FIRT öğrencileri

Gruplandırma ölçütü

Öğretmen

Gadilova F.G.

GİRİŞ………………………………………………………………………………………..…3

1. BÖLÜM TEORİK BÖLÜM

RUNGE-KUTTA YÖNTEMİNİN ÖZÜ………………………………………………………5

1.2. UYGULAMANIN AMACI VE KAPSAMI……………………………10

BÖLÜM2. PRATİK BÖLÜM

2.1. SORUNUN BİLDİRİMİ VE SORUNUN ÇÖZÜMÜNE YÖNELİK ALGORİTMA GELİŞTİRİLMESİ………………………………………………………………………………………….. …….11

2.2. TEKNİK VE YAZILIM ARAÇLARININ BİLEŞİMİNİN SEÇİMİ………………………………………………………………………….16

2.4. PROGRAMIN TEST EDİLMESİ………………………………………………………...18

SONUÇ…………………………………………………………………………19

EDEBİYAT……………………………………………………………….…………20

UYGULAMALAR:

EK No. 1 (PROGRAM LİSTESİ)

giriiş

Ders çalışmasının amacı: y'=f(x,y),y(a)=y0 adi diferansiyel denkleminin bir parça üzerinde beşinci dereceden Runge-Kutta yöntemiyle yaklaşık çözümünü bulan bir program yazmak. belirli bir sabit steph ile.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevlerin tamamlanması gerekir:

Runge-Kutta yönteminin özünü düşünün.

Amaç ve Kapsam.

Programı test edin.

Bu problem sayısal yöntemlerle ilgilidir. Sabit adım h'ye sahip sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak gerekir.

Sorunu çözmek için TurboPascal 7.0 programlama dili kullanılacaktır çünkü bu dil matematiksel formüllerle çalışmanıza, çeşitli matematiksel işlemler ve eylemler gerçekleştirmenize olanak tanır. Borland'ın Turbo Pascal'ı dil standardının bir uzantısıdır ve entegre bir ortam içerir. program geliştirme sürecini hızlandırır ve kolaylaştırır. TurboPascal7.0 programlama dili, kullanıcıya matematik problemlerini çözerken ek yetenekler sağlayan, yazılı bir adres operatörü, açık diziler ve dizeler kullanır. Matematiksel problemlerde genellikle sayısal yöntemlerin uygulanması ve yöntemlerin yakınsama durumu ve hızının deneysel olarak incelenmesi gerekir. Problem ifadesi, kural olarak, her yöntemin (Euler, Runge-Kutta, vb.) ana fikrini verir.

Herhangi bir fonksiyonun programın kendisini değiştirmeden temsil edilebilmesi için, bir problemde kullanılan bir fonksiyonun ve onun türevinin hesaplanmasının altprogramlar şeklinde tasarlanması tavsiye edilir. Hata, başlangıç koşulu ve algoritma parametresi giriş tarafından belirtilir. Mümkün olduğunda, algoritmanın analitik olarak doğru bir çözümün bilindiği veya bulunabileceği örnekler üzerinde test edilmesi tavsiye edilir.

Bölüm 1.

1.1. Runge-Kutta yönteminin özü

Runge-Kutta yöntemi, Euler yöntemi ve Euler-Cauchy yöntemi gibi birkaç yöntemi içerir.

Runge-Kutta yöntemleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Bu yöntemler tek adımlıdır: ihtiyacınız olan m+1'i bulmak için

önceki nokta hakkında bilgi xmym

2 Bunlar, p'nin kuvvetinin farklı yöntemler için farklı olduğu ve sıra sayısı veya yöntem sırası olarak adlandırıldığı hp mertebesine kadar Taylor serisiyle tutarlıdır.

3Türevlerin hesaplanmasını gerektirmezler. f(xy) ama talep ediyorlar fonksiyonun kendisinin hesaplanması

Öncelikle geometrik yapıyı ele alalım ve geometrik analojilere dayalı bazı formüller türetelim. Bundan sonra elde edilen sonuçları analitik olarak doğrulayacağız(Kullanılan analitik yöntem, diferansiyel denklemin çözümünü analitik ifade şeklinde verir; Grafiksel Gerekli fonksiyon tablo şeklinde elde edildiğinde grafik şeklinde yaklaşık bir çözüm veren yöntem;

İstenilen eğri üzerinde xmym noktasını bildiğimizi varsayalım. Sonra x m y m  noktasından geçecek olan  m =f(x m y m) eğim açısının tanjantıyla düz bir çizgi çizebiliriz. Şekil 1'de gösterilmektedir; burada eğri, denklemin kesin fakat sonlu bilinmeyen çözümünü temsil eder ve L1 düz çizgisi, az önce anlatıldığı gibi oluşturulur.

L 1 düz çizgisinin denklemi şuna benzer: y=y m +y m (x-x m) çünkü y=f(x m y m) ve buna ek olarak x m+1 =x m +h o zaman denklem şu şekilde olacaktır: biçim

y m+1 =y m +h*f(x m y m) 1.1.

x=x m+1'deki hata bir e parçası olarak gösterilir. Açıkçası, bu şekilde bulunan yaklaşık değer Taylor serisi açılımı ile h mertebesine kadar tutarlıdır, dolayısıyla kısıtlama hatası e t = Kh 2'ye eşittir.

Her ne kadar Şekil 1'deki nokta bir eğri üzerinde gösterilmiş olsa da gerçekte y m'nin yaklaşık bir değer olduğunu ve tam olarak eğrinin üzerinde yer almadığını unutmayın.

Formül 11, diferansiyel denklemlerin sayısal entegrasyonu için en eski ve en yaygın olarak bilinen yöntemlerden biri olan Euler yöntemini açıklar. Euler yönteminin birinci dereceden Runge-Kutta yöntemlerinden biri olduğuna dikkat edin.

Düzeltilmiş Euler yöntemini ve değiştirilmiş Euler yöntemini ele alalım. Düzeltilmiş Euler yönteminde, iki nokta için teğet açısının ortalama teğetini buluruz: x m y m ve x m +hy m +hy m Son nokta, Euler yönteminde x m+1 olarak gösterilen noktanın aynısıdır. y m+1  x m+1 y m+1 noktasını bulmanın geometrik süreci Şekil 2'de izlenebilir. Euler yöntemini kullanarak, x m +hy m +hy m noktasını buluruz; L 1 düz çizgisi üzerinde uzanır. Bu noktada teğet tekrar hesaplanır, L düz bir çizgisi verir. Son olarak x m y m noktasından geçer. LLNoktasına paralel bir düz çizgi çizeriz; burada L düz çizgisi x=x m+1 =x m +h'den geri alınan koordinatla kesişir ve istenen x m+1 y m+1 noktası olur 

Ve iki Runge-Kutta şeması dördüncü yaklaşıklık sırası:

Örnek. Dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemini kullanarak d denklemini çözün sen/D X = –sen, sen(0) = 1.

Yukarıdaki ilişkilere uygun olarak katsayıları belirliyoruz:

Gerekli fonksiyonun bir dizi değerini oluşturalım:

Argümanın değeri için ortaya çıkan sayısal çözümün sonuçları X= 10'un çeşitli integrasyon adımları tabloda verilmiştir. 15.2. Adım için elde edilen üç doğru anlamlı rakam H = 0.25.

Tablo 15.1 ve 15.2'nin aynı soruna yönelik çözümlerle karşılaştırılması şu sonuca varmamızı sağlar: daha yüksek derecede yakınlaştırma fark analogu olan diferansiyel denklem elde etmemizi sağlar daha doğru çözüm daha büyük bir adımla ve dolayısıyla daha az adımla, yani gerekli kaynakların azaltılması BİLGİSAYAR.

Günümüzde kaba hesaplamalar için hesaplamalar Euler yöntemiyle, doğru hesaplamalar için Runge-Kutta yöntemiyle yapılmaktadır.

16. Ders 16.
Tahmin ve düzeltme yöntemleri
(yinelemeli yöntemler)

Daha önce incelediğimiz yöntemlerin önemli bir özelliği vardı; her yöntem genellikle belirli bir doğruluk sınıfına karşılık gelir. ah ben. Örneğin Euler'in yöntemi birinci doğruluk sınıfına sahipti Ö 1. Bu, adımdaki 10 kat azalmayla (büyüklük sırasına göre) sonucun doğruluğunun da 10 kat arttığı anlamına geliyordu (bir büyüklük sırasına göre). Runge-Kutta yönteminin 4 doğruluk derecesi vardır: Ö 4, adım 10 kat azaltıldığında sonuç 10.000 kat iyileşir. Bu yöntem Euler yöntemine göre yalnızca 4 kat daha fazla hesaplama kullandığından kullanımı daha karlı olur. Bugün, 8. doğruluk derecesine kadar yöntemler bilinmektedir (örneğin, Prince Dortmund yöntemi), ancak aynı zamanda onlar için algoritma yazmanın oldukça zor bir iş olduğunu da akılda tutmakta fayda var. Tüm bu algoritmaların avantajı, onlar için yapılacak hesaplama miktarının önceden bilinmesidir.

Eğer ulaşman gerekiyorsa HERHANGİ Bir adımda doğruluk sağlanıyorsa tahmin ve düzeltme yöntemleri kullanılmalıdır. Bu yaklaşım, denklemle belirlenen yörüngenin hesaplanmasının her adımda birden çok kez gerçekleşmesinden oluşur. Yani önce fonksiyonun adım sonundaki yaklaşık değeri basit bir formül (örneğin Euler yöntemi) kullanılarak hesaplanır, ardından bu noktada türev hesaplanır ve hesaplama adımdaki başlangıç noktasından tekrar yapılır. , ancak türevin rafine edilmiş bir değeri ile. Son işlem - adımın sonunda fonksiyonun türevinin ve değerinin açıklığa kavuşturulması - gerçekleşir HER ADIMDA TEKRARLAMAK yani hesaplanan değerlerin (adım sonundaki fonksiyon ve türev) değişimi durana veya önceden belirtilen değerden daha az bir miktar değişene kadar ε . Ancak o zaman doğruluğu söyleyebiliriz ε elde edildi.

Bu yüzden, her bir adımda yinelenen prosedür nedeniyleönceden belirlenmiş herhangi bir doğruluğu elde edebilirsiniz ε . Yöntemin bu avantajının bir bedeli vardır: Ne yazık ki, bir adımda belirtilen doğruluğu elde etmek için kaç yinelemenin gerekeceğini önceden söylemek imkansızdır. ε . Bu nedenle bu tür yöntemler örneğin gerçek zamanlı sistemlerde kullanılamaz.

Örnek olarak bu sınıftan iki yönteme bakalım. Daha önce olduğu gibi, görev işlevi bulmaktır. sen(T) diferansiyel denklemden ölmek/dt = F(sen, X, T) veya bu tür denklemlerden oluşan bir sistemden bir dizi fonksiyon.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmamız gerektiğini varsayalım.

sen’ = F(T, sen),

başlangıç koşulunu karşılayan

sen(T 0) = sen 0 .

Runge-Kutta yönteminin dayandığı ilke, Euler yönteminin dayandığı ilke gibi, fonksiyonun Taylor serisi açılımı kullanılarak açıklanabilir.

Taylor'ın aletini hizada tutmak için N-inci sırada hesaplamak gerekir N Bağımlı değişkenin -th türevi. Değiştirilmiş Euler yöntemini kullanırken sonlu farklar formunda ikinci türevi elde etmek için, söz konusu aralığın uçlarındaki eğrinin eğimini bilmek yeterliydi. Üçüncü türevi sonlu farklar formunda hesaplamak için ikinci türevin değerlerinin en az iki noktada olması gerekir. Bunu yapmak için, aralıktaki bazı ara noktalarda eğrinin eğimini ek olarak belirlemek gerekir. H yani arasında tn Ve N 1 T+ . Açıkçası, hesaplanan türevin derecesi ne kadar yüksek olursa, aralık içinde o kadar fazla ek noktanın hesaplanması gerekecektir. İç noktaları belirlemenin ve bulunan türevler için göreceli ağırlıkları seçmenin birkaç yolu olduğundan, Runge-Kutta yöntemi özünde diferansiyel denklemleri çözmek için bütün bir yöntem ailesini birleştirir.

En yaygın olanı dördüncü dereceden yöntem Taylor serisinin tüm terimlerini içeren H 4. Bu klasik yöntemi kullanan hesaplamalar aşağıdaki formüllere göre yapılır:

Euler yöntemi ve onun modifikasyonu esasen sırasıyla birinci ve ikinci dereceden Runge-Kutta yöntemleridir. Runge-Kutta yönteminin daha yüksek doğruluğu, entegrasyon adımını artırmanıza olanak tanır H. Bir adımdaki izin verilen hata, adımın maksimum değerini belirler. Uygulama yazılım paketlerinde adım seçimi çoğunlukla otomatik olarak yapılır. Bunu yapmak için öncelikle hesaplamalar adım adım gerçekleştirilir. H ve ardından adım adım H/2.

Adımlarla hesaplama hatasını tahmin etmek için H/2 yaklaşık formülü alabilirsiniz

artışlarla hesaplanan değer nerede H/2; e-n– artışlarla hesaplanan değer H. Örnek: sen’ = xy.

Runge-Kutta yöntemlerini bilgisayarda uygularken her nokta için çift sayım yapılır. Bu durumda elde edilen değerler ifadeyi (5.4) karşılıyorsa, o zaman nokta için T n+1 adım iki katına çıkar, aksi durumda yarıya iner. Ancak (5.4) ifadesinin yaklaşık olduğu ve çoğu durumda durum iyi olmasına rağmen, uygun olmayan koşullar altında tamamen hatalı sonuçlar alabileceğinizi unutmamak gerekir.

Runge-Kutta yöntemi en sık kullanılan yüksek hassasiyetli yöntemlerden biridir. Euler yöntemi Runge-Kutta yönteminin en basit versiyonu olarak düşünülebilir.

Diferansiyel denklem için Cauchy problemini düşünün

sen"(T) = F(t, y(T))

başlangıç koşuluyla sen(T 0) = sen 0.

Euler yönteminde olduğu gibi adımı seçiyoruz H= ve düğümlerden oluşan bir sistemle bir ızgara oluşturun T Ben = T 0 + ıh, ben= 0, 1, …, N.

ile belirtelim sen Ben istenilen çözümün noktadaki yaklaşık değeri T Ben .

Hadi verelim dördüncü doğruluk derecesine sahip Runge-Kutta yönteminin hesaplama formülleri:

sen ben+ 1 = sen Ben + H(k+ 2k+ 2k + k),

k = F(T Ben , sen Ben),

k = F(T Ben + , sen Ben + k), (6.17)

k= F(T Ben + , sen Ben + k),

k = F(T Ben +h, y Ben + hk),

Ben= 0, 1, …, N.

Hata tahmini. Seviye Runge-Kutta yönteminin hataları zordur. Hatanın kaba bir tahmini Runge kuralıyla verilmektedir (bkz. Bölüm 6.2). Runge-Kutta yöntemi dördüncü doğruluk derecesine sahip olduğundan, yani. P= 4 ise hata tahmini (6.6) şu şekli alacaktır:

R |y-y|. (6.18)

Runge kuralını kullanarak, belirli bir doğrulukla dördüncü dereceden doğrulukta Runge-Kutta yöntemini kullanarak Cauchy probleminin çözümünün yaklaşık olarak hesaplanması için bir prosedür oluşturmak mümkündür. . Hesaplamalara belirli bir adım değerinden başlamak gerekir H, her seferinde yaklaşık bir değer hesaplayarak bu değeri art arda yarı yarıya azaltın sen, Ben= 0, 1, …, N. Koşul karşılandığında hesaplamalar durur:

R |y-y| < . (6.19)

Yaklaşık bir çözüm değerler olacaktır sen, Ben= 0, 1, …, N.

Örnek 6.4.

Dördüncü derece doğruluklu Runge-Kutta yöntemini kullanarak aşağıdaki Cauchy probleminin segmenti üzerinde bir çözüm bulacağız.

sen"(T) = 200 yıl, sen(0) = 1. (6.20)

Bir adım atalım saat = 0.1. Daha sonra n = = 10.

(6.17)'ye uygun olarak hesaplama formülleri şu şekilde olacaktır:

sen ben+ 1 = sen Ben + H(k+ 2k+ 2k + k),

k = 2T Ben sen Ben ,

k = 2(T Ben +)(sen Ben + k), (6.21)

k= 2(T Ben +)(sen Ben + k),

k = 2(T Ben +H)(sen Ben + hk),

Ben= 0, 1, …, 10.

Problem (6.20)'nin kesin bir çözümü var: sen(T) = e dolayısıyla hata, kesin ve yaklaşık değerler arasındaki farkın mutlak değeri olarak tanımlanır. Ben = |sen(T Ben) - sen Ben |.

Formüller (6.21) kullanılarak bulunan çözümün yaklaşık değerleri sen Ben ve onların hataları Ben tablo 6.5'te sunulmaktadır:

Tablo 6.5

T Ben	sen Ben		T Ben	sen Ben

“Hesaplamalı Yöntemler” dersinde kredi hedefleri

Not. Her öğrenci öncelikle test görevinin parametresini belirlemelidir. S= log 10 (1 +), burada k- grup listesindeki öğrenci numarası, k= 1, 2,... Problemlerin çözümü dikkatli hazırlanmalı ve tüm ara hesaplamaları içermelidir. Örnek olarak kılavuzun ilgili bölümlerinde tartışılan örnekleri alabilirsiniz.

1. Bir parçayı ikiye bölme yöntemini kullanarak denklemin kökünü bulun

4(1 - X 2) - e X = S hassasiyetle = 10 -3 .

2. Denklem sistemini Seidel yöntemini kullanarak =10-3 doğrulukla çözün.

6.2+S 2.2+S 1.2+S 16.55+S

A = 2.2+S 5.5+S -1.5+S , B = 10.55+S.

1.2+S -1.5+S 7.2 +S 16.80+S

3. Fonksiyonun yaklaşık değerini bulun F(X) = e sx Taylor polinomuna göre doğrulukla bir segment üzerinde = 10-3. Hesaplamak e S .

4. İntegrali yaklaşık olarak hesaplayın N= 4 ve sonucun hatasını tahmin edin.

5. Euler yöntemini kullanarak Cauchy problemine sayısal bir çözüm bulun

sen" = 2evet; sen(0) = 1, adımlı bir segmentte H = 0.2.

Kesin çözümle karşılaştırın.

Birçok teknik, kimyasal ve biyolojik problemin çözümü Cauchy probleminin çözülmesini gerektirir. Bu problem bilgisayar kullanılarak hem analitik hem de sayısal olarak farklı şekillerde çözülebilir. Kısa sürede sonuç almak çoğu zaman önemlidir. Bu durumda sayısal yöntemler tercih edilir. Ayrıca o kadar karmaşık diferansiyel denklemler var ki, analitik çözüm bulmak ya hiç mümkün olmuyor ya da çok büyük zaman ve emek yatırımı gerektiriyor.

Çalışma, entegrasyon adımı uzunluğunun otomatik seçimiyle dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemini ayrıntılı olarak inceliyor (bu, sabit adım uzunluğu kullanan yönteme kıyasla çok daha yüksek hesaplama doğruluğu sağlar), gerekli teorik özeti, yöntemin açıklamasını sağlar, bir bilgisayar programının yanı sıra uygulanması ve illüstrasyonunun sonuçları.

Anahtar kelimeler: diferansiyel denklem, Runge-Kutta yöntemi, Euler yöntemi, Runge-Kutta yönteminin sırası, Cauchy problemi, Taylor serisi, parça, katsayılar, entegrasyon adımı, integral eğrisi.

Eser 8 grafik, 4 illüstrasyon ve 12 tablo olmak üzere 36 sayfadan oluşmaktadır.

giriiş

1. Teorik kısım

1.1 Sorun bildirimi

1.2 Euler yöntemi

1.3 Runge-Kutta yöntemlerinin genel formülasyonu

1.4 4. Derece yöntemlerinin tartışılması

1.5 “Optimal” formüller

1.6 Runge-Kutta yöntemleri için sıra koşulları

1.7 Runge-Kutta yöntemlerinin hata tahmini ve yakınsaması

1.7.1 Belirsizliğin kesin tahminleri

1.7.2 Baştaki hata terimi

1.7.3 Küresel belirsizliğin tahmini

1.8 Optimum adım seçimi

2. Pratik kısım

2.1 “Ilya RK-4 versiyon 1.43” programının açıklaması

Çözüm

Kullanılan kaynakların listesi

Ek A. Fonksiyon grafikleri

Ek B. y(x) fonksiyon değerleri tablosu örneği

Ek B. “Ilya RK-4 versiyon 1.43” programının listesi

giriiş

Runge-Kutta yöntemleri için ek başlangıç değerleri hesaplamaya gerek kalmaması nedeniyle bu yöntemler klasik yöntemler arasında özel bir yere sahiptir. Aşağıda bunların özelliklerinin yanı sıra bu yöntemlerin doğasında bulunan bazı sınırlamaları da tartışacağız.

Bu yöntemlerle çözülen büyük problemler için aşama sayısı arttıkça bilgisayar belleğinde zorluklar ortaya çıkacaktır; ayrıca (ve bu daha da önemlidir), büyük problemler için kural olarak Lipschitz sabitleri her zaman büyüktür. Genel olarak bu, yüksek dereceli Runge-Kutta yöntemlerini bu tür problemler için uygunsuz hale getirir. Her durumda diğer yöntemler genellikle daha etkilidir ve tercih edilmelidir. Bununla birlikte, dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemlerinin bilgisayarda uygulanması oldukça kolaydır ve otomatik adım seçiminin varlığı, hesaplamaların iyi bir doğrulukla yapılmasını mümkün kılar. Bu nedenle, bunların oldukça geniş bir yelpazedeki görevler için kullanılması tavsiye edilir.

Runge-Kutta yöntemlerinin önemli sayıda araştırmacı arasındaki popülerliğini belirleyen birçok önemli avantajı vardır. Bu yöntemlerin programlanması kolaydır ve çok çeşitli görevler için yeterli doğruluk ve kararlılık özelliklerine sahiptir. Bu yöntemler, tüm tek adımlı yöntemler gibi kendiliğinden başlar ve hesaplamanın herhangi bir aşamasında entegrasyon adımını kolayca değiştirmenize olanak tanır.

Çalışma, Runge-Kutta yöntemlerinin kabul edilebilir olduğu türdeki problemlerin çözümünde doğruluk ve verimlilik konularına odaklanmaktadır.

Otomatik adım seçimi ile dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemlerinin yazılım uygulaması, üst düzey bir dilde yazılmış bir program şeklinde sunulmaktadır. Borland C ++ 3.1 . Program ortamda çalıştırılabilir HANIM - DOS veya pencereler ® 95/98/ Ben /2 k / XP. Çıktı olarak program, diskteki bir dosyaya bir değerler tablosu yazar ve bilgisayar ekranında bir grafik çizer.

Oluşturulan programın sonuçlarını kontrol etmek için aynı diferansiyel denklemler bir matematik paketinde çözüldü. Waterloo Akçaağaç 9.01 ve oluşturulan uygulama (versiyon 1.43) kullanılarak değer tabloları ve çözüm grafikleri analiz edildi.

1. Teorik kısım

1.1 Sorun bildirimi

Diferansiyel denklem ve başlangıç koşulu verilmiştir, yani Cauchy problemi ortaya atılmıştır:

(2.1.1)

Parça üzerindeki adımın otomatik seçimiyle dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemini kullanarak belirtilen Cauchy problemini karşılayan bir integral eğrisi bulmak gerekir.

. Problem, diferansiyel denklemin bir çözümünün bulunması ve başlangıç koşulunun yerine konulması ve böylece gerekli integral eğrisinin bulunması yoluyla analitik olarak çözülebilir. Ancak bizim için ilgi, bu problemi sayısal bir yöntem kullanarak ve daha spesifik olarak otomatik adım seçimiyle 4. dereceden Runge-Kutta yöntemini, yani sayısal bir çözümü kullanarak çözmektir. Otomatik adım seçimi, integral eğrisinin davranışındaki tüm anları yansıtmanıza ve yüksek doğruluk elde etmenize olanak tanıyan, integral eğrisini tanımlayan keskin biçimde değişen işlevlere sahip yeterli program davranışı için gerekli bir koşuldur.

1.2 Euler yöntemi

Euler'in başlangıç değer problemini (2.1.1) çözme yöntemi, 1768'de Euler tarafından açıklanmıştır. Bu yöntem oldukça basittir. Küresel hatası şu şekildedir:

burada göreve bağlı bir sabittir ve maksimum adım uzunluğudur. Örneğin tam 6 ondalık basamak elde etmek isteniyorsa, yaklaşık bir milyon adım gerekir ki bu da pek tatmin edici değildir. Öte yandan Newton'dan bu yana eğer bağımlı değilse yani karesel yöntemle çözülebilen (2.1.1) problemimiz varsa çok daha doğru yöntemlerin bulunabileceği bilinmektedir.

. (2.2.1)

Örnek olarak, Gauss'un "orta nokta kuralı" olarak da adlandırılan ilk kareleme formülünü düşünün:

(2.2.2) ve

– entegrasyon aralığının bölündüğü alt aralıkların sınır noktaları. Bu formülün global hata tahmininin şu şekilde olduğu bilinmektedir. Yani istenilen hassasiyet 6 ondalık basamak ise genellikle yaklaşık 1000 adımda elde edilebilir, bu da bu yöntemi bin kat daha hızlı hale getirir. Bu nedenle Runge şu soruyu sordu: Bu yöntemi orijinal Cauchy problemine genişletmek mümkün mü? İlk uzunluk adımı şöyle görünmeli