Genel olarak doğrusal denklem şu şekildedir:

Denklemin bir çözümü var: bilinmeyenlerin katsayılarından en az biri sıfırdan farklıysa. Bu durumda, koordinatları değiştirildiğinde denklem bir özdeşlik haline gelirse, herhangi bir boyutlu vektöre denklemin çözümü denir.

Çözülmüş denklem sisteminin genel özellikleri

Örnek 20.1

Denklem sistemini açıklayın.

Çözüm:

1. Çelişkili bir denklem var mı?(Katsayılar varsa, bu durumda denklem şu şekildedir: ve denir tartışmalı.)

• Eğer bir sistem çelişkili bir şey içeriyorsa o zaman böyle bir sistem tutarsızdır ve çözümü yoktur.

2. İzin verilen tüm değişkenleri bul. (Bilinmeyene denirizin verildi bir denklem sistemi için, sistemin denklemlerinden birine +1 katsayısıyla dahil edilmiş ancak geri kalan denklemlere dahil edilmemişse (yani sıfıra eşit bir katsayıyla dahil edilmişse).

3. Denklem sistemi çözüldü mü? (Denklem sistemine çözümlenmiş denir, eğer sistemin her denklemi, aralarında çakışanların olmadığı, çözümlenmiş bir bilinmeyen içeriyorsa)

Sistemin her denkleminden bir tane alınan çözümlenmiş bilinmeyenler, çözülmüş bilinmeyenlerin tam seti sistemler. (örneğimizde bu)

Tam sette yer alan izin verilen bilinmeyenlere de denir temel() ve sete dahil değil - özgür ().

Genel durumda, çözümlenmiş denklem sistemi şu şekildedir:

Bu aşamada asıl önemli olan ne olduğunu anlamaktır. bilinmiyor çözüldü(taban dahil ve ücretsiz).

Genel Özel Temel çözümler

Genel çözümçözümlenmiş bir denklem sistemi, çözülmüş bilinmeyenlerin serbest terimler ve serbest bilinmeyenler aracılığıyla ifadelerinin bir kümesidir:

Özel karar serbest değişkenlerin ve bilinmeyenlerin belirli değerleri için genel bir çözümden elde edilen çözüme çözüm denir.

Temel çözüm serbest değişkenlerin sıfır değerleri için genel çözümden elde edilen özel bir çözümdür.

• Temel çözüm (vektör) denir dejenere sıfır olmayan koordinatların sayısı izin verilen bilinmeyenlerin sayısından azsa.
• Temel çözüm denir dejenere olmayan sıfır olmayan koordinatların sayısı, sistemin tamamında yer alan izin verilen bilinmeyenlerin sayısına eşitse.

Teorem (1)

Çözülmüş denklem sistemi her zaman tutarlıdır(çünkü en az bir çözümü vardır); Ayrıca sistemin serbest bilinmeyenleri yoksa,(yani bir denklem sisteminde izin verilenlerin tümü tabana dahil edilir) o zaman tanımlanır(benzersiz bir çözümü vardır); en az bir serbest değişken varsa sistem tanımlanmamıştır(sonsuz sayıda çözümü vardır).

Örnek 1. Denklem sisteminin genel, temel ve herhangi bir özel çözümünü bulun:

Çözüm:

1. Sistemin yetkilendirilip yetkilendirilmediğini kontrol ediyor muyuz?

• Sistem çözümlenmiştir (denklemlerin her biri çözümlenmiş bir bilinmeyen içerdiğinden)

2. İzin verilen bilinmeyenleri her denklemden bir tane olacak şekilde kümeye dahil ediyoruz.

3. Kümeye dahil ettiğimiz izin verilen bilinmeyenlere bağlı olarak genel çözümü yazıyoruz..

4. Belirli bir çözüm bulma. Bunu yapmak için sete dahil etmediğimiz serbest değişkenleri rastgele sayılarla eşitliyoruz.

Cevap: özel çözüm(seçeneklerden biri)

5. Temel çözümü bulmak. Bunun için sete dahil etmediğimiz serbest değişkenleri sıfıra eşitliyoruz.

Doğrusal denklemlerin temel dönüşümleri

Doğrusal denklem sistemleri, temel dönüşümler kullanılarak eşdeğer çözümlü sistemlere indirgenir.

Teorem (2)

Varsa sistemin denklemini sıfırdan farklı bir sayı ile çarpın ve denklemlerin geri kalanını değiştirmeden bırakın, sonra . (yani denklemin sol ve sağ taraflarını aynı sayıyla çarparsanız buna eşdeğer bir denklem elde edersiniz)

Teorem (3)

Eğer sistemin herhangi bir denklemine bir tane daha ekle ve diğer tüm denklemleri değiştirmeden bırakın, sonra buna eşdeğer bir sistem elde ediyoruz. (yani iki denklemi toplarsanız (sol ve sağ taraflarını toplayarak) verilere eşdeğer bir denklem elde edersiniz)

Teoremlerin Sonuçları (2 ve 3)

Eğer belirli bir sayıyla çarpılan bir denkleme başka bir denklem eklemek ve diğer tüm denklemleri değiştirmeden bırakın, o zaman buna eşdeğer bir sistem elde ederiz.

Sistem katsayılarını yeniden hesaplamak için formüller

Eğer bir denklem sistemimiz varsa ve onu çözümlü bir denklem sistemine dönüştürmek istiyorsak Jordan-Gauss yöntemi bu konuda bize yardımcı olacaktır.

Ürdün dönüşümü bir çözme elemanı ile, sayı içeren denklemdeki bir denklem sistemi için çözümlenmiş bir bilinmeyen elde etmenize olanak sağlar. (örnek 2).

Jordan dönüşümü iki türden temel dönüşümlerden oluşur:

Diyelim ki alt denklemdeki bilinmeyeni çözümlenmiş bir bilinmeyene dönüştürmek istiyoruz. Bunu yapmak için, toplamın olması için 'ye bölmeliyiz.

Örnek 2 Sistem katsayılarını yeniden hesaplayalım

Bir denklemi bir sayıya bölerken, katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak yeniden hesaplanır:

Sayılı denklemin dışında kalmak için sayılı denklemi ile çarpıp bu denkleme eklemeniz gerekir.

Teorem (4) Sistemin denklem sayısının azaltılması üzerine.

Bir denklem sistemi önemsiz bir denklem içeriyorsa, sistemden çıkarılabilir ve orijinaline eşdeğer bir sistem elde edilir.

Teorem (5) Denklem sisteminin uyumsuzluğu üzerine.

Bir denklem sistemi tutarsız bir denklem içeriyorsa tutarsızdır.

Jordan-Gauss yöntemi algoritması

Jordan-Gauss yöntemini kullanarak denklem sistemlerini çözmeye yönelik algoritma, her birinde eylemlerin aşağıdaki sırayla gerçekleştirildiği bir dizi benzer adımdan oluşur:

1. Sistemin tutarsız olup olmadığını kontrol eder. Bir sistem tutarsız bir denklem içeriyorsa tutarsızdır.
2. Denklem sayısını azaltma olasılığı kontrol edilir. Sistem önemsiz bir denklem içeriyorsa, bunun üzeri çizilir.
3. Denklem sistemi çözülürse, sistemin genel çözümünü ve gerekirse özel çözümleri yazın.
4. Sistem çözülmemişse, çözümlenmiş bilinmeyen içermeyen bir denklemde, bir çözümleyici eleman seçilir ve bu elemanla Jordan dönüşümü gerçekleştirilir.
5. Daha sonra 1. noktaya geri dönün

Örnek 3 Jordan-Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözün.

Bulmak: iki genel ve bunlara karşılık gelen iki temel çözüm

Çözüm:

Hesaplamalar aşağıdaki tabloda gösterilmektedir:

Tablonun sağında denklemlerle ilgili eylemler bulunur. Oklar, çözme elemanı içeren denklemin uygun bir faktörle çarpılarak hangi denkleme eklendiğini gösterir.

Tablonun ilk üç satırı bilinmeyenlerin katsayılarını ve orijinal sistemin sağ taraflarını içerir. Çözücü elemanı bire eşit olan ilk Jordan dönüşümünün sonuçları 4, 5, 6. satırlarda verilmiştir. Çözücü elemanı (-1) olan ikinci Jordan dönüşümünün sonuçları 7, 8, 9. satırlarda verilmiştir. Üçüncü denklem önemsiz olduğundan dikkate alınamaz.

N değişken içeren m doğrusal denklemden oluşan bir sistemi düşünün

(1)

Bu sistem kısaca şu şekilde yazılabilir:

Veya matris formunda: Ax = B.

Doğrusal programlama problemlerinde belirsiz denklem sistemleri dikkate alınır; sonsuz sayıda çözüme sahip olmaktır. Daha sonra sistem matrisinin r derecesi

,
değişken sayısından daha az: rn. Bu, (1)'deki maksimum doğrusal bağımsız denklem sayısının r'ye eşit olduğu anlamına gelir. Sistem (1)'de doğrusal bağımsız denklemlerin sayısının m'ye eşit olduğunu varsayacağız; r = m. Cebirden bu durumda m değişkenin, katsayıların olduğu bilinmektedir. sistem (1)'de sıfırdan farklı bir determinantı olan bir matris oluşturur. Böyle bir determinant temel küçük olarak adlandırılır ve karşılık gelen değişkenler temel olarak adlandırılır. Geriye kalan n – m değişkene serbest değişkenler adı verilir. Temel değişkenler, sistem (1) denklemleri kullanılarak serbest değişkenler aracılığıyla ifade edilebilir, serbest değişkenlere keyfi değerler atanabilir ve Cramer formüllerini kullanarak temel değişkenlerin değerleri bulunabilir. Sonuç, sistem (1)'in çözümlerinden biridir.

Tanım 1. Serbest değişkenlerin sıfır değerleri ile elde edilen doğrusal denklem sisteminin (1) çözümüne temel çözüm denir.

Temel değişkenler ve dolayısıyla temel çözümün sıfır olmayan bileşenleri, doğrusal denklem sisteminin katsayı matrisinin doğrusal olarak bağımsız sütunlarına karşılık gelir. Bu, bir doğrusal denklem sisteminin temel çözümünün farklı bir tanımını vermemize olanak tanır.

Tanım 2. Bir doğrusal denklem sisteminin temel çözümü, sıfır olmayan bileşenleri bu sistemin katsayı matrisinin doğrusal olarak bağımsız sütunlarına karşılık gelen bu sistemin bir çözümüdür.

Temel değişkenler (1)'de belirtilen n değişkenden m değişkeni içeren farklı gruplar olabilir. N değişken içeren bir kümeden m değişkeni seçmenin mümkün olan maksimum yol sayısı, kombinasyon sayısına eşittir . Ancak sistem (1)'de seçilen m değişkenin katsayılarından oluşan bir matrisin karşılık gelen determinantının sıfıra eşit olduğu durumlar da olabilir. Bu nedenle temel değişken gruplarının sayısı geçmez . Her temel değişken grubu için, sistem (1)'in karşılık gelen temel çözümü bulunabilir. Yukarıdaki akıl yürütmeden teorem şu şekildedir:

Teorem. Sistem matrisinin sıralamasının belirtildiği belirsiz bir sistemin (1) temel çözümlerinin sayısıR = M < Naşmaz .

Örnek. Denklem sisteminin (2) tüm temel çözümlerini bulun:

(2)

Çözüm. Açıkçası r=m=2, n=4. Temel değişken gruplarının toplam sayısı en fazla = 6. Ancak sistem matrisindeki değişkenlerin katsayılarının birinci, ikinci ve dördüncü sütunları orantılı olduğundan bu üç sütundan herhangi ikisinin katsayılarından oluşan ikinci derece determinantlar sıfıra eşittir. Kalan setler:
,
Ve
.

Bir dizi değişken için
katsayılarından oluşan determinant d = = –2 0. Sonuç olarak bu değişkenler temel değişkenler olarak kabul edilebilir,
- özgür. Serbest değişkenlere sıfır değer atayalım:
Sistemi çözüyoruz:

(3)
, Neresi
.

Gauss yönteminin bir takım dezavantajları vardır: Gauss yönteminde gerekli tüm dönüşümler gerçekleştirilmeden sistemin tutarlı olup olmadığını bilmek imkansızdır; Gauss'un yöntemi harf katsayılı sistemler için uygun değildir.

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için diğer yöntemleri ele alalım. Bu yöntemler matris sıralaması kavramını kullanır ve herhangi bir tutarlı sistemin çözümünü Cramer kuralının geçerli olduğu bir sistemin çözümüne indirger.

Örnek 1.İndirgenmiş homojen sistemin temel çözüm sistemini ve homojen olmayan sistemin özel çözümünü kullanarak aşağıdaki doğrusal denklem sistemine genel bir çözüm bulun.

1. Matris yapmak A ve genişletilmiş sistem matrisi (1)

2. Sistemi keşfedin (1) birliktelik için. Bunu yapmak için matrislerin rütbelerini buluyoruz A ve https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width = "17" height = "26 src = ">). Eğer öyleyse sistem (1) uyumsuz. Eğer bunu alırsak O zaman bu sistem tutarlıdır ve bunu çözeceğiz. (Uyumluluk çalışması Kronecker-Capelli teoremine dayanmaktadır).

A. Bulduk rA.

Bulmak rA, matrisin birinci, ikinci vb. derecelerinin sıfır olmayan küçüklerini sırayla ele alacağız A ve onları çevreleyen küçükler.

M1=1≠0 (matrisin sol üst köşesinden 1 alıyoruz A).

Sınırdayız M1 bu matrisin ikinci satırı ve ikinci sütunu. . Sınırları aşmaya devam ediyoruz M1 ikinci satır ve üçüncü sütun..gif" width="37" height="20 src=">. Şimdi sıfırdan farklı küçükleri sınırlıyoruz M2' ikinci emir.

Sahibiz: (ilk iki sütun aynı olduğundan)

(ikinci ve üçüncü satırlar orantılı olduğundan).

Bunu görüyoruz rA=2, a matrisin temel minörüdür A.

B. Bulduk.

Oldukça basit yan dal M2' matrisler A serbest terimlerden oluşan bir sütun ve tüm satırlarla sınır (yalnızca son satıra sahibiz).

. Şunu takip ediyor M3'' matrisin temel küçük değeri olmaya devam ediyor https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Çünkü M2'- matrisin minör tabanı A sistemler (2) , o zaman bu sistem sisteme eşdeğerdir (3) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (2) (için M2' A) matrisinin ilk iki satırındadır.

(3)

Temel küçükten beri https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Bu sistemde iki serbest bilinmeyen vardır ( x2 Ve x4 ). Bu yüzden FSR sistemler (4) iki çözümden oluşur. Bunları bulmak için serbest bilinmeyenleri atarız. (4) ilk önce değerler x2=1 , x4=0 , ve daha sonra - x2=0 , x4=1 .

Şu tarihte: x2=1 , x4=0 şunu elde ederiz:

.

Bu sistem zaten var Sadece bir şey çözüm (Cramer kuralı veya başka bir yöntem kullanılarak bulunabilir). Birinci denklemi ikinci denklemden çıkararak şunu elde ederiz:

Onun çözümü olacak x1= -1 , x3=0 . Değerler göz önüne alındığında x2 Ve x4 eklediğimiz sistemin ilk temel çözümünü elde ederiz. (2) : .

Artık inanıyoruz (4) x2=0 , x4=1 . Şunu elde ederiz:

.

Bu sistemi Cramer teoremini kullanarak çözüyoruz:

.

Sistemin ikinci temel çözümünü elde ediyoruz (2) : .

Çözümler β1 , β2 ve makyaj FSR sistemler (2) . O zaman genel çözümü şöyle olacaktır:

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Burada C1 , C2 – keyfi sabitler.

4. Hadi bir tane bulalım özel çözüm heterojen sistem(1) . Paragrafta olduğu gibi 3 , sistem yerine (1) Eşdeğer bir sistem düşünelim (5) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (1) .

(5)

Serbest bilinmeyenleri sağ tarafa taşıyalım x2 Ve x4.

(6)

Ücretsiz bilinmeyenler verelim x2 Ve x4 örneğin keyfi değerler, x2=2 , x4=1 ve onları içeri koy (6) . Sistemi alalım

Bu sistemin benzersiz bir çözümü vardır (belirleyicisi M2'0). Bunu çözerek (Cramer teoremini veya Gauss yöntemini kullanarak), şunu elde ederiz: x1=3 , x3=3 . Serbest bilinmeyenlerin değerleri göz önüne alındığında x2 Ve x4 , alıyoruz homojen olmayan bir sistemin özel çözümü(1)α1=(3,2,3,1).

5. Şimdi geriye sadece yazmak kalıyor homojen olmayan bir sistemin genel çözümü α(1) : toplamına eşittir özel çözüm bu sistem ve indirgenmiş homojen sisteminin genel çözümü (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Bu şu anlama gelir: (7)

6. Muayene. Sistemi doğru çözüp çözmediğinizi kontrol etmek için (1) genel bir çözüme ihtiyacımız var (7) yerine koymak (1) . Her denklem kimliğe dönüşürse ( C1 Ve C2 yok edilmesi gerekir), o zaman çözüm doğru şekilde bulunur.

Yerine geçeceğiz (7) örneğin sistemin yalnızca son denklemi (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Şunu elde ederiz: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Burada –1=–1. Bir kimliğimiz var. Bunu sistemin diğer tüm denklemleriyle yapıyoruz (1) .

Yorum. Kontrol genellikle oldukça hantaldır. Aşağıdaki “kısmi kontrol” önerilebilir: sistemin genel çözümünde (1) keyfi sabitlere bazı değerler atayın ve elde edilen kısmi çözümü yalnızca atılan denklemlere (yani, aşağıdaki denklemlere) koyun: (1) , dahil olmayanlar (5) ). Eğer kimlik alırsanız, o zaman büyük olasılıkla, sistem çözümü (1) doğru bulunmuştur (ancak böyle bir kontrol, doğruluğun tam bir garantisini vermez!). Örneğin, eğer (7) koymak C2=- 1 , C1=1, o zaman şunu elde ederiz: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) sisteminin son denklemini yerine koyarsak: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yani –1=–1. Bir kimliğimiz var.

Örnek 2. Doğrusal denklem sistemine genel bir çözüm bulun (1) , temel bilinmeyenleri serbest olanlar cinsinden ifade etmek.

Çözüm. De olduğu gibi örnek 1, matrisleri oluştur A ve https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> bu matrislerden. Şimdi yalnızca sistemin denklemlerini bırakıyoruz (1) katsayıları bu temel minöre dahil olan (yani ilk iki denklemimiz var) ve bunlardan oluşan, sistem (1)'e eşdeğer bir sistem düşünün.

Serbest bilinmeyenleri bu denklemlerin sağ taraflarına aktaralım.

sistem (9) Sağ tarafları serbest terimler olarak kabul ederek Gauss yöntemiyle çözüyoruz.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Seçenek 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" genişlik = "192" yükseklik = "106 src = ">

Seçenek 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Seçenek 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Seçenek 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Bu çevrimiçi hesap makinesi, Jordan-Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü bulur. Ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Hesaplamak için denklem sayısını ve değişken sayısını seçin. Daha sonra verileri hücrelere girin ve "Hesapla" butonuna tıklayın.

Jordan-Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmanın teorik kısmı için aşağıya bakın.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Sayı gösterimi:

Tam Sayılar ve/veya Ortak Kesirler
Tam Sayılar ve/veya Ondalık Sayılar

Ondalık ayırıcıdan sonraki basamak sayısı

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b biçiminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam sayı veya ondalık sayıdır. Örnekler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, vb.

Jordan-Gauss yöntemi

Jordan-Gauss yöntemi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için bir yöntem ve aynı zamanda ters matrisi bulmak için bir yöntemdir. Bu yöntem Gauss yönteminin değiştirilmiş halidir.

Jordan-Gauss yönteminin ilk aşaması, "Çevrimiçi Gauss yöntemi" sayfasında ayrıntılı olarak görüntülenebilen Gauss yöntemine (doğrudan Gauss hareketi) benzer. Jordan-Gauss yönteminin ikinci aşaması (tersi), doğrusal denklem sisteminin katsayı matrisinin tüm elemanlarının, önde gelen elemanların üzerinde sıfırlanmasından oluşur. Burada değişken sayısının kısıtlama sayısına eşit olmayabileceği keyfi bir doğrusal denklem sistemi düşündüğümüzü unutmayın.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini göz önünde bulundurun:

(1)

Sistem (1)’i matris formunda yazalım:

Balta=b

(2)

(3)

A- sistemin katsayı matrisi denir, B− kısıtlamaların sağ tarafı, X− Bulunacak değişkenlerin vektörü. Sıralamaya izin ver( A)=P.

Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım:

,..., sıfıra eşitse doğrusal denklem sisteminin bir çözümü vardır, ancak bu sayılardan en az biri sıfırdan farklıysa sistem tutarsızdır. Başka bir deyişle, sistem (2), ancak ve ancak matrisin sıralamasının tutarlı olması durumunda tutarlıdır. A genişletilmiş matrisin rütbesine eşit ( A|b).

İzin vermek . Daha sonra ters sırada, öncü elemandan başlayarak ters Gauss hareketini uyguluyoruz. Tersine hareketin özü, genişletilmiş matrisin önde gelen öğelerden daha yüksek olan tüm öğelerini sıfırlamaktır.

O halde sütundaki tüm öğeleri sıfırlayalım P, öğenin üstünde. ≠0 olduğundan 1,2 satırlarını ekliyoruz... p− 1 çizgi ile P, çarpılır sırasıyla.

Genişletilmiş matris aşağıdaki formu alacaktır:

Her satırı karşılık gelen öncü öğeye bölün (eğer bir öncü öğe varsa):

O zaman çözüm şu şekilde yazılabilir:

Matris kayıt türü: Balta=b, Nerede

ile belirtelim bir ben elementler Ben-inci satır ve J sütun.

İlk aşama. İleri Gauss hareketi

A onbir. Bunu yapmak için, 2,3 satırlarını sırasıyla 1/2,-3/2 ile çarparak 1. satıra ekleyin:

Matrisin 3. sütununun elemanlarını elemanın üstünden hariç tutalım A 33. Bunu yapmak için, 1, 2 numaralı satırları sırasıyla -3/2, -5/4 ile çarparak 3 numaralı satıra ekleyin:

Matrisin her satırını karşılık gelen öncü elemana böleriz (eğer öncü eleman mevcutsa):

Matris kayıt türü: Balta=b, Nerede

ile belirtelim bir ben elementler Ben-inci satır ve J sütun.

İlk aşama. Doğrudan Gauss hareketi.

Elemanın altındaki matrisin 1. sütununun elemanlarını hariç tutalım A onbir. Bunu yapmak için, 2,3 satırlarını 1. satıra sırasıyla 4/3, 5/3 ile çarparak ekleyin:

İkinci aşama. Gauss ters çevrilmesi

Öğenin üzerindeki matrisin 2. sütununun öğelerini hariç tutalım A 22. Bunu yapmak için, 2. satırı -3/10 ile çarparak 1. satırı ekleyin:

Değişkenleri ifade edelim X 1 , X 2 diğer değişkenlere göre.

Daha sonra vektör çözümü aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

,

X 3 keyfi bir gerçek sayıdır.

Nerede X* - homojen olmayan sistemin çözümlerinden biri (2) (örneğin (4)) (E−A+A) matrisin çekirdeğini (sıfır uzayı) oluşturur A.

Matrisin iskelet ayrıştırmasını yapalım (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Nerede Q n×n−r- sıra matrisi (Q)=n−r, S n−r×n-rank matrisi (S)=n−r.

O halde (13) aşağıdaki biçimde yazılabilir:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Nerede k=Sz.

Bu yüzden, genel bir çözüm bulma prosedürü sözde ters matris kullanan doğrusal denklem sistemleri aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

1. Sahte ters matrisin hesaplanması A + .
2. Homojen olmayan doğrusal denklemler sistemine (2) özel bir çözüm hesaplıyoruz: X*=A + B.
3. Sistemin uyumluluğunu kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için hesaplıyoruz A.A. + B. Eğer A.A. + B≠B, o zaman sistem tutarsızdır. Aksi takdirde prosedüre devam ediyoruz.
4. Hadi çözelim E−A+A.
5. İskelet ayrıştırması yapmak E−A + A=Q·S.
6. Çözüm oluşturmak

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Doğrusal denklem sistemini çevrimiçi çözme

Çevrimiçi hesap makinesi, ayrıntılı açıklamalarla bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü bulmanızı sağlar.