FIRT विद्यार्थी

द्वारे गट

शिक्षक

गाडिलोवा एफ.जी.

परिचय ………………………………………………………………………………………………..…३

धडा 1. सैद्धांतिक भाग

रंज-कुट्टा पद्धतीचे सार………………………………………………………5

१.२. अर्जाचा उद्देश आणि व्याप्ती………………………….१०

अध्याय2. व्यावहारिक भाग

2.1. समस्येचे विधान आणि समस्येचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम विकसित करणे ……………………………………………………………………………………………………… …….११

2.2. तांत्रिक आणि सॉफ्टवेअर टूल्सच्या रचनेची निवड………………………………………………………………………16

2.4. कार्यक्रमाची चाचणी घेत आहे……………………………………………………….18

निष्कर्ष ………………………………………………………………………………19

साहित्य ………………………………………………………………………….२०

अर्ज:

परिशिष्ट क्रमांक १ (प्रोग्राम सूची)

परिचय

अभ्यासक्रमाच्या कार्याचा उद्देश आहे: खंडावरील पाचव्या क्रमाच्या रंज-कुट्टा पद्धतीद्वारे y'=f(x,y),y(a)=y0 या सामान्य विभेदक समीकरणाचे अंदाजे समाधान शोधण्यासाठी प्रोग्राम लिहिणे. दिलेल्या स्थिर पायरीसह.

हे लक्ष्य साध्य करण्यासाठी, खालील कार्ये पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

रुंज-कुट्टा पद्धतीचे सार विचारात घ्या.

उद्देश आणि व्याप्ती.

प्रोग्रामची चाचणी घ्या.

ही समस्या संख्यात्मक पद्धतींशी संबंधित आहे. स्थिर चरण h सह सामान्य विभेदक समीकरणाचे निराकरण करणे आवश्यक आहे.

समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, टर्बोपास्कल 7.0 प्रोग्रामिंग भाषा वापरली जाईल, कारण ही भाषा तुम्हाला गणितीय सूत्रांसह कार्य करण्यास, विविध प्रकारचे गणिती ऑपरेशन्स आणि क्रिया करण्यास अनुमती देते जे कार्यक्रम विकासाच्या प्रक्रियेला गती देते आणि सुलभ करते. TurboPascal7.0 प्रोग्रामिंग भाषा टाइप केलेला ॲड्रेस ऑपरेटर, ओपन ॲरे आणि स्ट्रिंग वापरते, जी वापरकर्त्याला गणितातील समस्या सोडवताना अतिरिक्त क्षमता प्रदान करते. गणितीय समस्यांमध्ये, संख्यात्मक पद्धती लागू करणे आणि पद्धतींच्या अभिसरणाची स्थिती आणि दर यांचा प्रायोगिकपणे अभ्यास करणे आवश्यक असते. समस्या विधान, एक नियम म्हणून, प्रत्येक पद्धतीची मुख्य कल्पना देते (युलर, रंज-कुट्टा इ.).

फंक्शनची गणना आणि सबरूटीनच्या स्वरूपात वापरल्या जाणाऱ्या त्याचे व्युत्पन्न डिझाइन करण्याची शिफारस केली जाते, जेणेकरून प्रोग्राम स्वतः बदलल्याशिवाय कोणतेही फंक्शन प्रस्तुत केले जाऊ शकते. त्रुटी, प्रारंभिक स्थिती आणि अल्गोरिदम पॅरामीटर इनपुटद्वारे निर्दिष्ट केले आहेत. जेथे शक्य असेल तेथे अल्गोरिदमची उदाहरणे तपासण्याची शिफारस केली जाते ज्यासाठी विश्लेषणात्मकदृष्ट्या अचूक समाधान ज्ञात आहे किंवा शोधले जाऊ शकते.

धडा १.

1.1.रंज-कुट्टा पद्धतीचे सार

रुंज-कुट्टा पद्धतीमध्ये यूलर पद्धत आणि यूलर-कॉची पद्धत यासारख्या इतर अनेक पद्धतींचा समावेश होतो.

रुंज-कुट्टा पद्धतींमध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

1. या पद्धती एक-चरण आहेत: तुम्हाला आवश्यक m+1 शोधण्यासाठी

मागील बिंदू xmym बद्दल माहिती

2 ते क्रमाच्या अटींपर्यंत टेलर मालिकेशी सुसंगत असतात h p  जेथे p ची शक्ती वेगवेगळ्या पद्धतींसाठी भिन्न असते आणि त्याला क्रम संख्या किंवा पद्धत क्रम म्हणतात

3त्यांना च्या व्युत्पन्नांची गणना करण्याची आवश्यकता नाही f(xfy) पण ते मागणी करतात फंक्शनचीच गणना

प्रथम आपण भौमितिक बांधणीचा विचार करूया आणि भौमितिक सादृश्यांवर आधारित काही सूत्रे काढू या त्यानंतर विश्लेषणात्मक पद्धतीने मिळालेल्या निकालांची पुष्टी करू (विश्लेषणात्मक पद्धत, जी वापरली जाते, ती विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तीच्या स्वरूपात विभेदक समीकरणाचे समाधान देते; ग्राफिकल पद्धत, जे आलेखच्या स्वरूपात अंदाजे समाधान देते, जेव्हा आवश्यक कार्य टेबलच्या स्वरूपात प्राप्त होते.)

समजा आपल्याला इच्छित वक्र बिंदूचा xmym माहित आहे तर आपण झुकाव कोनाच्या स्पर्शिकेसह एक सरळ रेषा काढू शकतो  m =f(x m fym) जी बिंदू x m fym  या बिंदूतून जाईल. अंजीर मध्ये 1 दाखवले आहे जेथे वक्र समीकरणाचे अचूक परंतु निश्चितपणे अज्ञात समाधान दर्शवते आणि सरळ रेषा L1 फक्त वर्णन केल्याप्रमाणे तयार केली जाते

सरळ रेषेचे L 1 चे समीकरण असे दिसते: y=y m +y m (x-x m) पासून y=f(x m fy m) आणि त्याव्यतिरिक्तx m+1 =x m +h नंतर समीकरण घेईल फॉर्म

y m+1 =y m +h*f(x m y m) 1.1.

x=x m+1 वरील त्रुटी एका सेगमेंटच्या रूपात दर्शविली आहे  साहजिकच, अशा प्रकारे आढळलेले अंदाजे मूल्य टेलर मालिका विस्ताराच्या क्रमाच्या अटींपर्यंत सुसंगत आहे त्यामुळे मर्यादा त्रुटी e t = Kh 2 च्या बरोबरीची आहे.

लक्षात घ्या की जरी अंजीर 1 मधील बिंदू वक्र वर दर्शविला गेला असला तरी प्रत्यक्षात y m हे अंदाजे मूल्य आहे आणि ते वक्र वर अचूकपणे येत नाही.

फॉर्म्युला 11 यूलर पद्धतीचे वर्णन करते विभेदक समीकरणांच्या संख्यात्मक एकत्रीकरणासाठी सर्वात जुनी आणि सर्वात प्रसिद्ध पद्धतींपैकी एक आहे. लक्षात घ्या की यूलर पद्धत ही पहिल्या क्रमाच्या रुंज-कुट्टा पद्धतींपैकी एक आहे

दुरुस्त केलेली युलर पद्धत आणि सुधारित युलर पद्धतीचा विचार करूया. दुरुस्त केलेल्या यूलर पद्धतीमध्ये, आम्हाला दोन बिंदूंसाठी स्पर्शिकेच्या कोनाची सरासरी स्पर्शिका सापडते: x m y m आणि x m +hy m +hy m  शेवटचा बिंदू तोच आहे जो यूलरच्या पद्धतीमध्ये x m+1 म्हणून नियुक्त केला होता. y m+1  x m+1 fy m+1 बिंदू शोधण्याची भौमितिक प्रक्रिया आकृती 2 मध्ये शोधली जाऊ शकते. यूलर पद्धतीचा वापर करून, आपल्याला बिंदू x m +hy m +hy m  सरळ रेषेवर L 1 वर उडणारा आढळतो  या बिंदूवर स्पर्शिका पुन्हा मोजली जाते एक सरळ रेषा देते L शेवटी  बिंदू x m y m आपण Lबिंदूला Lसमांतर सरळ रेषा काढतो जी सरळ रेषा L ही x=x m+1 =x m +h वरून पुनर्संचयित केलेल्या ऑर्डिनेटला छेदेल आणि इच्छित बिंदू x m+1 y m+1 असेल. 

आणि दोन रंज-कुट्टा योजना आहेत चौथाअंदाजे क्रम:

उदाहरण. चौथ्या क्रम Runge-Kutta पद्धत वापरून d समीकरण सोडवा y/d x = –y, y(0) = 1.

वरील संबंधांनुसार, आम्ही गुणांक निर्धारित करतो:

आवश्यक फंक्शनच्या व्हॅल्यूजचा क्रम तयार करूया:

युक्तिवादाच्या मूल्यासाठी परिणामी संख्यात्मक समाधानाचे परिणाम x= 10 विविध एकत्रीकरणाच्या पायऱ्या टेबलमध्ये दिल्या आहेत. १५.२. पायरीसाठी तीन योग्य लक्षणीय आकडे मिळाले h = 0.25.

सारणी 15.1 आणि 15.2 ची समान समस्येच्या निराकरणासह तुलना केल्याने आम्हाला असा निष्कर्ष काढता येतो अंदाजे उच्च पदवीफरक ॲनालॉगसह भिन्न समीकरण आम्हाला प्राप्त करण्यास अनुमती देते अधिक अचूक उपायमोठ्या पायरीसह आणि, म्हणून, कमी पावले, म्हणजे, नेले जाते आवश्यक संसाधने कमी करणेसंगणक.

आज, ढोबळ गणनेसाठी, गणना यूलर पद्धतीने केली जाते, अचूक गणनासाठी - रुंज-कुट्टा पद्धतीने

16. व्याख्यान 16.
अंदाज आणि सुधारणा करण्याच्या पद्धती
(पुनरावृत्ती पद्धती)

आम्ही आधी अभ्यास केलेल्या पद्धतींमध्ये एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य होते - प्रत्येक पद्धत सहसा विशिष्ट अचूकतेच्या वर्गाशी संबंधित असते, ज्याला आम्ही म्हणून सूचित केले ओई. उदाहरणार्थ, यूलरच्या पद्धतीमध्ये प्रथम अचूकता वर्ग होता ओ१. याचा अर्थ असा की 10 पटीने (मोठ्या प्रमाणात) पायरी कमी झाल्यामुळे, निकालाची अचूकता देखील 10 पट वाढली (परिमाणाच्या एका क्रमाने). रंज-कुट्टा पद्धतीमध्ये अचूकतेचे 4 ऑर्डर आहेत - ओ 4, जेव्हा पायरी 10 पट कमी केली जाते, तेव्हा परिणाम 10,000 पटीने सुधारतो. युलर पद्धतीच्या तुलनेत ही पद्धत केवळ 4 पट अधिक गणना वापरते, तिचा वापर अधिक फायदेशीर आहे. आज, अचूकतेच्या 8 व्या क्रमापर्यंतच्या पद्धती ज्ञात आहेत (उदाहरणार्थ, प्रिन्स डॉर्टमंड पद्धत), जरी त्याच वेळी हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की त्यांच्यासाठी अल्गोरिदम लिहिणे हे एक कठीण काम आहे. या सर्व अल्गोरिदमचा फायदा असा आहे की त्यांच्यासाठी मोजणीची रक्कम आधीच ओळखली जाते.

आपण साध्य करणे आवश्यक असल्यास कोणतीही एका टप्प्यावर अचूकता, नंतर अंदाज आणि सुधारणा पद्धती वापरल्या पाहिजेत. या दृष्टिकोनामध्ये समीकरणाद्वारे निर्दिष्ट केलेल्या प्रक्षेपणाची गणना प्रत्येक चरणावर अनेक वेळा होते. अर्थात, प्रथम चरणाच्या शेवटी फंक्शनचे अंदाजे मूल्य काही साधे सूत्र (उदाहरणार्थ, यूलरची पद्धत) वापरून मोजले जाते, त्यानंतर व्युत्पन्न या टप्प्यावर गणना केली जाते आणि गणना चरणाच्या प्रारंभ बिंदूपासून पुन्हा होते. , परंतु व्युत्पन्नाच्या शुद्ध मूल्यासह. शेवटचे ऑपरेशन - चरणाच्या शेवटी फंक्शनचे व्युत्पन्न आणि मूल्याचे स्पष्टीकरण - उद्भवते प्रत्येक पायरीवर वारंवार , म्हणजे, जोपर्यंत गणना केलेली मूल्ये (चरणाच्या शेवटी फंक्शन आणि व्युत्पन्न) बदलणे थांबत नाही किंवा थोडेसे बदलत नाही, आगाऊ निर्दिष्ट केलेल्या मूल्यापेक्षा कमी ε . तरच अचूकता म्हणता येईल ε साध्य केले.

तर, प्रत्येक वैयक्तिक टप्प्यावर पुनरावृत्ती प्रक्रियेमुळेआपण कोणतीही पूर्वनिर्धारित अचूकता प्राप्त करू शकता ε . पद्धतीचा हा फायदा किंमतीवर येतो: दुर्दैवाने, एका टप्प्यावर निर्दिष्ट अचूकता प्राप्त करण्यासाठी किती पुनरावृत्ती आवश्यक असतील हे आगाऊ सांगणे अशक्य आहे. ε . म्हणून, अशा पद्धती, उदाहरणार्थ, रिअल-टाइम सिस्टममध्ये वापरल्या जाऊ शकत नाहीत.

उदाहरण म्हणून या वर्गातील दोन पद्धती पाहू. पूर्वीप्रमाणे, कार्य शोधणे आहे y(ट) विभेदक समीकरणातून dy/दि = f(y, x, ट) किंवा अशा समीकरणांच्या प्रणालीमधील फंक्शन्सचा संच.

समजा आपल्याला विभेदक समीकरणावर उपाय शोधायचा आहे

y’ = f(ट, y),

प्रारंभिक स्थिती पूर्ण करणे

तू(ट 0) = y 0 .

रंज-कुट्टा पद्धत ज्या तत्त्वावर आधारित आहे ते तत्त्व स्पष्ट केले जाऊ शकते, जसे की यूलर पद्धत ज्या तत्त्वावर आधारित आहे, कार्याचा टेलर मालिका विस्तार वापरून

टेलरचा डिक रांगेत ठेवण्यासाठी n-व्या क्रमाने, गणना करणे आवश्यक आहे n- अवलंबून व्हेरिएबलचे व्युत्पन्न. सुधारित यूलर पद्धत वापरताना, मर्यादित-अंतर स्वरूपात दुसरे व्युत्पन्न प्राप्त करण्यासाठी, विचाराधीन मध्यांतराच्या शेवटी वक्रचा उतार जाणून घेणे पुरेसे होते. मर्यादित-अंतर स्वरूपात तिसऱ्या व्युत्पन्नाची गणना करण्यासाठी, दुसऱ्या व्युत्पन्नाची किमान दोन बिंदूंची मूल्ये असणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, मध्यांतरातील काही मध्यवर्ती बिंदूवर वक्रचा उतार अतिरिक्तपणे निर्धारित करणे आवश्यक आहे. h, म्हणजे दरम्यान tnआणि n 1 ट+ साहजिकच, व्युत्पन्नाचा क्रम जितका जास्त असेल तितके जास्त अतिरिक्त गुण मध्यांतरात मोजले जातील. अंतर्गत बिंदू शोधण्याचे आणि सापडलेल्या डेरिव्हेटिव्ह्जसाठी सापेक्ष वजन निवडण्याचे अनेक मार्ग असल्याने, रंज-कुट्टा पद्धत, थोडक्यात, भिन्न समीकरणे सोडवण्यासाठी पद्धतींचे संपूर्ण कुटुंब एकत्र करते.

सर्वात सामान्य आहे चौथी ऑर्डर पद्धत, ज्यात टेलर मालिकेतील सर्व अटी समाविष्ट आहेत h४ . या शास्त्रीय पद्धतीचा वापर करून गणना सूत्रांनुसार केली जाते:

यूलर पद्धत आणि त्यातील बदल या अनुक्रमे पहिल्या आणि दुसऱ्या क्रमाच्या रुंज-कुट्टा पद्धती आहेत. Runge-Kutta पद्धतीची उच्च अचूकता तुम्हाला एकत्रीकरणाची पायरी वाढविण्यास अनुमती देते h. एका पायरीवरील परवानगीयोग्य त्रुटी त्याचे कमाल मूल्य निर्धारित करते. ऍप्लिकेशन सॉफ्टवेअर पॅकेजेसमध्ये, पायरी निवड अनेकदा स्वयंचलितपणे केली जाते. हे करण्यासाठी, गणना प्रथम चरणांमध्ये केली जाते h, आणि नंतर - चरणांमध्ये h/2.

चरणांसह गणनेच्या त्रुटीचा अंदाज लावण्यासाठी h/2 आपण अंदाजे सूत्र घेऊ शकतो

वाढीमध्ये गणना केलेले मूल्य कोठे आहे h/2; y n- वाढीमध्ये गणना केलेले मूल्य h. उदाहरण: y’ = xy.

संगणकावर रंज-कुट्टा पद्धती लागू करताना, प्रत्येक बिंदूसाठी दुहेरी मोजणी केली जाते. या प्रकरणात प्राप्त केलेली मूल्ये अभिव्यक्ती (5.4) पूर्ण करत असल्यास, बिंदूसाठी ट n+1 पायरी दुप्पट केली जाते, अन्यथा ती अर्धवट केली जाते. तथापि, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की अभिव्यक्ती (5.4) अंदाजे आहे आणि प्रतिकूल परिस्थितीत आपण पूर्णपणे चुकीचे परिणाम मिळवू शकता, जरी बहुतेक प्रकरणांमध्ये परिस्थिती ठीक आहे.

रुंज-कुट्टा पद्धत ही सर्वात सामान्यपणे वापरल्या जाणाऱ्या उच्च-परिशुद्धता पद्धतींपैकी एक आहे. युलरची पद्धत रुंज-कुट्टा पद्धतीची सर्वात सोपी आवृत्ती मानली जाऊ शकते.

विभेदक समीकरणासाठी कॉची समस्येचा विचार करा

y"(ट) = f(t, y(ट))

प्रारंभिक स्थितीसह y(ट 0) = y 0.

यूलरच्या पद्धतीप्रमाणे, आम्ही पायरी निवडतो h= आणि नोड्सच्या प्रणालीसह ग्रिड तयार करा ट i = ट 0 + ih, i= 0, 1, …, n

द्वारे सूचित करूया y iबिंदूवर इच्छित समाधानाचे अंदाजे मूल्य ट i .

देऊया अचूकतेच्या चौथ्या क्रमाच्या रंज-कुट्टा पद्धतीची गणना सूत्रे:

y i+ 1 = y i + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = f(ट i , y i),

k = f(ट i + , y i + k), (6.17)

k= f(ट i + , y i + k),

k = f(ट i +h, y i + hk),

i= 0, 1, …, n

त्रुटीचा अंदाज. ग्रेडरंज-कुट्टा पद्धतीतील चुका अवघड आहेत. Runge च्या नियमानुसार त्रुटीचा अंदाजे अंदाज दिला जातो (विभाग 6.2 पहा). रुंज-कुट्टा पद्धतीमध्ये अचूकतेचा चौथा क्रम असल्याने, म्हणजे. p= 4, नंतर त्रुटी अंदाज (6.6) फॉर्म घेईल

आर |y-y|. (6.18)

रुंजच्या नियमाचा वापर करून, दिलेल्या अचूकतेसह चौथ्या क्रमाच्या अचूकतेच्या रुंज-कुट्टा पद्धतीचा वापर करून कॉची समस्येच्या निराकरणाची अंदाजे गणना करण्यासाठी एक प्रक्रिया तयार करणे शक्य आहे. . विशिष्ट चरण मूल्यापासून गणना सुरू करणे आवश्यक आहे h, प्रत्येक वेळी अंदाजे मूल्य मोजताना हे मूल्य क्रमशः अर्ध्याने कमी करा y, i= 0, 1, …, nअट पूर्ण झाल्यावर गणना थांबते:

आर |y-y| < . (6.19)

अंदाजे समाधान मूल्ये असेल y, i= 0, 1, …, n

उदाहरण 6.4.

चौथ्या क्रमाच्या अचूकतेच्या रंज-कुट्टा पद्धतीचा वापर करून, आपण खालील कॉची समस्येच्या खंडावर उपाय शोधू.

y"(ट) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)

चला एक पाऊल टाकूया h =०.१. मग n = = 10.

(6.17) नुसार, गणना सूत्रे फॉर्म घेतील:

y i+ 1 = y i + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = 2ट i y i ,

k = 2(ट i +)(y i + k), (6.21)

k= 2(ट i +)(y i + k),

k = 2(ट i +h)(y i + hk),

i= 0, 1, …, 10.

समस्येचे (6.20) अचूक समाधान आहे: y(ट) = e, म्हणून त्रुटी अचूक आणि अंदाजे मूल्यांमधील फरकाचे परिपूर्ण मूल्य म्हणून परिभाषित केली जाते i = |y(ट i) - y i |.

सूत्रांचा वापर करून सापडलेल्या सोल्युशनची अंदाजे मूल्ये (6.21) y iआणि त्यांच्या चुका iतक्ता 6.5 मध्ये सादर केले आहे:

तक्ता 6.5

ट i	y i		ट i	y i

"कॉम्प्युटेशनल मेथड्स" कोर्समध्ये क्रेडिटसाठी उद्दिष्टे

टीप:प्रत्येक विद्यार्थ्याने प्रथम त्याच्या चाचणी कार्याचे मापदंड निश्चित केले पाहिजे, s= लॉग 10 (1 +), कुठे k- गट यादीतील विद्यार्थी संख्या, k= 1, 2, ... समस्यांचे निराकरण काळजीपूर्वक तयार केले पाहिजे आणि सर्व इंटरमीडिएट गणना समाविष्ट करा. नमुना म्हणून, तुम्ही मार्गदर्शक तत्त्वांच्या संबंधित विभागांमध्ये चर्चा केलेली उदाहरणे घेऊ शकता.

1. सेगमेंटला अर्ध्यामध्ये विभाजित करण्याची पद्धत वापरून, समीकरणाचे मूळ शोधा

4(1 - x 2) - e x = sअचूकतेसह = 10 -3 .

2. सीडेल पद्धत वापरून, =10-3 च्या अचूकतेसह समीकरणांची प्रणाली सोडवा.

6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s

ए = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s

1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s

3. फंक्शनचे अंदाजे अंदाज शोधा f(x) = e sxअचूकतेसह टेलर बहुपदी द्वारे विभागावर = 10 -3. गणना करा e s .

4. येथे इंटिग्रलची अंदाजे गणना करा n= 4 आणि निकालाच्या त्रुटीचा अंदाज लावा.

5. यूलर पद्धतीचा वापर करून, कॉची समस्येवर संख्यात्मक उपाय शोधा

y" = 2sy; y(0) = 1, पायरी असलेल्या एका खंडावर h = 0.2.

अचूक समाधानाशी तुलना करा.

अनेक तांत्रिक, रासायनिक आणि जैविक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी कॉची समस्या सोडवणे आवश्यक आहे. ही समस्या संगणकाचा वापर करून विश्लेषणात्मक आणि संख्यात्मक अशा वेगवेगळ्या प्रकारे सोडवता येते. कमी वेळेत परिणाम मिळणे हे अनेकदा महत्त्वाचे असते. या प्रकरणात, संख्यात्मक पद्धतींना प्राधान्य दिले जाते. याव्यतिरिक्त, अशी जटिल भिन्न समीकरणे आहेत की एकतर विश्लेषणात्मक उपाय शोधणे अजिबात शक्य नाही किंवा यासाठी वेळ आणि प्रयत्नांची खूप मोठी गुंतवणूक आवश्यक आहे.

हे काम चौथ्या क्रमाच्या रुंज-कुट्टा पद्धतीचे तपशीलवार परीक्षण करते ज्यामध्ये एकीकरण पायरी लांबीच्या स्वयंचलित निवडीसह (हे स्थिर पायरी लांबी वापरून पद्धतीच्या तुलनेत जास्त गणना अचूकता सुनिश्चित करते), आवश्यक सैद्धांतिक सारांश प्रदान करते, पद्धतीचे वर्णन, तसेच संगणक प्रोग्राम, त्याची अंमलबजावणी आणि चित्रण परिणाम.

मुख्य शब्द: विभेदक समीकरण, रुंज-कुट्टा पद्धत, युलर पद्धत, रुंज-कुट्टा पद्धतीचा क्रम, कॉची समस्या, टेलर मालिका, खंड, गुणांक, एकीकरण चरण, अविभाज्य वक्र.

कामामध्ये 8 आलेख, 4 चित्रे आणि 12 टेबल्ससह 36 पत्रके आहेत.

परिचय

1. सैद्धांतिक भाग

1.1 समस्या विधान

1.2 यूलरची पद्धत

1.3 रंज-कुट्टा पद्धतींची सामान्य रचना

1.4 ऑर्डर 4 पद्धतींची चर्चा

1.5 "इष्टतम" सूत्रे

1.6 रंज-कुट्टा पद्धतींसाठी ऑर्डर अटी

1.7 रंज-कुट्टा पद्धतींचा अंदाज आणि अभिसरण

1.7.1 अनिश्चिततेचे कठोर अंदाज

1.7.2 अग्रगण्य त्रुटी संज्ञा

1.7.3 जागतिक अनिश्चिततेचा अंदाज

1.8 इष्टतम खेळपट्टीची निवड

2. व्यावहारिक भाग

2.1 "इल्या आरके -4 आवृत्ती 1.43" प्रोग्रामचे वर्णन

निष्कर्ष

वापरलेल्या स्त्रोतांची यादी

परिशिष्ट A. कार्य आलेख

परिशिष्ट B. फंक्शन व्हॅल्यूजच्या सारणीचे उदाहरण y(x)

परिशिष्ट B. कार्यक्रमाची सूची "इल्या आरके-4 आवृत्ती 1.43"

परिचय

रंज-कुट्टा पद्धतींसाठी अतिरिक्त प्रारंभिक मूल्यांची गणना करण्याची आवश्यकता नाही या वस्तुस्थितीमुळे, या पद्धती शास्त्रीय पद्धतींमध्ये एक विशेष स्थान व्यापतात. खाली आम्ही त्यांच्या गुणधर्मांबद्दल तसेच या पद्धतींमध्ये अंतर्भूत असलेल्या काही मर्यादांबद्दल चर्चा करू.

या पद्धतींद्वारे सोडवलेल्या मोठ्या समस्यांच्या टप्प्यांच्या संख्येत वाढ झाल्यामुळे, संगणकाच्या मेमरीसह अडचणी उद्भवतील (आणि हे अधिक महत्त्वाचे आहे), मोठ्या समस्यांसाठी, नियमानुसार, लिपशिट्झ स्थिरांक नेहमीच मोठे असतात; सर्वसाधारणपणे, हे अशा समस्यांसाठी उच्च-ऑर्डर रंज-कुट्टा पद्धती अयोग्य बनवते. कोणत्याही परिस्थितीत, इतर पद्धती सहसा अधिक प्रभावी असतात आणि त्यांना प्राधान्य दिले पाहिजे. तथापि, चौथ्या क्रमाच्या रंज-कुट्टा पद्धती संगणकावर अंमलात आणणे खूप सोपे आहे आणि स्वयंचलित चरण निवडीची उपस्थिती चांगल्या अचूकतेसह गणना करणे शक्य करते. म्हणून, बऱ्याच प्रकारच्या कार्यांसाठी त्यांचा वापर करणे उचित आहे.

रंज-कुट्टा पद्धतींचे अनेक महत्त्वपूर्ण फायदे आहेत जे संशोधकांच्या लक्षणीय संख्येमध्ये त्यांची लोकप्रियता निर्धारित करतात. या पद्धती प्रोग्राम करणे सोपे आहे आणि कार्यांच्या विस्तृत श्रेणीसाठी पुरेशी अचूकता आणि स्थिरता गुणधर्म आहेत. या पद्धती, सर्व एक-चरण पद्धतींप्रमाणे, स्वत: ची सुरुवात करतात आणि आपल्याला गणनाच्या कोणत्याही टप्प्यावर सहजपणे एकत्रीकरणाची पायरी बदलण्याची परवानगी देतात.

हे काम अचूकता आणि कार्यक्षमतेच्या मुद्द्यांवर लक्ष केंद्रित करते ज्यासाठी रंज-कुट्टा पद्धती स्वीकार्य आहेत अशा प्रकारच्या समस्या सोडवल्या जातात.

स्वयंचलित स्टेप सिलेक्शनसह चौथ्या-ऑर्डर रंज-कुट्टा पद्धतींचे सॉफ्टवेअर अंमलबजावणी उच्च-स्तरीय भाषेत लिहिलेल्या प्रोग्रामच्या स्वरूपात सादर केली जाते. बोरलँड सी ++ 3.1 . कार्यक्रम वातावरणात चालवता येतो एमएस - डॉसकिंवा खिडक्या ® 95/98/ मी /2 k / XP. आउटपुट म्हणून, प्रोग्राम डिस्कवरील फाइलवर मूल्यांची सारणी लिहितो आणि संगणकाच्या स्क्रीनवर आलेख काढतो.

तयार केलेल्या प्रोग्रामचे परिणाम तपासण्यासाठी, गणिताच्या पॅकेजमध्ये समान भिन्न समीकरणे सोडवली गेली वॉटरलू मॅपल 9.01 आणि तयार केलेले ऍप्लिकेशन (आवृत्ती 1.43) वापरून, मूल्यांच्या सारण्या आणि सोल्यूशन आलेखांचे विश्लेषण केले गेले.

1. सैद्धांतिक भाग

1.1 समस्या विधान

विभेदक समीकरण आणि प्रारंभिक स्थिती दिली आहे, म्हणजे, कॉची समस्या मांडली आहे:

(2.1.1)

सेगमेंटवरील पायरीच्या स्वयंचलित निवडीसह चौथ्या-क्रम रंज-कुट्टा पद्धतीचा वापर करून सांगितलेल्या कॉची समस्येचे समाधान करणारा अविभाज्य वक्र शोधणे आवश्यक आहे.

. विभेदक समीकरणावर उपाय शोधून आणि त्यामध्ये प्रारंभिक स्थिती बदलून, त्याद्वारे आवश्यक अविभाज्य वक्र शोधून समस्येचे विश्लेषणात्मक निराकरण केले जाऊ शकते. परंतु आमच्यासाठी, अंकीय पद्धतीचा वापर करून ही समस्या सोडवण्यात स्वारस्य आहे आणि विशेषत: 4थ्या क्रमाची रंज-कुट्टा पद्धत स्वयंचलित पायरी निवडीसह, म्हणजेच संख्यात्मक उपाय. अविभाज्य वक्र परिभाषित करणाऱ्या तीव्रपणे बदलणाऱ्या कार्यांसह पुरेशा प्रोग्राम वर्तनासाठी स्वयंचलित चरण निवड ही एक आवश्यक अट आहे, जी तुम्हाला अविभाज्य वक्र वर्तनातील सर्व क्षण प्रतिबिंबित करण्यास आणि उच्च अचूकता प्राप्त करण्यास अनुमती देते.

1.2 यूलरची पद्धत

प्रारंभिक मूल्य समस्या (2.1.1) सोडवण्यासाठी युलरची पद्धत 1768 मध्ये यूलरने वर्णन केली होती. ही पद्धत अगदी सोपी आहे. त्याच्या जागतिक त्रुटीचे स्वरूप आहे

, जेथे कार्यावर अवलंबून स्थिर आहे, आणि कमाल पायरी लांबी आहे. जर 6 अचूक दशांश स्थाने मिळवायची असतील, तर त्यासाठी सुमारे एक दशलक्ष पावले टाकावी लागतील, जी फारशी समाधानकारक नाही. दुसरीकडे, न्यूटनच्या काळापासून हे ज्ञात आहे की जर ते चतुर्भुज द्वारे सोडवता येण्याजोगे समस्या (2.1.1) वर अवलंबून नसेल तर अधिक अचूक पद्धती शोधल्या जाऊ शकतात.

. (2.2.1)

उदाहरण म्हणून, गॉसच्या पहिल्या चतुर्भुज सूत्राचा विचार करा, ज्याला "मध्यबिंदू नियम" देखील म्हणतात:

(2.2.2) आणि

- उप-इंटरव्हल्सचे सीमा बिंदू ज्यामध्ये एकत्रीकरण मध्यांतर विभागले गेले आहे. हे ज्ञात आहे की या सूत्राच्या जागतिक त्रुटीचा अंदाज फॉर्म आहे. म्हणून जर इच्छित अचूकता 6 दशांश स्थाने असेल, तर ती साधारणपणे 1000 पायऱ्यांमध्ये मिळवता येते, ज्यामुळे ही पद्धत हजारपट जलद होते. म्हणून, रुंजने खालील प्रश्न उपस्थित केला: मूळ कॉची समस्येपर्यंत ही पद्धत वाढवणे शक्य आहे का? पहिली लांबीची पायरी सारखी दिसली पाहिजे