, अर्थातच, असे वाटेल की हे द्रव त्याची आवडती बिअर किंवा कॉफी आहे, ज्याशिवाय जगणे अशक्य आहे. पण नाही , आदर्श द्रवहा एक द्रव आहे जो पूर्णपणे दाबण्यायोग्य नाही, चिकटपणा आणि थर्मल चालकता रहित आहे. तरीसुद्धा, असे आदर्शीकरण हायड्रोडायनॅमिक्समधील वास्तविक द्रव्यांच्या गतीचे बरेच चांगले वर्णन प्रदान करते.

द्रव प्रवाहएकमेकांच्या सापेक्ष किंवा संपूर्ण द्रव सापेक्ष त्याच्या थरांची हालचाल म्हणतात.

याव्यतिरिक्त, द्रव प्रवाहाच्या विविध पद्धती आहेत. जेव्हा एखाद्या विशिष्ट बिंदूवर प्रवाहाचा वेग वेळेनुसार बदलत नाही तेव्हा आम्हाला या प्रकरणात स्वारस्य आहे. अशा प्रवाहाला स्थिर म्हणतात. या प्रकरणात, स्थिर प्रवाहाच्या वेगवेगळ्या बिंदूंवरील प्रवाहाचा वेग भिन्न असू शकतो.

- हलत्या द्रवाच्या कणांचा संग्रह.

बर्नौलीच्या समीकरणाची व्युत्पत्ती

पण द्रवाच्या हालचालीचे वर्णन कसे करावे? हे करण्यासाठी, आपल्याला कण वेग वेक्टर किंवा त्याऐवजी त्याचे वेळेवर अवलंबून असणे आवश्यक आहे. प्रवाहाच्या वेगवेगळ्या बिंदूंवरील वेगांची संपूर्णता वेग वेक्टर फील्ड देते.

ट्यूबमधून द्रवाचा स्थिर प्रवाह विचारात घेऊ या. एका ठिकाणी या ट्यूबचा क्रॉस-सेक्शन S1 च्या बरोबरीचा आहे, आणि दुसर्यामध्ये - S2. स्थिर प्रवाहासह, समान कालावधीत समान प्रमाणात द्रव दोन्ही विभागांमधून जाईल.

हे समीकरण जेट सातत्य समीकरण आहे.

हे ओळखल्यानंतर, बर्नौलीने वेगवेगळ्या विभागांमध्ये दाब आणि द्रव वेग यांच्यातील संबंध स्थापित करण्याचा निर्णय घेतला. एकूण दाब म्हणजे सांख्यिकीय (द्रवपदार्थाच्या संभाव्य ऊर्जेद्वारे निर्धारित) आणि गतिशील दाब (गतिज उर्जेद्वारे निर्धारित) ची बेरीज. असे दिसून आले की पाईपच्या कोणत्याही विभागात स्थिर आणि गतिशील दाबांची बेरीज स्थिर असते. बर्नौली समीकरणाचे स्वतःचे स्वरूप आहे:

बर्नौलीच्या समीकरणाचा अर्थ

बर्नौलीच्या समीकरणाचा भौतिक अर्थ. बर्नौलीचे समीकरण ऊर्जा संवर्धनाच्या कायद्याचे परिणाम आहे. बर्नौली समीकरणाची पहिली टर्म म्हणजे गतीज ऊर्जा, बर्नौली समीकरणाची दुसरी टर्म म्हणजे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रातील संभाव्य ऊर्जा, तिसरी टर्म म्हणजे जेव्हा द्रव h उंचीवर जातो तेव्हा दाब शक्तीचे कार्य.

तेच आहे, मित्रांनो, हे इतके भयानक नाही. फक्त थोडा वेळ, आणि तुम्हाला बर्नौली समीकरण आधीच माहित आहे. तुम्हाला इतर काहीही माहित नसले तरीही, हे ज्ञान घेऊन परीक्षेला जाणे किंवा परीक्षेला जाणे केवळ ते करण्यापेक्षा बरेच चांगले आहे. आणि जर तुम्हाला बर्नौली समीकरण वापरून समस्यांचे निराकरण कसे करावे याबद्दल मदत हवी असल्यास, विनंती भरण्यास अजिबात संकोच करू नका. बर्नौली समीकरणाचे निराकरण शक्य तितक्या तपशीलवार वर्णन केल्यावर, तुमच्या ज्ञानात कोणतेही अंतर राहणार नाही.

माहितीपट शैक्षणिक चित्रपट. मालिका "भौतिकशास्त्र".

डॅनियल बर्नौली (जानेवारी 29 (फेब्रुवारी 8) 1700 - 17 मार्च, 1782), स्विस युनिव्हर्सल भौतिकशास्त्रज्ञ, मेकॅनिक आणि गणितज्ञ, वायू, हायड्रोडायनामिक्स आणि गणितीय भौतिकशास्त्राच्या गतिज सिद्धांताच्या निर्मात्यांपैकी एक. सेंट पीटर्सबर्ग अकादमी ऑफ सायन्सेसचे शैक्षणिक आणि परदेशी मानद सदस्य (1733), अकादमींचे सदस्य: बोलोग्ना (1724), बर्लिन (1747), पॅरिस (1748), रॉयल सोसायटी ऑफ लंडन (1750). जोहान बर्नौलीचा मुलगा.

बर्नौलीचा कायदा (समीकरण)(सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये) एक आदर्श (म्हणजे अंतर्गत घर्षणाशिवाय) असंकुचित द्रवपदार्थाच्या स्थिर प्रवाहासाठी उर्जेच्या संवर्धनाच्या कायद्याचा परिणाम आहे:

येथे

- द्रव घनता, - प्रवाह गती, - प्रश्नातील द्रव घटक ज्या उंचीवर स्थित आहे, - विचाराधीन द्रव घटकाच्या वस्तुमानाचे केंद्र अंतराळातील बिंदूवर दाब, - गुरुत्वाकर्षण प्रवेग.

बर्नौलीचे समीकरण यूलरच्या समीकरणाचा परिणाम म्हणून देखील काढले जाऊ शकते, जे हलत्या द्रवासाठी गती संतुलन व्यक्त करते.

वैज्ञानिक साहित्यात, बर्नौलीचा नियम सहसा म्हणतात बर्नौलीचे समीकरण(बर्नौलीच्या विभेदक समीकरणात गोंधळून जाऊ नये), बर्नौलीचे प्रमेयकिंवा बर्नौली अविभाज्य.

उजव्या बाजूला स्थिरांक अनेकदा म्हणतात पूर्ण दबावआणि सर्वसाधारणपणे, स्ट्रीमलाइनवर अवलंबून असते.

सर्व पदांचे परिमाण म्हणजे द्रवाच्या प्रति युनिट व्हॉल्यूमच्या ऊर्जेचे एकक. बर्नौली इंटिग्रलमधील पहिल्या आणि दुसऱ्या संज्ञांचा अर्थ द्रवाच्या प्रति युनिट व्हॉल्यूममध्ये गतिज आणि संभाव्य उर्जा आहे. हे लक्षात घेतले पाहिजे की तिसरे पद त्याच्या उत्पत्तीमध्ये दबाव शक्तींचे कार्य आहे आणि कोणत्याही विशिष्ट प्रकारच्या उर्जेचे ("दाब ऊर्जा") आरक्षित प्रतिनिधित्व करत नाही.

वर दिलेल्या एका जवळचा संबंध 1738 मध्ये डॅनियल बर्नौली यांनी मिळवला होता, ज्याचे नाव सहसा संबंधित आहे बर्नौली अविभाज्य. 1740 च्या सुमारास जोहान बर्नौलीने त्याच्या आधुनिक स्वरूपात अविभाज्यता प्राप्त केली.

क्षैतिज पाईपसाठी, उंची स्थिर असते आणि बर्नौलीचे समीकरण असे फॉर्म घेते: .

बर्नौलीच्या समीकरणाचे हे स्वरूप स्थिर घनतेवर स्थिर एक-आयामी द्रव प्रवाहासाठी यूलरचे समीकरण एकत्रित करून प्राप्त केले जाऊ शकते: .

बर्नौलीच्या नियमानुसार, द्रवपदार्थाच्या स्थिर प्रवाहात एकूण दाब त्या प्रवाहाबरोबर स्थिर राहतो.

एकूण दबाववजन, स्थिर आणि गतिमान दाब यांचा समावेश होतो.

बर्नौलीच्या नियमावरून असे दिसून येते की प्रवाह क्रॉस-सेक्शन जसजसा कमी होतो, वेग वाढल्यामुळे, म्हणजेच डायनॅमिक दाब, स्थिर दाब कमी होतो. हे मॅग्नस प्रभावाचे मुख्य कारण आहे. बर्नौलीचा कायदा लॅमिनार वायूच्या प्रवाहासाठी देखील वैध आहे. प्रवाह दर वाढीसह दबाव कमी होण्याची घटना विविध प्रकारचे फ्लो मीटर (उदाहरणार्थ, व्हेंचुरी ट्यूब), पाणी आणि स्टीम जेट पंपांच्या ऑपरेशनवर आधारित आहे. आणि बर्नौलीच्या कायद्याच्या सातत्यपूर्ण वापरामुळे तांत्रिक हायड्रोमेकॅनिकल शिस्त - हायड्रोलिक्सचा उदय झाला.

बर्नौलीचा नियम त्याच्या शुद्ध स्वरूपात फक्त त्या द्रवांसाठी वैध आहे ज्यांची चिकटपणा शून्य आहे. तांत्रिक द्रव यांत्रिकी (हायड्रॉलिक्स) मध्ये वास्तविक द्रवपदार्थांच्या प्रवाहाचा अंदाज घेण्यासाठी, बर्नौली इंटिग्रलचा वापर स्थानिक आणि वितरीत प्रतिकारांमुळे होणारे नुकसान लक्षात घेणाऱ्या अटी जोडून केला जातो.

बर्नौली इंटिग्रलचे सामान्यीकरण चिकट द्रव प्रवाहाच्या विशिष्ट वर्गांसाठी (उदाहरणार्थ, समांतर-समांतर प्रवाहांसाठी), मॅग्नेटोहायड्रोडायनामिक्स आणि फेरोहायड्रोडायनामिक्समध्ये ओळखले जाते.

स्थिर प्रवाहासाठी (वायू किंवा द्रव), गतिज आणि संभाव्य ऊर्जेची बेरीज, या प्रवाहाच्या कोणत्याही बिंदूवर प्रति युनिट खंड दाब स्थिर असतो.

मध्ये पहिली आणि दुसरी संज्ञा बर्नौलीचा कायदागतिज आणि संभाव्य ऊर्जेचा अर्थ प्रति युनिट द्रवपदार्थ आहे. आणि आमच्या सूत्रातील तिसरे पद म्हणजे दबाव शक्तींचे कार्य आणि कोणतीही ऊर्जा साठवत नाही. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की सर्व पदांची परिमाणे म्हणजे द्रव किंवा वायूच्या प्रति युनिट घनफळाच्या ऊर्जेचे एकक.

उजव्या बाजूला स्थिर बर्नौली समीकरणेएकूण दाब म्हणतात आणि सामान्य प्रकरणांमध्ये फक्त प्रवाह रेषेवर अवलंबून असतो.

जर तुमच्याकडे क्षैतिज पाईप असेल, तर बर्नौलीचे समीकरण वेगळे रूप धारण करते. h=0 पासून, संभाव्य ऊर्जा शून्य असेल, आणि नंतर आपल्याला मिळेल:

बर्नौली समीकरणावरून एक महत्त्वाचा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो. जेव्हा प्रवाहाचा क्रॉस-सेक्शन कमी होतो, तेव्हा वायू किंवा द्रवाच्या हालचालीचा वेग वाढतो (डायनॅमिक दाब वाढतो), परंतु त्याच क्षणी स्थिर दाब कमी होतो तेव्हा प्रवाहाचा क्रॉस-सेक्शन कमी होतो गती वाढण्यापर्यंत, म्हणजेच डायनॅमिक दाब, स्थिर दाब कमी होतो.

विमाने कशी उडतात ते जाणून घेऊया. डॅनियल बर्नौली यांनी न्यूटनच्या यांत्रिकी नियमांची ऊर्जेच्या संवर्धनाच्या कायद्याशी आणि द्रव निरंतरतेची स्थिती यांची सांगड घातली आणि ते समीकरण () काढू शकले, ज्यानुसार द्रव माध्यमाचा (द्रव किंवा वायू) दाब वाढल्याने कमी होतो. या माध्यमाचा प्रवाह दर. विमानाच्या बाबतीत, विमानाच्या पंखाभोवती हवा खाली वरून वरून अधिक हळू वाहते. आणि दाब आणि वेग यांच्यातील व्यस्त संबंधाच्या या प्रभावामुळे, खालीून हवेचा दाब, वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो, वरच्या दिशेने निर्देशित केलेल्या दाबापेक्षा जास्त असतो. परिणामी, जसजसा विमानाचा वेग वाढतो तसतसा वरच्या दिशेने दाबाचा फरक वाढतो आणि उचलण्याची शक्ती वाढते जी विमानाच्या पंखांवर कार्य करते. जमिनीवर विमानाच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या शक्तीपेक्षा ते ओलांडू लागताच, विमान अक्षरशः आकाशात झेपावते. समान शक्ती विमानाला क्षैतिज उड्डाणात ठेवते: समुद्रपर्यटन वेग आणि उंचीवर, उचलण्याचे बल गुरुत्वाकर्षणाच्या शक्तीला संतुलित करते.

सूत्रामध्ये आम्ही वापरले:

द्रव किंवा हवेची घनता

माहितीपट शैक्षणिक चित्रपट. मालिका "भौतिकशास्त्र".

येथे

क्षैतिज पाईपसाठी, उंची स्थिर असते आणि बर्नौलीचे समीकरण असे फॉर्म घेते: .

एकूण दबाववजन, स्थिर आणि गतिमान दाब यांचा समावेश होतो.

बर्नौली विभेदक समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे:
, जेथे n ≠ 0 , n ≠ 1 , p आणि q ही x ची कार्ये आहेत.

रेखीय समीकरणात घट करून बर्नौलीचे विभेदक समीकरण सोडवणे

बर्नौली विभेदक समीकरण विचारात घ्या:
(1) ,
जेथे n ≠ 0 , n ≠ 1 , p आणि q ही x ची कार्ये आहेत.
चला त्याला y n ने भागू. जेव्हा y ≠ 0 किंवा एन< 0 आमच्याकडे आहे:
(2) .
हे समीकरण व्हेरिएबलच्या बदलाचा वापर करून रेखीय समीकरणात कमी केले जाऊ शकते:
.
ते दाखवूया. जटिल कार्याच्या भिन्नतेच्या नियमानुसार:
;
.
चला बदलू (2) आणि परिवर्तन करा:
;
.
हे एक रेखीय, z च्या सापेक्ष, भिन्न समीकरण आहे. ते सोडवल्यानंतर, n > साठी 0 , आपण केस y = विचारात घेतले पाहिजे 0 . जेव्हा n > 0 , y = 0 हे समीकरणाचे समाधान देखील आहे (1) आणि उत्तरामध्ये समाविष्ट केले पाहिजे.

बर्नौली पद्धतीने उपाय

प्रश्नातील समीकरण (1) बर्नौलीच्या पद्धतीने देखील सोडवता येते. हे करण्यासाठी, आम्ही दोन फंक्शन्सच्या उत्पादनाच्या स्वरूपात मूळ समीकरणाचे निराकरण शोधतो:
y = u·v,
जेथे u आणि v हे x चे कार्य आहेत. x च्या संदर्भात फरक करा:
y′ = u′ v + u v′ .
मूळ समीकरणात बदला (1) :
;
(3) .
v म्हणून आपण समीकरणाचे कोणतेही शून्य नसलेले समाधान घेतो:
(4) .
समीकरण (4) विभक्त चलांसह समीकरण आहे. आम्ही त्याचे निराकरण करतो आणि विशिष्ट उपाय शोधतो v = v (x). आम्ही एक विशिष्ट उपाय मध्ये बदलतो (3) . कारण ते समीकरणाचे समाधान करते (4) , नंतर कंसातील अभिव्यक्ती शून्य होते. आम्हाला मिळते:
;
.
येथे v हे x चे आधीच ज्ञात फंक्शन आहे. हे विभक्त व्हेरिएबल्सचे समीकरण आहे. आम्ही त्याचे सामान्य समाधान शोधतो आणि त्यासह मूळ समीकरण y = uv चे समाधान शोधतो.

बर्नौली विभेदक समीकरण सोडवण्याचे उदाहरण

समीकरण सोडवा

उपाय

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे विभेदक समीकरण बर्नौलीच्या समीकरणासारखे आहे असे वाटत नाही. जर आपण x हे स्वतंत्र चल आणि y हे अवलंबित चल मानले (म्हणजे y हे x चे कार्य असल्यास), तर हे खरे आहे. परंतु जर आपण y हे स्वतंत्र चल आणि x हे अवलंबित चल मानले, तर हे बर्नौलीचे समीकरण आहे हे सहज लक्षात येईल.

म्हणून, x हे y चे कार्य आहे असे आपण गृहीत धरू. चला बदलू आणि याने गुणाकार करू:
;
;
(पृ.1) .
हे n = सह बर्नौलीचे समीकरण आहे 2 . हे वर चर्चा केलेल्या समीकरणापेक्षा वेगळे आहे (1) , फक्त चलांच्या नोटेशनद्वारे (y ऐवजी x). आम्ही बर्नौलीच्या पद्धतीने सोडवतो. चला एक प्रतिस्थापन करूया:
x = u v,
जेथे u आणि v हे y चे कार्य आहेत. y च्या संदर्भात फरक करा:
.
चला बदलू (पृ.1):
;
(पृ.2) .
आम्ही कोणतेही शून्य नसलेले कार्य शोधत आहोत v (y), समीकरण समाधानकारक:
(पृ.3) .
आम्ही व्हेरिएबल्स वेगळे करतो:
;
;
.
C = टाकू 0 , कारण आम्हाला समीकरणाचे कोणतेही समाधान हवे आहे (पृ.3).
;
.
चला बदलू (पृ.2)कंसातील अभिव्यक्ती शून्य बरोबर आहे हे लक्षात घेऊन (मुळे (पृ.3)):
;
;
.
चल वेगळे करू. जेव्हा आपण ≠ 0 आमच्याकडे आहे:
;
(पृ.4) ;
.
दुसऱ्या अविभाज्य भागामध्ये आम्ही प्रतिस्थापन करतो:
;
.