В общем случае линейное уравнение имеет вид:

Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Общая характеристика разрешенной системы уравнений

Пример 20.1

Дать характеристику системе уравнений .

Решение :

1. Входит ли в состав противоречивое уравнение? (Если коэффициенты, в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым .)

• Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения

2. Найти все разрешенные переменные . (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).

3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной , если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)

Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (), а не входящие в набор — свободными ().

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:

На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).

Общее Частное Базисное решения

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

• Базисное решение (вектор) называется вырожденным , если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным , если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Теорема (1)

Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).

Пример 1. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений:

Решение :

1. Проверяем является ли система разрешенной?

• Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)

2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения .

3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор .

4. Находим частное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.

Ответ: частное решение (один из вариантов)

5. Находим базисное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.

Элементарные преобразования линейных уравнений

Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.

Теорема (2)

Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число , а остальные уравнения оставить без изменения, то . (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)

Теорема (3)

Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной . (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)

Следствие из Теорем (2 и 3)

Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной .

Формулы пересчета коэффициентов системы

Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.

Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).

Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:

Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .

Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системы

При делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:

Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.

Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.

Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
5. Далее заново переходят к пункту 1

Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса.

Найти : два общих и два соответствующих базисных решения

Решение :

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.

Рассмотрим систему m линейных уравнений, содержащую n переменных

(1)

Эту систему можно записать короче в виде:

Или в матричной форме: Ax = B.

В задачах линейного программирования рассматриваются неопределенные системы уравнений, т.е. имеющие бесконечное множество решений. Тогда ранг r матрицы системы

,
меньше числа переменных: rn. Это означает, что максимальное число линейно независимых уравнений в (1) равно r. Будем считать, что в системе (1) число линейно независимых уравнений равно m, т.е. r = m. Из алгебры известно, что в этом случае найдутся m переменных, коэффициенты у которых в системе (1) образуют матрицу с определителем, отличным от нуля. Такой определитель называется базисным минором, а соответствующие переменные – базисными. Остальные n – m переменных называются свободными переменными. Базисные переменные можно выразить через свободные переменные с помощью уравнений системы (1), присвоить свободным переменным произвольные значения и найти значения базисных переменных по формулам Крамера. Получится одно из решений системы (1).

Определение 1. Решение системы линейных уравнений (1), полученное при нулевых значениях свободных переменных, называется базисным решением.

Базисные переменные, а поэтому и ненулевые компоненты базисного решения соответствуют линейно независимым столбцам матрицы коэффициентов системы линейных уравнений. Это позволяет дать другое определение базисного решения системы линейных уравнений.

Определение 2. Базисным решением системы линейных уравнений называется решение этой системы, ненулевые компоненты которого соответствуют линейно независимым столбцам матрицы коэффициентов этой системы.

В качестве базисных переменных могут быть разные группы, содержащие m переменных из заданных в (1) n переменных. Максимальное возможное число способов выбора m переменных из множества, содержащего n переменных, равно числу сочетаний . Однако могут встретиться случаи, когда соответствующий определитель матрицы, составленной из коэффициентов при выбранныхm переменных в системе (1), равен нулю. Поэтому число групп базисных переменных не превосходит . Для каждой группы базисных переменных можно найти соответствующее базисное решение системы (1). Из приведенных выше рассуждений вытекает теорема:

Теорема. Число базисных решений неопределенной системы (1), в которой ранг матрицы системы r = m < n не превосходит .

Пример. Найти все базисные решения системы уравнений (2):

(2)

Решение. Очевидно r=m=2, n=4. Общее число групп базисных переменных не более чем = 6. Однако первый, второй и четвертый столбцы коэффициентов у переменных в матрице системы – пропорциональные, поэтому определители второго порядка, составленные из коэффициентов любых двух из этих трех столбцов, равны нулю. Остаются наборы:
,
и
.

Для набора переменных
определитель, составленный из их коэффициентов d == –2 0. Следовательно, эти переменные можно считать базисными переменными,
– свободными. Присвоим свободным переменным нулевые значения:
Решаем систему:

(3)
, откуда
.

Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.

Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.

Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.

1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)

2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).

a. Находим rA .

Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.

М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).

Окаймляем М1 второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. . Продолжаем окаймлять М1 второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′ второго порядка.

Имеем: (т. к. два первых столбца одинаковые)

(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).

Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .

b. Находим .

Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).

. Отсюда следует, что и М3′′ остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)

Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).

(3)

Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)

В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .

При x2=1 , x4=0 получим:

.

Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:

Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .

Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:

.

Решаем эту систему по теореме Крамера:

.

Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .

Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет

γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.

4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .

(5)

Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .

(6)

Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему

Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).

5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Это значит: (7)

6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.

Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .

Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .

Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.

Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).

Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.

Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Данный онлайн калькулятор находит общее решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество уравнений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."

Теоретическую часть нахождения решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса смотрите ниже.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Представление чисел:

Целые числа и (или) Обыкновенные дроби
Целые числа и (или) Десятичные дроби

Число знаков после десятичного разделителя

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса − это метод для решения систем линейных уравнений а также метод нахождения обратной матрицы. Данный метод является модификацией метода Гаусса.

Первый этап метода Жордана-Гаусса аналогична методу Гаусса (прямой ход Гаусса), который подробно можно посмотреть на странице "Метод Гаусса онлайн" . Второй этап (обратный ход) метода Жордана-Гаусса заключается в обнулении всех элементов матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, выше ведущих элементов. Отметим, что мы здесь рассматриваем произвольную систему линейных уравнений, где число переменных может быть не равным числу ограничений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b

(2)

(3)

A -называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x − вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A )=p .

Построим расшренную матрицу системы:

Если ,..., равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b ).

Пусть . Тогда в обратном порядке, начиная с ведущего элемента применяем обратный ход Гаусса. Суть обратного хода заключается в обнулении всех элементов расширенной матрицы, стоящих выше ведущих элементов.

Итак, обнуляем все элементы, стоящие в столбце p , выше элемента . Так как ≠0, то сложим строки 1,2,...p− 1 со строкой p , умноженной на соответственно.

Расширенная матрица примет следующий вид:

Делим каждую строку на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Тогда решение можно записать так:

Матричный вид записи: Ax=b , где

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса

a 11 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 1/2,-3/2 соответственно:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a 33 . Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на -3/2, -5/4 соответственно:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Матричный вид записи: Ax=b , где

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a 11 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 4/3, 5/3 соответственно:

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a 22 . Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/10:

Выразим переменные x 1 , x 2 относительно остальных переменных.

Тогда векторное решение можно представить так:

,

x 3 − произвольное действительное число.

где x * - один из решений неоднородной системы (2) (например (4)), (E−A + A) образует ядро (нуль пространство) матрицы A .

Сделаем скелетное разложение матрицы (E−A + A) :

E−A + A=Q·S

где Q n×n−r - матрица rank(Q)=n−r , S n−r×n -матрица rank(S)=n−r .

Тогда (13) можно записать в следующем виде:

x=x*+Q·k, ∀ k∈ R n-r .

где k=Sz .

Итак, процедура нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы можно представить в следующем виде:

1. Вычисляем псевдообратную матрицу A + .
2. Вычисляем частное решение неоднородной системы линейных уравнений (2): x *=A + b .
3. Проверяем совместность системы. Для этого вычисляем AA + b . Если AA + b ≠b , то система несовместна. В противном случае продолжаем процедуру.
4. Высисляем E−A + A.
5. Делаем скелетное разложение E−A + A=Q·S.
6. Строим решение

x=x*+Q·k, ∀ k∈ R n-r .

Решение системы линейных уравнений онлайн

Онлайн калькулятор позволяет найти обшее решение системы линейных уравнений с подробными объяснениями.