Решение уравнения бернулли. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1) Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x) : , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y . При добавляется решение y(x)=0 . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0 , следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x . Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y) , что и .

Действительно, поскольку , то (9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y: . Но , следовательно, .Положим и тогда .Итак, построена функция , для которой , а .

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du , то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .

Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка: (10.1). Если заранее известно, что µ= µ(ω) , где ω – заданная функция от x и y , то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω : (10.2), где , т. е. дробь является функцией только от ω .

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель , с = 1. В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия: , или , .

10. Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом). Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид: , (2.1)

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a 0 (x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде: (2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае. Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду , (2.3) то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления
.

Так как
, то
.

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента
, его ускорение

Применив к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения, получим

Учитывая то, что
и что при установившемся движении
, после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в рассматриваемом сечении:

где - геометрический напор (высота), выражающий удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью отсчета, м,

- пьезометрический напор, выражающий удельную энергию давления, м,

- скоростной напор, выражающий удельную кинетическую энергию, м,

- статический напор, м.

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Впрактике технических измерений уравнение Бернулли используют для определения скорости жидкости
.

Уравнение Бернулли можно получить еще и следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании основного уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений
и
. Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

Лекция №7

Уравнение бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:

где - геометрический напор (высота), м,- пьезометрический напор, м,

- скоростной напор, м,
- статический напор, м.

В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим

где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.

Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:

Линия А, которая проходит по уровням в пьезометрах, измеряющих в точках избыточное давление, называетсяпьезометрической линией . Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора Н с по длине потока. Пьезометрическая линия отделяет область измерения потенциальной и кинетической энергии.

Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).

Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой

т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.

Расходомер Вентури

Расходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока – дросселирование. Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. В наибольшем и наименьшем сечениях трубы установлены пьезометры, показания которых позволяют определить перепад пьезометрического напора между двумя сечениями трубы и записать

В этом уравнении неизвестными являются v 1 и v 2 . Из уравнения неразрывности следует
, что позволяет определить скоростьv 2 и расход жидкости через трубу

где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.

Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.

Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.

Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.

Закон Бернулли

Автор этого закона - швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли - сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.

Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.

Закон Бернулли - это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости .

В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость , то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.

Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.

Уравнение неразрывности струи

Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.

Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.

Закон Бернулли и авиация

С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.

Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.

Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.

Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика , возникшая как продолжение аэродинамики.

Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами . Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.

Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.

При движении реальной жидкости, вследствие её вязкости, действуют гидравлические сопротивления, на преодоление которых затрачивается энергия. Эта энергия превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущей жидкостью.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости имеет вид

где ─ потери напора на участке длинойвдоль оси струйки между двумя сечениями.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид:

(3.9)

где
─ коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.

На практике
: для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах
; для турбулентного режима
.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины
, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкостиυ 1 ω 1 = υ 2 ω 2 .

Гидравлические сопротивления

Движущийся поток жидкости на своем пути преодолевает силы трения жидкости о стенки трубы или канала и различные местные сопротивления, вследствие чего возникают потери удельной энергии. Потери напора различают двух видов:

Потери по длине потока ;

Потери на преодоление местных сопротивлений
.

Полные потери напора равны сумме всех потерь

(3.10)

Потери напора по длине

При равномерном движении в трубах потери напора по длине, как при турбулентном, так и при ламинарном движении определяются для круглых труб по формуле Дарси

(3.11)

а для труб любой другой формы сечения по формуле

(3.12)

В некоторых случаях также используют формулу

(3.13)

Потери давления на трение по длине
, Па, определяются по формуле

(3.14)

где ─ длина участка трубы или канала, м;

─эквивалентный диаметр, м;

─средняя скорость течения, м/с;

─гидравлический радиус трубы, м;

─коэффициент гидравлического трения;

─коэффициент Шези, связанный с коэффициентом гидравлического трения зависимостями

;

В зависимости от режима движения применяются различные формулы для определения коэффициента гидравлического трения.

При ламинарном движении по трубам круглого сечения коэффициент гидравлического трения определяется по формуле

(3.15)

а для труб любой формы сечения

(3.16)

где А ─ коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения трубы.

Тогда формула для определения потерь напора по длине при ламинарном режиме принимает вид

(3.17)

Впервые наиболее исчерпывающие работы по определению были даны И.И. Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости
от
для ряда значений
. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклейки песчинок определенного размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рисунке 3.5, где построены зависимости
от
для ряда значений
.

Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости в соответствии с выражением (3.15).

При турбулентном режиме различают три области гидравлических сопротивлений, установленных в результате опытов, проведенных Никурадзе (см. рисунок 3.5)