Tablonun ilk formülünü türetirken bir noktada türev fonksiyonunun tanımından ilerleyeceğiz. Hadi nereye götürelim X– herhangi bir gerçek sayı, yani, X– fonksiyonun tanım alanından herhangi bir sayı. Fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitini şu noktada yazalım: 
Limit işareti altında, payın sonsuz küçük bir değer içermemesi, ancak tam olarak sıfır olması nedeniyle sıfırın sıfıra bölünmesinin belirsizliği olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.
Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanı boyunca sıfıra eşittir.
Bir güç fonksiyonunun türevinin formülü şu şekildedir: 
üs burada P– herhangi bir gerçek sayı.
Önce doğal üssün formülünü kanıtlayalım; p = 1, 2, 3, …
Türev tanımını kullanacağız. Bir kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının limitini yazalım: 
Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton binom formülüne dönüyoruz: 
Buradan, 
Bu, doğal bir üs için bir kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlar.
Tanıma dayanarak türev formülünün türetilmesini sunuyoruz:
Belirsizliğe ulaştık. Genişletmek için yeni bir değişken tanıtıyoruz ve . Daha sonra . Son geçişte yeni bir logaritmik tabana geçiş formülünü kullandık.
Orijinal limiti yerine koyalım: 
İkinci dikkat çekici limiti hatırlarsak üstel fonksiyonun türevinin formülüne ulaşırız: 
Logaritmik bir fonksiyonun türevinin formülünü her şey için kanıtlayalım X tanım alanından ve tabanın tüm geçerli değerlerinden A logaritma Türev tanımı gereği elimizde: 
Fark ettiğiniz gibi ispat sırasında dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak yapıldı. Eşitlik 
ikinci dikkat çekici limit nedeniyle doğrudur.
Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerinin yanı sıra ilk dikkate değer limiti de hatırlamamız gerekecek.
Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımı gereği elimizdeki 
.
Sinüs farkı formülünü kullanalım: 
İlk dikkate değer sınıra dönmeye devam ediyoruz: 
Böylece fonksiyonun türevi günah x Orada çünkü x.
Kosinüs türevinin formülü tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır. 
Bu nedenle fonksiyonun türevi çünkü x Orada –sinx.
Kanıtlanmış türev alma kurallarını (bir kesrin türevi) kullanarak teğet ve kotanjant için türev tablosu formülleri türeteceğiz. 
Türev tablosundan türev alma kuralları ve üstel fonksiyonun türevinin formülü, hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın türevleri için formüller türetmemize olanak sağlar. 
Sunum sırasında karışıklığı önlemek için, türevin alındığı fonksiyonun argümanını, yani fonksiyonun türevi olduğunu alt simge olarak belirtelim. f(x)İle X.
Şimdi formüle edelim Ters bir fonksiyonun türevini bulma kuralı.
Fonksiyonlara izin ver y = f(x) Ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklarla ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sıfırdan farklı sonlu bir türevi varsa f(x), o zaman bu noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır g(y), Ve 
. Başka bir gönderide 
.
Bu kural herhangi bir durum için yeniden formüle edilebilir. X aralıktan, o zaman elde ederiz 
.
Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.
Doğal logaritmanın ters fonksiyonunu bulalım 
(Burada sen bir fonksiyondur ve X- argüman). Bu denklemi çözdükten sonra X, şunu elde ederiz (burada X bir fonksiyondur ve sen– onun argümanı). Yani, 
ve karşılıklı ters fonksiyonlar.
Türev tablosundan şunu görüyoruz 
Ve 
.
Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım: 
Türevin hesaplanması genellikle Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde bulunur. Bu sayfa türevleri bulmak için formüllerin bir listesini içerir.
Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:
Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.
Başlangıç olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya eklenen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.
Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.
Yani, temel fonksiyonların türevleri:
| İsim | İşlev | Türev |
| Devamlı | F(X) = C, C ∈ R | 0 (evet, sıfır!) |
| Rasyonel üslü kuvvet | F(X) = X N | N · X N − 1 |
| Sinüs | F(X) = günah X | çünkü X |
| Kosinüs | F(X) = çünkü X | −günah X(eksi sinüs) |
| Teğet | F(X) = tg X | 1/çünkü 2 X |
| Kotanjant | F(X) = ctg X | − 1/günah 2 X |
| Doğal logaritma | F(X) = günlük X | 1/X |
| Keyfi logaritma | F(X) = günlük A X | 1/(X içinde A) |
| Üstel fonksiyon | F(X) = e X | e X(hiçbirşey değişmedi) |
Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:
(C · F)’ = C · F ’.
Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:
(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre farklılaştırılmış yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacak. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.
Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:
Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.
Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.
F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:
F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;
İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):
G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:
(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’
Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:
F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X günah X)
İşlev G(X) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır ancak genel şema değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:
G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.
İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:
Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu en karmaşık formüllerden biridir; şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle spesifik örneklerle incelemek daha iyidir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:
Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonları içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:
Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:
Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. Bu işe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.
Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda, karmaşık bir fonksiyonun türevi için bir değişkeni ve formülü değiştirmek yardımcı olur:
F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).
Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle, bunu belirli örneklerle ve her adımın ayrıntılı bir açıklamasıyla açıklamak daha iyidir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)
Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’
Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:
F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:
G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’
Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:
G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı üzere tüm sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmiştir.
Cevap:
F ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).
Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, toplamın vuruşu vuruşların toplamına eşittir. Bu daha açık mı? Tamam bu harika.
Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Son bir örnek olarak rasyonel üslü türev gücüne dönelim:
(X N)’ = N · X N − 1
Bu rolde çok az kişi bunu biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi severler.
Görev. Fonksiyonun türevini bulun:
Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.
Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2) X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Son olarak köklere dönelim:
Türev hesaplama- diferansiyel hesaptaki en önemli işlemlerden biri. Aşağıda basit fonksiyonların türevlerini bulmak için bir tablo bulunmaktadır. Daha karmaşık türev kuralları için diğer derslere bakın: Açıklama:
Türev, bir fonksiyonun argümanı değiştiğinde değerinin değişme hızını gösterir. Sayı hiçbir koşulda hiçbir şekilde değişmediğinden değişim oranı her zaman sıfırdır.
2. Bir değişkenin türevi bire eşit
x' = 1
Açıklama:
(x) argümanının her bir artışıyla, fonksiyonun değeri (hesaplamanın sonucu) aynı miktarda artar. Dolayısıyla y = x fonksiyonunun değerindeki değişim oranı, argümanın değerindeki değişim oranına tam olarak eşittir.
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
сx` = с
Örnek:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Açıklama:
Bu durumda, fonksiyon argümanı her değiştiğinde ( X) değeri (y) artar İle bir kere. Böylece, argümanın değişim hızına göre fonksiyon değerinin değişim hızı, değere tam olarak eşittir. İle.
Buradan şu sonuç çıkıyor
(cx + b)" = c
yani y=kx+b doğrusal fonksiyonunun diferansiyeli (k) doğrusunun eğimine eşittir.
5. Bir değişkenin bir kuvvete göre türevi bu gücün bir sayısının çarpımına ve bir birim azaltılmış güce bağlı bir değişkene eşittir
(x c)"= cx c-1 x c ve cx c-1'in tanımlı olması ve c ≠ 0 olması şartıyla
Örnek:
(x 2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Formülü hatırlamak için:
Değişkenin derecesini bir faktör olarak aşağı taşıyın ve ardından derecenin kendisini bir azaltın. Örneğin, x 2 için - ikisi x'in önündeydi ve sonra azaltılmış güç (2-1 = 1) bize basitçe 2x'i verdi. Aynı şey x 3 için de oldu - üçlüyü "aşağı doğru hareket ettiriyoruz", onu bir azaltıyoruz ve küp yerine bir karemiz var, yani 3x 2. Biraz "bilim dışı" ama hatırlaması çok kolay.
6.Bir kesrin türevi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Örnek:
Bir kesir negatif bir kuvvete yükselen bir şekilde temsil edilebildiğinden
(1/x)" = (x -1)" ise türev tablosunun 5. kuralındaki formülü uygulayabilirsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Bir kesrin türevi keyfi derece değişkeniyle paydada
(1/xc)" = - c / x c+1
Örnek:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Kökün türevi(değişkenin karekök altındaki türevi)
(√x)" = 1 / (2√x) veya 1/2 x -1/2
Örnek:
(√x)" = (x 1/2)", kural 5'teki formülü uygulayabileceğiniz anlamına gelir
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Keyfi bir derecenin kökü altındaki bir değişkenin türevi
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç kavrama hakim olmanız gerekir:
2. Farklılaşma kuralları.
3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Tam olarak bu sırayla. Bu bir ipucu.)
Tabii genel olarak türevler hakkında fikir sahibi olmak güzel olurdu). Türevin ne olduğu ve türev tablosuyla nasıl çalışılacağı önceki derste açıkça anlatılmıştır. Burada farklılaşma kurallarını ele alacağız.
Türev alma işlemi türevi bulma işlemidir. Bu terimin arkasında gizli hiçbir şey yok. Onlar. ifade "bir fonksiyonun türevini bulma" Ve "bir fonksiyonun türevini almak"- Bu aynı.
İfade "farklılaştırma kuralları" türevi bulmayı ifade eder aritmetik işlemlerden. Bu anlayış kafanızdaki karışıklığı önlemenize çok yardımcı olur.
Konsantre olalım ve tüm aritmetik işlemleri hatırlayalım. Bunlardan dört tane var). Toplama (toplam), çıkarma (fark), çarpma (çarpım) ve bölme (bölüm). İşte farklılaşma kuralları:
Plaka gösterir beş kurallar dört Aritmetik işlemler. Eksiklik yapmadım.) Sadece kural 4, kural 3'ün temel bir sonucudur. Ancak o kadar popülerdir ki onu bağımsız bir formül olarak yazmak (ve unutmayın!) mantıklıdır.
Tanımlamalar altında sen Ve V bazı (kesinlikle herhangi biri!) işlevler ima edilir U(x) Ve V(x).
Birkaç örneğe bakalım. İlk olarak - en basitleri.
y=sinx - x 2 fonksiyonunun türevini bulun
İşte elimizde fark iki temel fonksiyon. Kural 2'yi uyguluyoruz. Sinx'in bir fonksiyon olduğunu varsayacağız. sen ve x 2 fonksiyondur V.Şunları yazmaya hakkımız var:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Bu daha iyi, değil mi?) Geriye kalan tek şey sinüs ve x'in karesinin türevlerini bulmak. Bunun için bir türev tablosu var. Sadece ihtiyacımız olan fonksiyonları tabloda arıyoruz ( sinx Ve x 2), hangi türevlere sahip olduklarına bakın ve cevabı yazın:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Bu kadar. Toplam farklılaşmanın 1. kuralı tam olarak aynı şekilde çalışır.
Peki ya birden fazla terimimiz varsa? Sorun değil.) Fonksiyonu terimlere ayırıyoruz ve her terimin diğerlerinden bağımsız olarak türevini arıyoruz. Örneğin:
y=sinx - x 2 +cosx - x +3 fonksiyonunun türevini bulun
Cesurca yazıyoruz:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
Dersin sonunda farklılaşmayı kolaylaştıracak ipuçları vereceğim.)
Pratik ipuçları:
1. Türev almadan önce orijinal fonksiyonu basitleştirmenin mümkün olup olmadığına bakın.
2. Karmaşık örneklerde çözümü tüm parantez ve çizgilerle birlikte ayrıntılı olarak açıklıyoruz.
3. Paydasında sabit sayı bulunan kesirlerin türevini alırken bölme işlemini çarpma işlemine çeviririz ve kural 4'ü kullanırız.
