Hidrostatik Bernoulli denklemi. Yeni başlayanlar için akışkan akışı ve Bernoulli denklemi

Tıpkı Newton'un evrensel çekim yasasının Newton'dan çok önce yürürlükte olması gibi, Bernoulli denklemi Bernoulli'nin kendisi doğmadan çok önce vardı. Bu denklemi yalnızca görsel bir forma sokmayı başardı ki bu onun yadsınamaz ve muazzam değeridir. Neden Bernoulli denklemine ihtiyacım var diye soruyorsunuz, çünkü onsuz gayet iyi yaşadım. Evet ama en azından hidrolik sınavında işinize yarayabilir! Dedikleri gibi, "Bernoulli denklemini bilmeniz ve formüle edebilmeniz o kadar da kötü değil."

Bernoulli kimdir?

Daniel Bernoulli- ünlü bir bilim adamının oğlu Jacob Bernoulli,İsviçreli matematikçi ve fizikçi. 1700'den 1782'ye kadar yaşadı ve 1725'ten 1733'e kadar St. Petersburg Bilimler Akademisi'nde çalıştı. Bernoulli, fizik ve matematiğin yanı sıra, matematiksel fiziğin kurucu babası sayılan D'Alembert ve Euler ile birlikte tıp eğitimi de aldı. Bu adamın başarısı, onun gerçek bir "süper beyin" olduğunu güvenle söylememizi sağlıyor.

D. Bernoulli (1700-1782)

İdeal akışkan ve ideal akışkanın akışı

Bildiğimiz maddesel nokta ve ideal gazın yanı sıra, ideal sıvı. Elbette bazı öğrenciler bu sıvının en sevdiği bira veya kahve olduğunu ve onsuz yaşamanın imkansız olduğunu düşünebilir. Ama hayır , ideal sıvı Kesinlikle sıkıştırılamaz, viskozite ve termal iletkenlikten yoksun bir sıvıdır. Bununla birlikte böyle bir idealleştirme, gerçek akışkanların hidrodinamikteki hareketinin oldukça iyi bir tanımını sağlar.

Sıvı akışı katmanlarının birbirine göre veya sıvının tamamına göre hareketi denir.

Ayrıca sıvı akışının farklı modları vardır. Belirli bir noktadaki akış hızının zamanla değişmediği durumla ilgileniyoruz. Böyle bir akışa durağan denir. Bu durumda, sabit bir akışın farklı noktalarındaki akış hızı farklılık gösterebilir.

– Hareket eden bir sıvının parçacıklarının toplanması.

Bernoulli denkleminin türetilmesi

Peki bir sıvının hareketi nasıl tarif edilir? Bunu yapmak için parçacık hız vektörünü, daha doğrusu zamana bağımlılığını bilmemiz gerekir. Akışın farklı noktalarındaki hızların toplamı hız vektör alanını verir.

Sıvının bir tüp içerisinden sabit akışını düşünelim. Bir yerde bu tüpün kesiti S1'e, diğerinde ise S2'ye eşittir. Sabit bir akışta, aynı sürede her iki bölümden de aynı miktarda sıvı geçecektir.

Bu denklem jet süreklilik denklemidir.

Bunu fark eden Bernoulli, farklı bölümlerdeki basınç ile sıvı hızı arasında bir bağlantı kurmaya karar verdi. Toplam basınç, istatistiksel (akışkanın potansiyel enerjisiyle belirlenir) ve dinamik basıncın (kinetik enerjiyle belirlenir) toplamıdır. Borunun herhangi bir bölümündeki statik ve dinamik basınçların toplamının sabit olduğu ortaya çıktı. Bernoulli denkleminin kendisi şu forma sahiptir:

Bernoulli denkleminin anlamı

Bernoulli denkleminin fiziksel anlamı. Bernoulli denklemi enerjinin korunumu yasasının bir sonucudur. Bernoulli denkleminin ilk terimi kinetik enerjidir, Bernoulli denkleminin ikinci terimi yerçekimi alanındaki potansiyel enerjidir, üçüncü terimi ise sıvı h yüksekliğine çıktığında basınç kuvvetinin işidir.

İşte bu arkadaşlar, o kadar da korkutucu değil. Biraz zaman sonra Bernoulli denklemini zaten biliyorsun. Başka hiçbir şey bilmiyor olsanız bile, bir sınava veya teste bu bilgiyle gitmek, bunu yapmaktan çok daha iyidir. Bernoulli denklemini kullanarak problemleri nasıl çözeceğiniz konusunda yardıma ihtiyacınız varsa, bir talep formu doldurmaktan çekinmeyin. Bernoulli denkleminin çözümü mümkün olduğu kadar detaylı anlatıldıktan sonra bilgi eksikliğiniz kalmayacaktır.

Belgesel eğitici filmler. Seri "Fizik".

Daniel Bernoulli (29 Ocak (8 Şubat) 1700 - 17 Mart 1782), İsviçreli evrensel fizikçi, mekanik ve matematikçi, gazların kinetik teorisinin, hidrodinamiğin ve matematiksel fiziğin yaratıcılarından biri. St.Petersburg Bilimler Akademisi'nin akademisyeni ve yabancı onur üyesi (1733), Akademilerin üyesi: Bologna (1724), Berlin (1747), Paris (1748), Londra Kraliyet Cemiyeti (1750). Johann Bernoulli'nin oğlu.

Bernoulli yasası (denklem)(en basit durumlarda) ideal (yani iç sürtünmesiz) sıkıştırılamaz bir akışkanın sabit akışı için enerjinin korunumu yasasının bir sonucudur:

Burada

- sıvı yoğunluğu, - akış hızı, - söz konusu sıvı elemanın bulunduğu yükseklik, - dikkate alınan akışkan elemanının kütle merkezinin bulunduğu uzaydaki noktadaki basınç, - yerçekimi ivmesi.

Bernoulli denklemi, hareketli bir akışkanın momentum dengesini ifade eden Euler denkleminin bir sonucu olarak da türetilebilir.

Bilimsel literatürde Bernoulli yasasına genellikle denir. Bernoulli denklemi(Bernoulli'nin diferansiyel denklemiyle karıştırılmamalıdır), Bernoulli teoremi veya Bernoulli integrali.

Sağ taraftaki sabite genellikle denir tam basınç ve genel durumda akış çizgisine bağlıdır.

Tüm terimlerin boyutu, sıvının birim hacmi başına enerji birimidir. Bernoulli integralindeki birinci ve ikinci terimler, sıvının birim hacmi başına kinetik ve potansiyel enerji anlamına gelir. Kökenindeki üçüncü terimin basınç kuvvetlerinin işi olduğu ve herhangi bir özel enerji türünün (“basınç enerjisi”) rezervini temsil etmediği unutulmamalıdır.

Yukarıda verilene yakın bir ilişki 1738 yılında Daniel Bernoulli tarafından elde edilmiştir. Bernoulli integrali. Modern haliyle integral, Johann Bernoulli tarafından 1740 civarında elde edildi.

Yatay bir boru için yükseklik sabittir ve Bernoulli denklemi şu şekli alır: .

Bernoulli denkleminin bu formu, Euler denkleminin sabit yoğunlukta sabit tek boyutlu sıvı akışı için entegre edilmesiyle elde edilebilir: .

Bernoulli kanununa göre, sabit bir akışkan akışındaki toplam basınç, bu akış boyunca sabit kalır.

Toplam basınç ağırlık, statik ve dinamik basınçtan oluşur.

Bernoulli kanununa göre hızdaki artışa, yani dinamik basınca bağlı olarak akış kesiti azaldıkça statik basınç düşer. Magnus etkisinin ana nedeni budur. Bernoulli kanunu laminer gaz akışları için de geçerlidir. Akış hızındaki artışla basınçta azalma olgusu, çeşitli tipteki akış ölçerlerin (örneğin bir Venturi tüpü), su ve buhar jeti pompalarının çalışmasının temelini oluşturur. Ve Bernoulli yasasının tutarlı bir şekilde uygulanması, teknik bir hidromekanik disiplinin - hidrolik - ortaya çıkmasına yol açtı.

Bernoulli yasası saf haliyle yalnızca viskozitesi sıfır olan sıvılar için geçerlidir. Teknik akışkanlar mekaniğinde (hidrolik) gerçek akışkanların akışını yaklaşık olarak hesaplamak için Bernoulli integrali, yerel ve dağıtılmış dirençlerden kaynaklanan kayıpları hesaba katan terimlerin eklenmesiyle birlikte kullanılır.

Bernoulli integralinin genellemeleri, manyetohidrodinamik ve ferrohidrodinamikteki belirli viskoz akışkan akış sınıfları (örneğin düzlemsel paralel akışlar için) için bilinmektedir.

Kararlı bir akış için (gaz veya sıvı), kinetik ve potansiyel enerjinin toplamı, birim hacim başına basınç bu akışın herhangi bir noktasında sabittir.

Birinci ve ikinci terimler Bernoulli yasası sıvının birim hacmi başına kinetik ve potansiyel enerji anlamına gelir. Formülümüzdeki üçüncü terim ise basınç kuvvetlerinin işidir ve herhangi bir enerji depolamaz. Bundan, tüm terimlerin boyutunun, sıvı veya gazın birim hacmi başına bir enerji birimi olduğu sonucuna varabiliriz.

Sağ tarafta sabit Bernoulli denklemleri toplam basınç olarak adlandırılır ve genel durumlarda yalnızca akış hattına bağlıdır.

Yatay bir borunuz varsa Bernoulli Denklemi farklı bir biçim alır. h=0 olduğundan potansiyel enerji sıfır olacaktır ve şunu elde ederiz:

Bernoulli Denklemi'nden önemli bir sonuç çıkarılabilir.. Akışın kesiti azaldığında, gazın veya sıvının hareket hızı artar (dinamik basınç artar), ancak aynı anda akışın kesiti azaldığında statik basınç da azalır. Hızın yani dinamik basıncın artmasıyla statik basınç düşer.

Uçakların nasıl uçtuğunu öğrenelim. Daniel Bernoulli, Newton'un mekanik yasalarını enerjinin korunumu yasası ve akışkanın sürekliliği koşuluyla birleştirdi ve akışkan bir ortamdan (sıvı veya gaz) gelen basıncın artan basınçla azaldığı denklemini () türetmeyi başardı. bu ortamın akış hızı. Uçak durumunda, hava, uçak kanadının etrafında aşağıdan yukarıya göre daha yavaş akar. Ve basınç ile hız arasındaki ters ilişkinin bu etkisi sayesinde, aşağıdan yukarıya doğru yönlendirilen hava basıncının, yukarıdan aşağıya doğru yönlendirilen basınçtan daha büyük olduğu ortaya çıkar. Sonuç olarak uçak hız kazandıkça yukarıya doğru basınç farkı artar ve hızlandıkça artan kaldırma kuvveti uçağın kanatlarına etki eder. Uçağın yere olan çekim kuvvetini aşmaya başladığı anda, uçak tam anlamıyla gökyüzüne doğru uçar. Aynı kuvvet uçağı yatay uçuşta tutar: Seyir hızında ve yükseklikte kaldırma kuvveti yerçekimi kuvvetini dengeler.

Kullandığımız formülde:

Sıvı veya havanın yoğunluğu