Ayrık rastgele Değişkenler yalnızca birbirinden uzak olan ve önceden listelenebilen değerleri alan rastgele değişkenlerdir.
Dağıtım kanunu
Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi, olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların listesidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu fonksiyondur:
,
bağımsız değişken x'in her değeri için rastgele değişken X'in bu x'ten daha küçük bir değer alma olasılığının belirlenmesi.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
,
ayrık bir rastgele değişkenin değeri nerede; - rastgele bir değişkenin X değerlerini kabul etme olasılığı.
Eğer bir rastgele değişken sayılabilir bir olası değerler kümesini alıyorsa, o zaman:
.
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi:
,

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı ve standart sapması
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı:
veya .
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısındaki varyans
,
burada p olayın meydana gelme olasılığıdır.
Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması:
.

örnek 1
Ayrık bir rastgele değişken (DRV) X için bir olasılık dağılımı kanunu çizin - bir çift zarın n = 8 atışında en az bir "altı"nın k kez gerçekleşme sayısı. Bir dağıtım poligonu oluşturun. Dağılımın sayısal özelliklerini bulun (dağılım modu, matematiksel beklenti M(X), dağılım D(X), standart sapma s(X)). Çözüm: Gösterimi tanıtalım: A olayı – “bir çift zar atıldığında en az bir kez altı ortaya çıkar.” A olayının P(A) = p olasılığını bulmak için, öncelikle karşıt olay olan Ā'nin P(Ā) = q olasılığını bulmak daha uygundur - "bir çift zar atıldığında asla altı gelmemiştir."
Bir zar atıldığında altının gelmeme olasılığı 5/6 olduğuna göre olasılık çarpım teoremine göre
P(Ā) = q = = .
Sırasıyla,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemdeki testler Bernoulli şemasını takip ediyor, dolayısıyla d.s.v. büyüklük X- sayı kİki zar atıldığında en az bir altının oluşması, binom olasılık dağılımı yasasına uyar:

burada = kombinasyonların sayısıdır Nİle k.

Bu problem için yapılan hesaplamalar rahatlıkla bir tablo şeklinde sunulabilir:
Olasılık dağılımı d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )

k
Pn(k)

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının çokgeni (çokgen) Xşekilde gösterilmiştir:

Pirinç. Olasılık dağılım poligonu d.s.v. X=k.
Dikey çizgi, dağılımın matematiksel beklentisini gösterir M(X).

D.s.v'nin olasılık dağılımının sayısal özelliklerini bulalım. X. Dağıtım modu 2'dir (burada P 8(2) = 0,2932 maksimum). Tanım gereği matematiksel beklenti şuna eşittir:
M(X) = = 2,4444,
Nerede xk = k– d.s.v tarafından alınan değer X. Varyans D(X) aşağıdaki formülü kullanarak dağılımı buluruz:
D(X) = = 4,8097.
Standart sapma (RMS):
S( X) = = 2,1931.

Örnek2
Ayrık rassal değişken X dağıtım kanunu tarafından verilen

F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin.

Çözüm. If , o zaman (üçüncü özellik).
Eğer öyleyse. Gerçekten mi, X 0,3 olasılıkla 1 değerini alabilir.
Eğer öyleyse. Aslında eşitsizliği sağlıyorsa
, o zaman meydana gelebilecek bir olayın olasılığına eşittir X 1 değerini (bu olayın olasılığı 0,3) veya 4 değerini (bu olayın olasılığı 0,1) alacaktır. Bu iki olay uyumsuz olduğundan toplama teoremine göre bir olayın olasılığı 0,3 + 0,1 = 0,4 olasılıklarının toplamına eşittir. Eğer öyleyse. Aslında olay kesindir, dolayısıyla olasılığı bire eşittir. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu fonksiyonun grafiği:
Bu değerlere karşılık gelen olasılıkları bulalım. Koşullu olarak, cihazların arızalanma olasılıkları eşittir: bu durumda cihazların garanti süresi boyunca çalışma olasılıkları eşittir:




Dağıtım kanunu şu şekildedir:

Olasılık teorisi uygulamalarında deneyin niceliksel özellikleri birincil öneme sahiptir. Niceliksel olarak belirlenebilen ve yapılan deney sonucunda duruma göre farklı değerler alabilen niceliğe denir. rastgele değişken.

Rastgele değişken örnekleri:

1. Bir zarın on atışında çift sayının gelme sayısı.

2. Bir dizi atış yapan atıcının hedefe yaptığı vuruş sayısı.

3. Patlayan bir merminin parça sayısı.

Verilen örneklerin her birinde, rastgele değişken yalnızca izole edilmiş değerleri, yani doğal bir sayı dizisi kullanılarak numaralandırılabilen değerleri alabilir.

Olası değerleri, bu değişkenin belirli olasılıklarla aldığı bireysel izole sayılar olan böyle bir rastgele değişkene denir. ayrık.

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz (sayılabilir) olabilir.

Dağıtım kanunu Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların bir listesidir. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, bir tablo (olasılık dağılım serisi) şeklinde, analitik ve grafiksel olarak (olasılık dağılım poligonu) belirtilebilir.

Bir deney gerçekleştirirken, incelenen değerin "ortalama olarak" değerlendirilmesi gerekli hale gelir. Rastgele bir değişkenin ortalama değerinin rolü, adı verilen sayısal bir özellik tarafından oynanır. matematiksel beklenti, formülle belirlenir

Nerede X 1 , X 2 ,.. , X N– rastgele değişken değerleri X, A P 1 ,P 2 , ... , P N– bu değerlerin olasılıkları (unutmayın P 1 + P 2 +…+ P N = 1).

Örnek. Atış hedefe yapılır (Şek. 11).

I'de bir vuruş üç puan, II'de iki puan, III'te bir puan verir. Bir atıcının tek atışında attığı puanların sayısı şu şekilde bir dağıtım yasasına sahiptir:

Atıcıların becerilerini karşılaştırmak için atılan puanların ortalama değerlerini karşılaştırmak yeterlidir; matematiksel beklentiler M(X) Ve M(e):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(e) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

İkinci atıcı ortalama olarak biraz daha yüksek puan verir; defalarca ateşlendiğinde daha iyi sonuç verecektir.

Matematiksel beklentinin özelliklerine dikkat edelim:

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir:

M(C) = C.

2. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M =(X 1 + X 2 +…+ X N)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X N).

3. Birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

M(X 1 X 2 … X N) = M(X 1)M(X 2)… M(X N).

4. Binom dağılımının matematiksel olumsuzlaması, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir (görev 4.6).

M(X) = pr.

Bir rastgele değişkenin “ortalama olarak” matematiksel beklentisinden nasıl saptığını değerlendirmek; Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin değerlerinin yayılmasını karakterize etmek için dağılım kavramı kullanılır.

Varyans rastgele değişken X sapmanın karesinin matematiksel beklentisi denir:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dağılım, bir rastgele değişkenin dağılımının sayısal bir özelliğidir. Tanımdan, rastgele bir değişkenin dağılımı ne kadar küçük olursa, olası değerlerinin matematiksel beklentinin etrafına o kadar yakın yerleştirildiği, yani rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisiyle o kadar iyi karakterize edildiği açıktır. .

Tanımdan, varyansın aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği anlaşılmaktadır.

.

Varyansı başka bir formül kullanarak hesaplamak uygundur:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Sabitin varyansı sıfırdır:

D(C) = 0.

2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

D(Müşteri Deneyimi) = C 2 D(X).

3. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyansının toplamına eşittir:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X N)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X N)

4. Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir olayın bir denemede meydana gelme ve gelmeme olasılığının çarpımına eşittir:

D(X) = npq.

Olasılık teorisinde sıklıkla bir rastgele değişkenin varyansının kareköküne eşit bir sayısal özellik kullanılır. Bu sayısal özelliğe ortalama kare sapma adı verilir ve sembolü ile gösterilir.

.

Bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının yaklaşık boyutunu karakterize eder ve rastgele değişkenle aynı boyuta sahiptir.

4.1. Atıcı hedefe üç el ateş eder. Her atışta hedefi vurma olasılığı 0,3'tür.

İsabet sayısına göre bir dağıtım serisi oluşturun.

Çözüm. İsabet sayısı ayrı bir rastgele değişkendir X. Her değer X N rastgele değişken X belirli bir olasılığa karşılık gelir P N .

Bu durumda ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası belirtilebilir. yakın dağıtım.

Bu problemde X 0, 1, 2, 3 değerlerini alır. Bernoulli formülüne göre

,

Rastgele değişkenin olası değerlerinin olasılıklarını bulalım:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Rastgele değişkenin değerlerini düzenleyerek X artan sırayla dağıtım serisini elde ederiz:

X N

Tutarın

rastgele değişkenin olasılığı anlamına gelir X Olasılar arasından en az bir değer alacaktır ve bu olay güvenilirdir, dolayısıyla

.

4.2 .Çantada 1'den 4'e kadar sayıların yazılı olduğu 4 top bulunmaktadır. İki top alınıyor. Rastgele değer X– top numaralarının toplamı. Rastgele bir değişkenin dağılım serisini oluşturun X.

Çözüm. Rastgele değişken değerleri X 3, 4, 5, 6, 7'dir. Karşılık gelen olasılıkları bulalım. Rastgele değişken değeri 3 X Seçilen toplardan birinin 1, diğerinin 2 numaraya sahip olduğu tek durumda kabul edilebilir. Olası test sonuçlarının sayısı, ikiden oluşan dört (olası top çifti sayısı) kombinasyon sayısına eşittir.

Klasik olasılık formülünü kullanarak elde ederiz

Aynı şekilde,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Toplam 5 iki durumda görünebilir: 1 + 4 ve 2 + 3, yani

.

Xşu forma sahiptir:

Dağıtım fonksiyonunu bulun F(X) rastgele değişken X ve planlayın. Şunun için hesapla: X matematiksel beklenti ve varyansı.

Çözüm. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, dağılım fonksiyonu ile belirlenebilir.

F(X) = P(X X).

Dağıtım işlevi F(X) sayı doğrusunun tamamında tanımlanan, azalmayan, soldan sürekli bir fonksiyondur, oysa

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Ayrık bir rastgele değişken için bu fonksiyon aşağıdaki formülle ifade edilir:

.

Bu nedenle bu durumda

Dağıtım fonksiyonu grafiği F(X) basamaklı bir çizgidir (Şek. 12)

	F(X)

Beklenen değerM(X) değerlerin ağırlıklı aritmetik ortalamasıdır X 1 , X 2 ,……X N rastgele değişken X terazili ρ 1, ρ 2, …… , ρ N ve rastgele değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılır X. Formüle göre

M(X)= x 1 ρ 1 +x 2 ρ 2 +……+ x N ρ N

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dağılım rastgele bir değişkenin değerlerinin ortalama değerinden dağılım derecesini karakterize eder ve gösterilir D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Ayrık bir rastgele değişken için varyans şu şekildedir:

veya formül kullanılarak hesaplanabilir

Problemin sayısal verilerini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. İki zar aynı anda iki kez atılıyor. Ayrık bir rastgele değişkenin binom dağılım yasasını yazın X- iki zarda eşit toplam puan sayısının oluşma sayısı.

Çözüm. Rastgele bir olay tanıtalım

A= (bir atışta iki zar toplamda çift sayıda puanla sonuçlandı).

Bulduğumuz klasik olasılık tanımını kullanarak

R(A)= ,

Nerede N - olası test sonuçlarının sayısı kural tarafından bulunur

çarpma işlemi:

N = 6∙6 =36,

M - etkinliği destekleyen kişi sayısı A sonuçlar - eşit

M= 3∙6=18.

Yani bir denemede başarı olasılığı

ρ = P(A)= 1/2.

Problem Bernoulli test şeması kullanılarak çözülmüştür. Buradaki zorluklardan biri, iki zarın bir kez atılması olacak. Bu tür testlerin sayısı N = 2. Rastgele değişken X olasılıklarla 0, 1, 2 değerlerini alır

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Bir rastgele değişkenin istenen binom dağılımı X bir dağıtım serisi olarak temsil edilebilir:

X N
ρ N

4.5 . Altı parçadan oluşan bir partide dört standart parça bulunmaktadır. Üç parça rastgele seçildi. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını oluşturun X– seçilenler arasındaki standart parça sayısı ve bunun matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm. Rastgele değişken değerleri X 0,1,2,3 sayılarıdır. Açık ki R(X=0)=0, çünkü yalnızca iki standart olmayan parça vardır.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Rastgele değişkenin dağılım yasası X Bunu bir dağıtım serisi şeklinde sunalım:

X N
ρ N

Beklenen değer

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin olduğunu kanıtlayın X- olayın gerçekleşme sayısı A V N her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız denemeler ρ – bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığı ile deneme sayısının çarpımına eşit, yani binom dağılımının matematiksel beklentisinin kanıtlanması

M(X) =N . ρ ,

ve dağılım

D(X) =n.p. .

Çözüm. Rastgele değer X 0, 1, 2... değerlerini alabilir N. Olasılık R(X= k) Bernoulli formülü kullanılarak bulunur:

R(X=k)= R N(k)= ρ İle (1-ρ ) N-İle

Rastgele bir değişkenin dağılım serisi Xşu forma sahiptir:

X N
ρ N	Q N	ρq N- 1	ρq N- 2		ρ N

Nerede Q= 1- ρ .

Matematiksel beklenti için şu ifadeye sahibiz:

M(X)=ρq N - 1 +2 ρ 2 Q N - 2 +…+.N ρ N

Tek bir test durumunda, yani n= Rastgele değişken için 1 X 1 – olayın gerçekleşme sayısı A- dağıtım serisi şu şekildedir:

X N
ρ N

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ P = P

D(X 1) = P – P 2 = P(1- P) = pq.

Eğer X k – olayın gerçekleşme sayısı A o zaman hangi sınavda R(X İle)= ρ Ve

X=X 1 +X 2 +….+X N .

Buradan anlıyoruz

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X N)= hayır,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X N)=npq.

4.7. Kalite kontrol departmanı ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Ürünün standart olma ihtimali 0,9'dur. Her partide 5 ürün bulunmaktadır. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- Her biri 4 standart ürün içerecek olan parti sayısı - eğer 50 parti muayeneye tabi ise.

Çözüm. Rastgele seçilen her partide 4 standart ürün bulunma olasılığı sabittir; şununla belirtelim ρ .Sonra rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X eşittir M(X)= 50∙ρ.

Olasılığı bulalım ρ Bernoulli'nin formülüne göre:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Üç zar atılıyor. Bırakılan noktaların toplamının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm. Rastgele bir değişkenin dağılımını bulabilirsiniz X- bırakılan noktaların toplamı ve ardından matematiksel beklenti. Ancak bu yol çok zahmetlidir. Rasgele bir değişkeni temsil eden başka bir tekniği kullanmak daha kolaydır X matematiksel beklentisinin hesaplanması daha kolay olan birkaç basit rastgele değişkenin toplamı şeklinde hesaplanması gereken . Rastgele değişken ise X Ben atılan puanların sayısıdır Ben– kemikler ( Ben= 1, 2, 3), sonra puanların toplamı Xşeklinde ifade edilecektir.

X = X 1 +X 2 +X 3 .

Orijinal rastgele değişkenin matematiksel beklentisini hesaplamak için geriye kalan tek şey matematiksel beklenti özelliğini kullanmaktır.

M(X 1 +X 2 +X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Açıkça görülüyor ki

R(X Ben = K)= 1/6, İLE= 1, 2, 3, 4, 5, 6, Ben= 1, 2, 3.

Bu nedenle rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X Ben benziyor

M(X Ben) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Aşağıdaki durumlarda test sırasında arızalanan cihaz sayısına ilişkin matematiksel beklentiyi belirleyin:

a) Tüm cihazların arıza olasılığı aynıdır R ve test edilen cihazların sayısı şuna eşittir: N;

b) başarısızlık olasılığı Ben – cihazın değeri eşittir P Ben , Ben= 1, 2, … , N.

Çözüm. Rastgele değişken olsun X arızalı cihazların sayısıdır, o zaman

X = X 1 +X 2 + … + X N ,

X Ben =

Açık ki

R(X Ben = 1)= R Ben , R(X Ben = 0)= 1– R Ben ,ben= 1, 2, … ,N.

M(X Ben)= 1∙R Ben + 0∙(1-R Ben)=P Ben ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X N)=P 1 +P 2 + … + P N .

“a” durumunda cihazın arızalanma olasılığı aynıdır, yani

R Ben =p,ben= 1, 2, … ,N.

M(X)= n.p..

Rastgele değişkenin olduğunu fark edersek bu cevap hemen elde edilebilir. X parametrelerle bir binom dağılımına sahiptir ( N, P).

4.10. İki zar aynı anda iki kez atılıyor. Ayrık bir rastgele değişkenin binom dağılım yasasını yazın X - iki zarda çift sayıda puanın atılma sayısı.

Çözüm. İzin vermek

A=(ilk zarda çift sayı atılması),

B =(ikinci zarda çift sayı atılması).

Bir atışta her iki zarda da çift sayı gelmesi çarpım ile ifade edilir AB. Daha sonra

R (AB) = R(A)∙R(İÇİNDE) =
.

İki zarın ikinci atışının sonucu birinciye bağlı değildir, dolayısıyla Bernoulli'nin formülü aşağıdaki durumlarda geçerlidir:

N = 2,p = 1/4, Q = 1– p = 3/4.

Rastgele değer X 0, 1, 2 değerlerini alabilir , olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak bulunabilir:

R(X= 0)= P 2 (0) = Q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙Q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Rastgele bir değişkenin dağılım serisi X:

4.11. Cihaz, zaman içinde her bir elemanın aynı çok küçük arıza olasılığına sahip, bağımsız olarak çalışan çok sayıda elemandan oluşur. T. Zaman içindeki ortalama ret sayısını bulun T Bu süre zarfında en az bir elemanın arızalanma olasılığı 0,98 ise.

Çözüm. Zaman içinde reddeden kişi sayısı Töğeler – rastgele değişken X Poisson yasasına göre dağıtılan eleman sayısı fazla olduğundan elemanlar bağımsız çalışır ve her elemanın arıza olasılığı küçüktür. Bir olayın ortalama gerçekleşme sayısı N testler eşittir

M(X) = n.p..

Başarısızlık olasılığı nedeniyle İLE gelen unsurlar N formülle ifade edilir

R N (İLE)
,

nerede  = n.p., o zaman tek bir elemanın bile bu süre içinde arızalanmama olasılığı T ulaşıyoruz K = 0:

R N (0)= e -  .

Bu nedenle zıt olayın olasılığı zaman içindedir T en az bir öğe başarısız olur - 1'e eşit - e -  . Problemin koşullarına göre bu olasılık 0,98'dir. Denklemden.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

buradan  = -in 0,02  4.

Yani zamanla T cihazın çalışmasında ortalama 4 eleman arızalanacaktır.

4.12 . Zarlar “iki” gelene kadar atılır. Ortalama atış sayısını bulun.

Çözüm. Rastgele bir değişken tanıtalım X– bizi ilgilendiren olay gerçekleşene kadar yapılması gereken testlerin sayısı. Olasılık X= 1, zarın bir atışında “iki” gelme olasılığına eşittir, yani.

R(X= 1) = 1/6.

Etkinlik X= 2, ilk testte "iki"nin gelmediği, ancak ikinci testte çıktığı anlamına gelir. Olayın olasılığı X= 2, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması kuralıyla bulunur:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Aynı şekilde,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

vesaire. Bir dizi olasılık dağılımı elde ederiz:

					(5/6) İle ∙1/6

Ortalama atış sayısı (denemeler) matematiksel beklentidir

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + İLE (5/6) İLE -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + İLE (5/6) İLE -1 + …)

Serinin toplamını bulalım:

İLEG İLE -1 = (G İLE) G 
.

Buradan,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Bu nedenle, “iki” gelene kadar ortalama 6 zar atmanız gerekir.

4.13. Olayın meydana gelme olasılığı aynı olacak şekilde bağımsız testler gerçekleştirilir A her testte. Bir olayın gerçekleşme olasılığını bulun A Bir olayın üç bağımsız denemede meydana gelme sayısının varyansı 0,63 ise .

Çözüm. Bir olayın üç denemede meydana gelme sayısı rastgele bir değişkendir X, binom yasasına göre dağıtılır. Bir olayın bağımsız denemelerde meydana gelme sayısının varyansı (olayın her denemede aynı meydana gelme olasılığı ile), deneme sayısının olayın meydana gelme ve gerçekleşmeme olasılıkları ile çarpımına eşittir. (sorun 4.6)

D(X) = npq.

Koşullara göre N = 3, D(X) = 0,63, böylece yapabilirsiniz R denklemden bul

0,63 = 3∙R(1-R),

iki çözümü olan R 1 = 0,7 ve R 2 = 0,3.

ayrık belirli olasılıklarla bireysel, yalıtılmış değerler alabilen rastgele değişken denir.

ÖRNEK 1.Üç yazı tura atışında armanın görünme sayısı. Olası değerler: 0, 1, 2, 3, olasılıkları sırasıyla eşittir:

P(0) = ; R(1) = ; R(2) = ; R(3) = .

ÖRNEK 2. Beş elemandan oluşan bir cihazdaki arızalı elemanların sayısı. Olası değerler: 0, 1, 2, 3, 4, 5; olasılıkları her bir unsurun güvenilirliğine bağlıdır.

Ayrık rassal değişken X bir dağılım serisi veya bir dağılım fonksiyonu (integral dağılım yasası) ile verilebilir.

Yakın dağıtım tüm olası değerlerin kümesidir XBen ve bunlara karşılık gelen olasılıklar Rben = P(X = xBen), bir tablo olarak belirtilebilir:

x ben				xn
ben				р n

Bu durumda olasılıklar RBen koşulu karşılamak

RBen= 1 çünkü

olası değerlerin sayısı nerede N sonlu veya sonsuz olabilir.

Dağıtım serisinin grafiksel gösterimi dağıtım poligonu denir . Bunu oluşturmak için rastgele değişkenin olası değerleri ( XBen) x ekseni boyunca çizilir ve olasılıklar RBen- ordinat ekseni boyunca; puan ABen koordinatlarla ( Xben, рBen) kesikli çizgilerle birbirine bağlanır.

Dağıtım işlevi rastgele değişken Xçağrılan fonksiyon F(X), bu noktada değeri X rastgele değişkenin olasılığına eşittir X bu değerden daha az olacak X, yani

F(x) = P(X< х).

İşlev F(X) İçin Ayrık rassal değişken formülle hesaplanır

F(X) = RBen , (1.10.1)

Toplamanın tüm değerler üzerinden yapıldığı yer Ben, hangisi için XBen< х.

ÖRNEK 3. 10'u kusurlu olan 100 ürün içeren bir partiden, kalitelerini kontrol etmek için beş ürün rastgele seçiliyor. Rastgele bir sayının bir dizi dağılımını oluşturun X Numunede bulunan kusurlu ürünler.

Çözüm. Örnekteki kusurlu ürünlerin sayısı 0'dan 5'e kadar herhangi bir tam sayı olabileceğinden, olası değerler XBen rastgele değişken X eşittir:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Olasılık R(X = k) numunenin tam olarak içerdiği k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) kusurlu ürünler, eşittir

P (X = k) = .

Bu formülü kullanarak 0,001 doğrulukla yapılan hesaplamalar sonucunda şunları elde ederiz:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Kontrol etmek için eşitliği kullanma Rk=1, hesaplamaların ve yuvarlamaların doğru yapıldığından emin oluruz (tabloya bakınız).

x ben
ben

ÖRNEK 4. Bir rastgele değişkenin dağılım serisi verildiğinde X :

x ben
ben

Olasılık dağılım fonksiyonunu bulun F(X) bu rastgele değişkenin ve onu oluşturun.

Çözüm. Eğer X o zaman 10 tl F(X)= P(X<X) = 0;

10 ise<X o zaman 20 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

20 ise<X o zaman 30 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

30 ise<X o zaman 40 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40 ise<X o zaman 50 tl F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Eğer X> 50, o zaman F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

DAĞILIM VE ÖZELLİKLER KANUNU

RASTGELE DEĞİŞKENLER

Rastgele değişkenler, sınıflandırılması ve açıklama yöntemleri.

Rastgele bir miktar, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen, ancak önceden bilinmeyen bir miktardır. Bu nedenle, bir rastgele değişken için yalnızca deney sonucunda kesinlikle alacağı değerleri belirtebilirsiniz. Aşağıda bu değerlere rastgele değişkenin olası değerleri adını vereceğiz. Rastgele bir değişken, bir deneyin rastgele sonucunu niceliksel olarak karakterize ettiğinden, rastgele bir olayın niceliksel bir özelliği olarak düşünülebilir.

Rastgele değişkenler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle (örneğin X..Y..Z) ve bunların olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Üç tür rastgele değişken vardır:

Ayrık; Sürekli; Karışık.

ayrık olası değerlerin sayısı sayılabilir bir küme oluşturan rastgele bir değişkendir. Elemanları numaralandırılabilen kümeye ise sayılabilir küme denir. "Ayrık" kelimesi, "ayrı parçalardan oluşan, süreksiz" anlamına gelen Latince Discretus'tan gelir.

Örnek 1. Ayrık bir rastgele değişken, n üründen oluşan bir partideki hatalı X parçalarının sayısıdır. Aslında bu rastgele değişkenin olası değerleri 0'dan n'ye kadar bir tam sayı dizisidir.

Örnek 2. Ayrık bir rastgele değişken, hedefe ilk vuruştan önceki atışların sayısıdır. Burada Örnek 1'de olduğu gibi olası değerler numaralandırılabilir, ancak sınırlayıcı durumda olası değer sonsuz büyük bir sayıdır.

Sürekli olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin belirli bir aralığını dolduran, bazen bu rastgele değişkenin varoluş aralığı olarak adlandırılan rastgele bir değişkendir. Dolayısıyla, herhangi bir sonlu varoluş aralığında, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuz derecede büyüktür.

Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişken, bir işletmenin aylık elektrik tüketimidir.

Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişken, bir altimetre kullanılarak yüksekliğin ölçülmesindeki hatadır. Altimetrenin çalışma prensibinden hatanın 0 ila 2 m aralığında olduğu bilinmelidir. Dolayısıyla bu rastgele değişkenin varoluş aralığı 0 ila 2 m aralığıdır.

Rasgele değişkenlerin dağılım kanunu.

Olası değerleri sayısal eksende belirtilmişse ve dağıtım yasası oluşturulmuşsa, rastgele bir değişkenin tamamen belirlenmiş olduğu kabul edilir.

Rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.

Rastgele bir değişkenin belirli bir yasaya göre dağıtıldığı veya belirli bir dağıtım yasasına tabi olduğu söylenir. Dağıtım yasaları olarak bir takım olasılıklar, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon kullanılır.

Dağılım kanunu bir rastgele değişkenin tam olası tanımını verir. Dağılım yasasına göre, deneyden önce, rastgele bir değişkenin hangi olası değerlerinin daha sık ve hangisinin daha az görüneceği yargısına varılabilir.

Ayrık bir rasgele değişken için dağılım yasası, analitik (formül biçiminde) ve grafiksel olarak bir tablo biçiminde belirtilebilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli, rastgele değişkenin tüm olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları artan sırada listeleyen bir tablodur (matris), yani.

Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir. 1

X 1, X 2,..., X n olayları, test sonucunda rastgele değişken X'in sırasıyla x 1, x 2,... x n değerlerini alacağı gerçeğinden oluşur: tutarsız ve mümkün olan tek şey (tablo rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini listelediğinden), yani. tam bir grup oluşturuyoruz. Dolayısıyla olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Dolayısıyla herhangi bir ayrık rastgele değişken için

(Bu birim bir şekilde rastgele değişkenin değerleri arasında dağıtılır, dolayısıyla "dağılım" terimi de buradan gelir).

Rastgele değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilirse ve bunlara karşılık gelen olasılıklar ordinat ekseni boyunca çizilirse, dağılım serisi grafiksel olarak gösterilebilir. Elde edilen noktaların bağlantısı, olasılık dağılımının çokgeni veya çokgeni adı verilen kesikli bir çizgiyi oluşturur (Şekil 1).

Örnek Piyango şunları içerir: 5.000 den değerinde bir araba. üniteler, 250 den'e mal olan 4 TV. üniteler, 200 den değerinde 5 video kayıt cihazı. birimler 7 gün boyunca toplam 1000 bilet satılıyor. birimler Bir bilet satın alan bir piyango katılımcısının elde ettiği net kazançlar için bir dağıtım kanunu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X'in olası değerleri - bilet başına net kazanç - 0-7 = -7 paraya eşittir. birimler (bilet kazanmadıysa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birimler (bilette sırasıyla VCR, TV veya araba kazancı varsa). 1000 biletten kazanamayanların sayısının 990 olduğunu ve belirtilen kazançların sırasıyla 5, 4 ve 1 olduğunu düşünürsek klasik olasılık tanımını kullanarak elde ederiz.

Tanım 1

Bir rastgele değişken $X$, değerlerinin kümesi sonsuz veya sonlu ancak sayılabilirse ayrık (süreksiz) olarak adlandırılır.

Başka bir deyişle, değerleri numaralanabiliyorsa bir miktara ayrık denir.

Rastgele bir değişken dağıtım yasası kullanılarak tanımlanabilir.

Ayrık bir rastgele değişken $X$'ın dağılım yasası, ilk satırı rastgele değişkenin tüm olası değerlerini artan sırada gösteren ve ikinci satır bunların karşılık gelen olasılıklarını içeren bir tablo şeklinde belirtilebilir. değerler:

Resim 1.

burada $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Bu tablo ayrık bir rastgele değişkenin dağılımına yakın.

Rastgele bir değişkenin olası değerleri kümesi sonsuzsa, o zaman $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ dizisi yakınsar ve toplamı $1$'a eşit olur.

Ayrık bir rastgele değişken olan $X$'ın dağılım yasası, koordinat sisteminde (dikdörtgen) kesikli bir çizginin oluşturulduğu, $(xi;pi), i=1,2 koordinatlarına sahip noktaları sırayla bağlayan grafiksel olarak temsil edilebilir. ... n$. Aldığımız hattın adı dağıtım poligonu.

Şekil 2.

Ayrık bir rastgele değişken olan $X$'ın dağılım yasası analitik olarak da temsil edilebilir (formül kullanılarak):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Ayrık olasılıklar üzerinde işlemler

Olasılık teorisinde birçok problemin çözümünde, ayrık bir rastgele değişkenin bir sabitle çarpılması, iki rastgele değişkenin eklenmesi, çarpılması ve üssüne yükseltilmesi işlemlerinin yapılması gerekmektedir. Bu durumlarda, rastgele ayrık miktarlar için aşağıdaki kurallara uymak gerekir:

Tanım 3

Çarpma işlemi ayrık bir rastgele değişken $X$ ile bir sabit $K$ arasındaki fark, ayrık bir rastgele değişken $Y=KX,$ olup, şu eşitliklerle belirlenir: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Tanım 4

İki rastgele değişken $x$ ve $y$ çağrılır bağımsız Bunlardan birinin dağıtım yasası, ikinci miktarın elde ettiği olası değerlere bağlı değilse.

Tanım 5

Miktar iki bağımsız ayrık rastgele değişken $X$ ve $Y$, rastgele değişken $Z=X+Y olarak adlandırılır,$ eşitliklerle belirlenir: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Tanım 6

Çarpma işlemi iki bağımsız ayrık rastgele değişken $X$ ve $Y$ rastgele değişken olarak adlandırılır $Z=XY,$ şu eşitliklerle belirlenir: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Bazı $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ çarpımlarının birbirine eşit olabileceğini dikkate alalım. Bu durumda çarpımın eklenmesi olasılığı karşılık gelen olasılıkların toplamına eşittir.

Örneğin, eğer $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $o zaman $x_2y_3$ (veya aynı $x_5y_7$) olasılığı $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7'ye eşit olacaktır .$

Yukarıdakiler miktar için de geçerlidir. Eğer $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ ise, $x_1+\ y_2$ (veya aynı $x_4+\ y_6$) olasılığı $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6'ya eşit olacaktır. $

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri dağıtım yasalarıyla belirtilir:

Figür 3.

Burada $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ O zaman $X+Y$ toplamının dağıtım yasası şu şekle sahip olacaktır:

Şekil 4.

Ve $XY$ ürününün dağıtım yasası şu şekilde olacaktır:

Şekil 5.

Dağıtım işlevi

Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağılım fonksiyonu tarafından verilmektedir.

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, $X$ rastgele değişkeninin sayı doğrusunda $x$ noktasının solunda yer alan nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığı olarak açıklanır.