Bernoulli denkleminin çözümü. Bernoulli denklemi

şeklinde bir diferansiyel denkleme Bernoulli denklemi denir.

Bunu varsayarak Bernoulli denkleminin her iki tarafını da 'ye böleriz. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz: (8.1) Yeni bir fonksiyon tanıtalım. Daha sonra . Denklem (8.1) ile çarpıp fonksiyona geçelim. z(x): , yani fonksiyon için z(x) 1. dereceden doğrusal homojen olmayan bir denklem elde edildi. Bu denklem önceki paragrafta tartışılan yöntemler kullanılarak çözülür. Bunun yerine genel çözümünü yerine koyalım z(x) ifadesi ile Bernoulli denkleminin genel integralini elde ederiz; bu integrale göre kolayca çözülebilir. sen. Bir çözüm eklendiğinde y(x)=0. Bernoulli denklemi, ikame yoluyla doğrusal bir denkleme geçiş yapılmadan, Bernoulli yöntemi kullanılarak da çözülebilir.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemler.

Tanım. Denklemde ise. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(9.1) sol taraf bazı fonksiyonların toplam diferansiyelidir U(x,y) ise buna toplam diferansiyel denklem denir. Bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: du(x,y)=0 dolayısıyla genel integrali u(x,y)=c.

Örneğin, denklem xdy+ydx=0şeklinde yeniden yazılabildiği için toplam diferansiyellerde bir denklem vardır. d(xy)=0. Genel integral şu şekilde olacaktır: xy=c.

Teorem. Diyelim ki fonksiyonlar M Ve N basit bağlantılı bir alanda tanımlanmış ve sürekli D ve sırasıyla sürekli kısmi türevlere sahiptir. sen ve tarafından X. O halde denklem (9.1)'in tam diferansiyel denklem olabilmesi için özdeşliğin (9.2) geçerli olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. Bu şartın gerekliliğinin delili açıktır. Bu nedenle (9.2) koşulunun yeterliliğini kanıtlıyoruz. Böyle bir fonksiyonun bulunabileceğini gösterelim u(x,y), bu ve .

Gerçekten o zamandan beri (9.3) , burada keyfi türevlenebilir bir fonksiyondur. (9.3)’ün türevini alalım y: . Ancak bu nedenle şunu varsayalım: ve sonra .Böylece fonksiyon oluşturuldu , bunun için , a .

Bütünleştirici faktör.

Denklem ise M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 toplam diferansiyel denklem değildir ve bir fonksiyon vardır µ = µ(x,y)öyle ki denklemin her iki tarafını bununla çarptıktan sonra denklemi elde ederiz

µ(Mdx + Ndy) = 0 toplam diferansiyellerde, yani µ(Mdx + Ndy)du, ardından fonksiyon µ(x,y) denklemin integrasyon faktörü denir. Denklemin zaten toplam diferansiyellerde bir denklem olduğu durumda, varsayıyoruz u = 1.

İntegral faktörü bulunursa µ , o zaman bu denklemin entegrasyonu her iki tarafının da çarpılmasına indirgenir µ ve elde edilen denklemin toplam diferansiyellerde genel integralinin bulunması.

Eğer µ sürekli türevlenebilir bir fonksiyonudur X Ve sen, O .

Bundan şu sonuç çıkıyor: bütünleştirici faktör µ aşağıdaki 1. dereceden kısmi diferansiyel denklemi karşılar: (10.1). Eğer önceden biliniyorsa µ= µ(ω) , Nerede ω – verilen fonksiyon X Ve sen, daha sonra denklem (10.1), bilinmeyen bir fonksiyona sahip sıradan (ve ayrıca doğrusal) bir denkleme indirgenir µ bağımsız değişken üzerinde ω : (10.2), burada , yani kesir yalnızca ω .

Denklem (10.2)'yi çözerek integral faktörünü buluruz, İle= 1. Özellikle denklem M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 yalnızca şunlara bağlı olan bir bütünleştirici faktöre sahiptir: X(ω = x) veya yalnızca itibaren sen(ω = y), sırasıyla aşağıdaki koşullar karşılanırsa: , veya , .

10. İkinci dereceden LDE'lerin çözümlerinin özellikleri (kanıtlı). 2. dereceden doğrusal diferansiyel denklem (LDE) aşağıdaki forma sahiptir: , (2.1)

burada , , ve çözümün arandığı aralıkta sürekli olan fonksiyonlar verilmiştir. a 0 (x) ≠ 0 olduğunu varsayarak (2.1)'i bölüyoruz ve katsayılar için yeni gösterimler ekledikten sonra denklemi şu şekilde yazıyoruz: (2.2)

(2.2)'nin, eğer söz konusu aralıkta ve fonksiyonları sürekli ise, herhangi bir başlangıç koşulunu sağlayan belirli bir aralıkta tek bir çözümü olduğunu kanıtlamadan kabul edelim. Eğer ise denklem (2.2) homojen olarak adlandırılır, aksi takdirde denklem (2.2) homojen değildir. 2. dereceden damarın çözümlerinin özelliklerini ele alalım.

Tanım. Fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu, keyfi sayıların yer aldığı ifadedir.

Teorem. Eğer ve Lodu'nun (2.3) bir çözümü ise, bunların doğrusal birleşimi de bu denklemin çözümü olacaktır.

Bernoulli denklemi Hidrodinamiğin temel denklemi, ortalama akış hızı ile sürekli hareket halindeki hidrodinamik basınç arasında bir bağlantı kurulması.

İdeal bir akışkanın sürekli hareket halindeki bir temel akışını düşünelim. Hız vektörünün yönüne dik iki kesiti vurgulayalım sen, eleman uzunluğu dl ve alan dF. Tahsis edilen hacim yer çekiminin etkisi altında olacaktır

ve hidrodinamik basınç kuvvetleri
.

Çünkü
, O
.

Genel durumda seçilen elemanın hızı göz önüne alındığında
, ivmesi

Seçilen elemana ağırlık uygulayarak
dinamik denklem
hareketinin yörüngesine projeksiyonda şunu elde ederiz:

Gerçeği göz önüne alındığında
ve bu sabit hareketle
, entegrasyon ve bölünmeden sonra
söz konusu bölümdeki toplam akış basıncını elde ederiz:

Nerede - sıvı bir parçacığın belirli bir referans düzlemi üzerindeki konumunun spesifik potansiyel enerjisini ifade eden geometrik basınç (yükseklik), m,

- basıncın spesifik enerjisini ifade eden piyezometrik basınç, m,

- hız yükü, spesifik kinetik enerjiyi ifade eder, m,

- statik kafa, m.

Bu Bernoulli denklemidir. Bu denklemin üç terimlisi karşılık gelen bölümdeki basıncı ifade eder ve bu bölüm boyunca temel bir akış tarafından aktarılan spesifik (birim ağırlık başına) mekanik enerjiyi temsil eder.

İÇİNDE teknik ölçümlerin uygulanmasında, bir sıvının hızını belirlemek için Bernoulli denklemi kullanılır
.

Bernoulli denklemi aşağıdaki şekilde de elde edilebilir. Düşündüğümüz akışkan elemanının sabit olduğunu düşünelim. Daha sonra hidrostatiğin temel denklemine dayanarak
Bölüm 1 ve 2'deki akışkanın potansiyel enerjisi

Bir sıvının hareketi, bir ağırlık birimi için söz konusu bölümler için eşit olacak olan kinetik enerjinin ortaya çıkmasıyla karakterize edilir.
Ve
. Temel bir akışın akışının toplam enerjisi, potansiyel ve kinetik enerjinin toplamına eşit olacaktır, bu nedenle

Dolayısıyla hidrostatiğin temel denklemi Bernoulli denkleminin bir sonucudur.

Ders No. 7

Gerçek akışkan için Bernoulli denklemi

İdeal bir akışkanın sürekli hareketindeki Bernoulli denklemi şu şekildedir:

Nerede - geometrik kafa (yükseklik), m, - piyezometrik basınç, m,

- hız basıncı, m,
- statik kafa, m.

Gerçek bir sıvı durumunda, aynı akış kesitindeki farklı akışlar için toplam basınç aynı olmayacaktır çünkü aynı akış kesitinin farklı noktalarındaki hız basıncı aynı olmayacaktır. Ayrıca sürtünmeden kaynaklanan enerji kaybı nedeniyle bölümden bölüme basınç azalacaktır.

Bununla birlikte, kesitlerindeki hareketin düzgün bir şekilde değiştiği akış kesitleri için, kesitten geçen tüm temel akımlar için statik basınç sabit olacaktır.

Temel bir akış için Bernoulli denklemi tüm akışı kapsayacak şekilde genişletilirse ve harekete karşı dirençten kaynaklanan basınç kaybı dikkate alınırsa, şunu elde ederiz:

burada α, türbülanslı akış için 1,13'e ve laminer akış için 2'ye eşit olan kinetik enerji katsayısıdır; v– ortalama akış hızı; H– Bölüm 1 ve 2 arasındaki alanda, iç sürtünme kuvvetlerinin bir sonucu olarak meydana gelen, akışın özgül mekanik enerjisinde bir azalma.

Ek sürenin hesaplanması H Bernoulli denkleminde hidrolik mühendisliğinin temel problemidir.

Gerçek bir akışkan akışının çeşitli bölümleri için Bernoulli denkleminin grafiksel gösterimi şu şekildedir:

L noktalardaki aşırı basıncı ölçen piyezometrelerdeki seviyelerden geçen A çizgisine denir. piyezometrik çizgi. Karşılaştırma düzleminden ölçülen statik basınçtaki değişimi gösterir. N İle derenin uzunluğu boyunca. Piezometrik çizgi potansiyel ve kinetik enerji ölçüm alanını ayırır.

Tam basınç N akışın uzunluğu boyunca azalır (B çizgisi, gerçek sıvının toplam basıncının çizgisidir).

Akışın uzunluğu boyunca basınç gradyanına denir hidrolik eğim ve formülle ifade edilir

onlar. hidrolik eğim sayısal olarak yatay ile gerçek akışkanın toplam basınç çizgisi arasındaki açının sinüsüne eşittir.

Venturi akış ölçer

R Venturi akış ölçer, boru hatlarına monte edilen ve akışı daraltan bir cihazdır. Akış ölçer iki bölümden oluşur: düzgün şekilde daralan bölüm (nozul) ve kademeli olarak genişleyen bölüm (difüzör). Daralan alanda akış hızı artar ve basınç düşer. Borunun en büyük ve en küçük bölümlerine piyezometreler monte edilir; bunların okumaları, borunun iki bölümü arasındaki piyezometrik basınç farkını belirlemeyi ve kaydetmeyi mümkün kılar.

Bu denklemdeki bilinmeyenler v 1 Ve v 2 . Süreklilik denkleminden şu şekildedir
hızı belirlemenizi sağlar v 2 ve borudan sıvı akışı

Nerede İLE– Deneyimle belirlendiği üzere basınç kayıplarını da hesaba katan akış ölçerin sabiti.

Genellikle halka şeklinde yapılan akış yıkayıcının hesaplanması da benzer şekilde gerçekleştirilir. Akış hızı, piyezometrelerde ölçülen seviye farkına göre belirlenir.

Bernoulli denklemi ve akış sürekliliği denklemi hidrolik sistemlerin hesaplanmasında temeldir.

Bernoulli yasasının havacılıkla ne alakası var? Bunun en doğrudan olduğu ortaya çıktı. Onun yardımıyla uçak kanadının kaldırma kuvvetinin ve diğer aerodinamik kuvvetlerin ortaya çıkışını açıklamak mümkündür.

Bernoulli yasası

Bu yasanın yazarı İsviçreli evrensel fizikçi, tamirci ve matematikçi. Daniel Bernoulli, ünlü İsviçreli matematikçi Johann Bernoulli'nin oğludur. İÇİNDE 1838'de yayınladı Ünlü yasasını türettiği temel bilimsel çalışma “Hidrodinamik”.

O günlerde aerodinamiğin bir bilim olarak henüz mevcut olmadığı söylenmelidir. Ve Bernoulli kanunu ideal bir akışkanın akış hızının basınca bağımlılığını tanımladı. Ancak yirminci yüzyılın başında havacılık ortaya çıkmaya başladı. İşte Bernoulli yasasının çok işe yaradığı yer burası. Sonuçta hava akışını sıkıştırılamaz bir akışkan olarak düşünürsek bu yasa hava akışları için de geçerlidir. Onun yardımıyla havadan ağır bir uçağın havaya nasıl kaldırılacağını anlayabildiler. Bu, aerodinamiğin en önemli yasasıdır, çünkü hava hareketinin hızı ile ona etki eden basınç arasında bir bağlantı kurar ve bu, uçağa etki eden kuvvetlerin hesaplanmasına yardımcı olur.

Bernoulli kanunu enerjinin korunumu kanununun bir sonucudur. İdeal ve sıkıştırılamaz akışkanın sabit akışı .

Aerodinamikte hava olarak kabul edilir sıkıştırılamaz akışkan yani yoğunluğu basınçtaki değişikliklerle değişmeyen bir ortam. A sabit Parçacıkların, akış çizgileri adı verilen, zamanla değişmeyen yörüngeler boyunca hareket ettiği bir akış göz önünde bulundurulur. Bu tür akışlarda girdap oluşmaz.

Bernoulli yasasının özünü anlamak için jet süreklilik denklemini tanıyalım.

Jet süreklilik denklemi

Buradan anlaşılıyor ki Sıvı akış hızı ne kadar yüksek olursa (ve aerodinamikte hava akış hızı), basınç da o kadar düşük olur, ve tam tersi.

Şömine başında otururken Bernoulli etkisi gözlemlenebilir. Kuvvetli rüzgarlar sırasında hava akış hızı artar ve basınç düşer. Odadaki hava basıncı daha yüksektir. Ve alevler bacaya doğru ilerliyor.

Bernoulli Yasası ve Havacılık

Bu yasayı kullanarak havadan ağır bir uçakta kaldırma kuvvetinin nasıl oluştuğunu açıklamak çok basittir.

Uçuş sırasında uçağın kanadı hava akışını iki parçaya bölüyor gibi görünüyor. Bir kısmı kanadın üst yüzeyinin etrafında, diğeri ise alt yüzeyinin etrafından akar. Kanadın şekli öyledir ki, üstteki akışın alttaki akışa bir noktada bağlanabilmesi için daha uzun bir mesafe kat etmesi gerekir. Bu onun daha yüksek bir hızda hareket ettiği anlamına gelir. Ve hız daha büyük olduğundan, kanadın üst yüzeyinin üzerindeki basınç alttan daha azdır. Bu basınçların farklılığından dolayı kanadın kaldırma kuvveti ortaya çıkar.

Uçak irtifa kazandıkça basınç farkı da artar, bu da kaldırma kuvvetinin de artması anlamına gelir, bu da uçağın yukarı doğru yükselmesini sağlar.

Hava akış hızının ses hızını (340 m/s'ye kadar) aşmaması durumunda yukarıda anlatılan yasaların geçerli olduğunu hemen belirtelim. Sonuçta havayı sıkıştırılamaz bir akışkan olarak görüyorduk. Ancak ses hızının üzerindeki hızlarda hava akışının farklı davrandığı ortaya çıktı. Havanın sıkıştırılabilirliği artık ihmal edilemez. Ve bu koşullar altında, herhangi bir gaz gibi hava da genişlemeye ve daha büyük bir hacim kaplamaya çalışır. Önemli basınç düşüşleri veya şok dalgaları ortaya çıkıyor. Ve hava akışının kendisi daralmaz, aksine genişler. Hava akışlarının ses hızına yakın veya bu hızı aşan hızlarda hareketi sorunu şu şekilde çözülmektedir: gaz dinamiği aerodinamiğin bir devamı olarak ortaya çıktı.

Teorik aerodinamik, aerodinamik yasaları kullanarak, bir uçağa etki eden aerodinamik kuvvetlerin hesaplanmasına olanak sağlar. Ve bu hesaplamaların doğruluğu, inşa edilen modelin özel deneysel tesislerde test edilmesiyle kontrol edilir. rüzgar tünelleri . Bu tesisler, özel aletler kullanarak kuvvetlerin büyüklüğünü ölçmeyi mümkün kılar.

Aerodinamik modellere etki eden kuvvetlerin incelenmesinin yanı sıra, model etrafında akan havanın hızının, yoğunluğunun ve sıcaklığının dağılımını incelemek için aerodinamik ölçümler kullanılır.

Gerçek bir sıvı hareket ettiğinde, viskozitesinden dolayı, üstesinden gelinmesi gereken enerji gerektiren hidrolik dirençler vardır. Bu enerji ısıya dönüşür ve hareketli akışkan tarafından daha da dağıtılır.

Gerçek bir akışkan akışı için Bernoulli denklemi şu şekildedir:

Nerede ─ kesit uzunluğu boyunca basınç kaybı iki bölüm arasındaki akışın ekseni boyunca.

Gerçek sıvı akışı için Bernoulli denklemi şöyledir:

(3.9)

Nerede
─ Coriolis katsayıları, gerçek bir sıvı akışının farklı kesit noktalarındaki hız farklarını dikkate alır.

Pratikte
: yuvarlak borularda laminer sıvı akışı için
; türbülanslı mod için
.

Bernoulli denklemi kullanılarak pratik hidrolik problemlerinin çoğu çözülür. Bunu yapmak için akışın uzunluğu boyunca iki bölüm seçin, böylece bunlardan biri için değerler
, diğer bölüm için ise bir veya değerler belirlenecekti. İkinci bölüm için iki bilinmeyenli sabit akışkan akışı denklemi kullanılmıştır. υ 1 ω 1 = υ 2 ω 2 .

Hidrolik direnç

Yolu boyunca hareket eden bir sıvı akışı, sıvının bir borunun veya kanalın duvarlarına karşı sürtünme kuvvetlerinin ve çeşitli yerel dirençlerin üstesinden gelir ve bunun sonucunda belirli enerji kayıpları meydana gelir. İki tür basınç kaybı vardır:

Akış uzunluğu boyunca kayıp ;

Yerel direnişlerin üstesinden gelmek için kayıplar
.

Toplam basınç kayıpları tüm kayıpların toplamına eşittir

(3.10)

Uzunluk boyunca kafa kaybı

Borularda düzgün hareketle, hem türbülanslı hem de laminer hareket sırasında uzunluk boyunca basınç kaybı, Darcy formülü kullanılarak yuvarlak borular için belirlenir.

(3.11)

ve formüle göre başka herhangi bir kesit şekline sahip borular için

(3.12)

Bazı durumlarda formül de kullanılır

(3.13)

Uzunluk boyunca sürtünme nedeniyle basınç kaybı
, Pa, formülle belirlenir

(3.14)

Nerede ─ bir boru veya kanal bölümünün uzunluğu, m;

─eşdeğer çap, m;

─ortalama mevcut hız, m/s;

─borunun hidrolik yarıçapı, m;

─hidrolik sürtünme katsayısı;

─Bağımlılıklara göre hidrolik sürtünme katsayısıyla ilgili Chezy katsayısı

;

Sürüş moduna bağlı olarak hidrolik sürtünme katsayısının belirlenmesinde farklı formüller kullanılır.

Yuvarlak borular boyunca laminer hareket sırasında hidrolik sürtünme katsayısı formülle belirlenir.

(3.15)

ve herhangi bir kesit şekline sahip borular için

(3.16)

Nerede A─ sayısal değeri borunun kesit şekline bağlı olan katsayı.

Daha sonra laminer modda uzunluk boyunca basınç kaybını belirleme formülü şu şekli alır:

(3.17)

İlk kez tanımına ilişkin en kapsamlı çalışmalar I.I.'ye verildi. Deneysel verilere dayanarak bir bağımlılık grafiği oluşturan Nikuradze
itibaren
bir dizi değer için
. Nikuradze'nin deneyleri, belirli büyüklükteki kum tanelerinin boru hattının iç duvarlarına yapıştırılmasıyla elde edilen, yapay olarak belirlenmiş pürüzlü borular üzerinde gerçekleştirildi. Bu çalışmaların sonuçları, bağımlılıkların gösterildiği Şekil 3.5'te sunulmaktadır.
itibaren
bir dizi değer için
.