Решение на уравнението на Бернули. Уравнение на Бернули

Диференциално уравнение от вида , където , се нарича уравнение на Бернули.

Ако приемем, че разделяме двете страни на уравнението на Бернули на . В резултат на това получаваме: (8.1) Нека въведем нова функция . Тогава . Нека умножим уравнение (8.1) по и преминем към функцията z(x): , т.е. за функция z(x)получи линейно нехомогенно уравнение от 1-ви ред. Това уравнение се решава с помощта на методите, обсъдени в предишния параграф. Вместо това нека заместим в общото му решение z(x)израз, получаваме общия интеграл на уравнението на Бернули, който лесно се решава по отношение на г. Когато се добави разтвор y(x)=0. Уравнението на Бернули може да се реши и без да се прави преход към линейно уравнение чрез заместване, но с помощта на метода на Бернули.

Диференциални уравнения в общи диференциали.

Определение.Ако в ур. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(9.1) лявата страна е общият диференциал на някаква функция U(x,y), то се нарича пълно диференциално уравнение. Това уравнение може да бъде пренаписано като du(x,y)=0, следователно неговият общ интеграл е u(x,y)=c.

Например уравнението xdy+ydx=0има уравнение в общите диференциали, тъй като то може да бъде пренаписано във формата d(xy)=0.Общият интеграл ще бъде xy=c.

Теорема.Да приемем, че функциите МИ ндефинирани и непрекъснати в някаква просто свързана област ди имат непрекъснати частни производни в него, съответно, по отношение на ги от х. Тогава, за да бъде уравнение (9.1) пълно диференциално уравнение, е необходимо и достатъчно идентичността (9.2) да е изпълнена.

Доказателство.Доказателството за необходимостта от това условие е очевидно. Следователно доказваме достатъчността на условието (9.2). Нека покажем, че такава функция може да бъде намерена u(x,y), това и .

Наистина, от тогава (9.3) , където е произволна диференцируема функция. Нека диференцираме (9.3) по отношение на y: . Но, следователно, нека предположим и след това .И така, функцията е конструирана , за което , a .

Интегриращ фактор.

Ако уравнението M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0не е пълно диференциално уравнение и има функция µ = µ(x,y), така че след като умножим двете страни на уравнението по него, получаваме уравнението

µ(Mdx + Ndy) = 0в общи диференциали, т.е. µ(Mdx + Ndy)du, след това функцията µ(x,y)се нарича интегриращ фактор на уравнението. В случай, че уравнението вече е уравнение в общите диференциали, приемаме µ = 1.

Ако се намери интегриращият фактор µ , тогава интегрирането на това уравнение се свежда до умножаване на двете му страни по µ и намиране на общия интеграл на полученото уравнение в общи диференциали.

Ако µ е непрекъснато диференцируема функция на хИ г, Че .

От това следва, че интегриращият фактор µ удовлетворява следното частично диференциално уравнение от първи ред: (10.1). Ако предварително се знае, че µ= µ(ω) , Където ω – дадена функция от хИ г, тогава уравнение (10.1) се свежда до обикновено (и освен това линейно) уравнение с неизвестна функция µ на независима променлива ω : (10.2), където , т.е. дробта е функция само на ω .

Решавайки уравнение (10.2), намираме интегриращия фактор, с= 1. По-специално, уравнението M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0има интегриращ фактор, който зависи само от х(ω = x) или само от г(ω = y), ако са изпълнени съответно следните условия: , или , .

10. Свойства на решенията на LDE от втори ред (с доказателство). Линейното диференциално уравнение от 2-ри ред (LDE) има следната форма: , (2.1)

където , , и са дадени функции, които са непрекъснати в интервала, на който се търси решението. Приемайки, че a 0 (x) ≠ 0, разделяме (2.1) на и след въвеждане на нови обозначения за коефициентите, записваме уравнението във формата: (2.2)

Нека приемем без доказателство, че (2.2) има единствено решение на определен интервал, което удовлетворява всякакви начални условия , , ако на разглеждания интервал функциите , и са непрекъснати. Ако , тогава уравнение (2.2) се нарича хомогенно, а уравнение (2.2) се нарича нехомогенно в противен случай. Нека разгледаме свойствата на разтворите на жила от 2-ри ред.

Определение.Линейна комбинация от функции е изразът , където са произволни числа.

Теорема.Ако и е решение на Lodu, (2.3), тогава тяхната линейна комбинация също ще бъде решение на това уравнение.

Уравнението на Бернули е основно уравнение на хидродинамиката, установявайки връзка между средната скорост на потока и хидродинамичното налягане при равномерно движение.

Нека разгледаме елементарен поток в равномерно движение на идеална течност. Нека подчертаем две секции, перпендикулярни на посоката на вектора на скоростта u, дължина на елемента дли площ dF. Разпределеният обем ще бъде под въздействието на гравитацията

и хидродинамични сили на налягане
.

защото
, Че
.

Като се има предвид, че в общия случай скоростта на избрания елемент
, неговото ускорение

Чрез прилагане на тежест към избрания елемент
уравнение на динамиката
в проекция върху траекторията на движението му, получаваме

Предвид факта, че
и то с равномерно движение
, след интегриране и деление на
получаваме общото налягане на потока в разглеждания участък:

Където - геометрично налягане (височина), изразяващо специфичната потенциална енергия на позицията на течна частица над определена базова равнина, m,

- пиезометрично налягане, изразяващо специфичната енергия на налягането, m,

- скоростен напор, изразяващ специфична кинетична енергия, m,

- статична глава, m.

Това е уравнението на Бернули. Тричленът на това уравнение изразява налягането в съответната секция и представлява специфичната (на единица тегло) механична енергия, пренесена от елементарен поток през тази секция.

IN в практиката на техническите измервания уравнението на Бернули се използва за определяне на скоростта на течност
.

Уравнението на Бернули може да се получи и по следния начин. Нека си представим, че течният елемент, който разглеждаме, е неподвижен. След това, въз основа на основното уравнение на хидростатиката
потенциалната енергия на течността в секции 1 и 2 ще бъде

Движението на течност се характеризира с появата на кинетична енергия, която за единица тегло ще бъде равна на за разглежданите секции
И
. Общата енергия на потока на елементарен поток ще бъде равна на сумата от потенциалната и кинетичната енергия, следователно

По този начин основното уравнение на хидростатиката е следствие от уравнението на Бернули.

Лекция No7

Уравнение на Бернули за реална течност

Уравнението на Бернули при равномерно движение на идеална течност има формата:

Където - геометрична глава (височина), m, - пиезометрично налягане, m,

- скоростно налягане, m,
- статична глава, m.

В случай на истинска течност, общото налягане за различни потоци в една и съща секция на потока няма да бъде еднакво, тъй като налягането на скоростта в различни точки на една и съща секция на потока няма да бъде еднакво. Освен това, поради разсейване на енергия поради триене, налягането от секция на секция ще намалее.

Въпреки това, за участъци на потока, взети там, където движението в неговите участъци се променя плавно, за всички елементарни потоци, преминаващи през участъка, статичното налягане ще бъде постоянно

Ако уравнението на Бернули за елементарен поток се разшири до целия поток и се вземе предвид загубата на налягане поради съпротивление на движение, получаваме

където α е коефициентът на кинетична енергия, равен на 1,13 за турбулентен поток и 2 за ламинарен поток; v– средна скорост на потока; ч– намаляване на специфичната механична енергия на потока в зоната между сечения 1 и 2, възникващо в резултат на силите на вътрешно триене.

Изчисляване на допълнителния срок чв уравнението на Бернули е основният проблем на хидротехниката.

Графично представяне на уравнението на Бернули за няколко секции на реален флуиден поток има формата:

Л линия А, която минава през нивата в пиезометри, които измерват свръхналягане в точки, се нарича пиезометрична линия. Той показва промяната в статичното налягане, измерено от равнината на сравнение н спо дължината на потока. Пиезометричната линия разделя зоната за измерване на потенциалната и кинетичната енергия.

Пълно налягане ннамалява по дължината на потока (линия B е линията на общото налягане на реалната течност).

Градиентът на налягането по дължината на потока се нарича хидравличен наклони се изразява с формулата

тези. хидравличният наклон е числено равен на синуса на ъгъла между хоризонталата и линията на пълното налягане на реалния флуид.

Вентури разходомер

Р Разходомерът на Вентури е устройство, монтирано в тръбопроводи, което стеснява потока - дроселиране. Разходомерът се състои от две секции: плавно стесняваща се секция (дюза) и постепенно разширяваща се секция (дифузьор). Скоростта на потока в стеснения участък се увеличава и налягането пада. В най-големите и най-малките участъци на тръбата са монтирани пиезометри, чиито показания позволяват да се определи разликата в пиезометричното налягане между две секции на тръбата и да се запише

Неизвестните в това уравнение са v 1 И v 2 . От уравнението на непрекъснатостта следва
, което ви позволява да определите скоростта v 2 и поток на течност през тръбата

Където СЪС– константа на разходомера, която отчита и загубите на налягане, както се определя от опита.

Изчисляването на проточна шайба, обикновено направена под формата на пръстен, се извършва по подобен начин. Дебитът се определя от измерената разлика в нивата в пиезометрите.

Уравнението на Бернули и уравнението за непрекъснатост на потока са основни при изчисляването на хидравличните системи.

Какво общо има законът на Бернули с авиацията? Оказва се, че тя е най-директната. С негова помощ е възможно да се обясни появата на повдигащата сила на крилото на самолета и други аеродинамични сили.

Закон на Бернули

Авторът на този закон е Швейцарски универсален физик, механик и математик. Даниел Бернули е син на известния швейцарски математик Йохан Бернули. IN 1838 г. той публикува фундаментален научен труд “Хидродинамика”, в който извежда известния си закон.

Трябва да се каже, че в онези дни аеродинамиката като наука все още не е съществувала. А законът на Бернули описва зависимостта на скоростта на потока на идеална течност от налягането. Но в началото на ХХ век започна да се появява авиацията. И тук законът на Бернули беше много полезен. В крайна сметка, ако разглеждаме въздушния поток като несвиваем флуид, тогава този закон е валиден и за въздушните потоци. С негова помощ те успяха да разберат как да вдигнат във въздуха самолет, по-тежък от въздуха. Това е най-важният закон на аеродинамиката, тъй като установява връзка между скоростта на движение на въздуха и действащото в него налягане, което помага да се направят изчисления на силите, действащи върху самолета.

Законът на Бернули е следствие от закона за запазване на енергията за стационарен поток от идеална и несвиваема течност .

В аеродинамиката въздухът се разглежда като несвиваема течност , тоест среда, чиято плътност не се променя с промените в налягането. А стационарен Разглежда се поток, при който частиците се движат по инвариантни във времето траектории, които се наричат линии на потока. В такива потоци не се образуват вихри.

За да разберем същността на закона на Бернули, нека се запознаем с уравнението за непрекъснатост на струята.

Уравнение за непрекъснатост на струята

От него става ясно, че колкото по-висока е скоростта на флуидния поток (и в аеродинамиката скоростта на въздушния поток), толкова по-ниско е налягането, и обратно.

Ефектът на Бернули може да се наблюдава, докато седите до камината. При силни пориви на вятъра скоростта на въздушния поток се увеличава и налягането пада. Налягането на въздуха в помещението е по-високо. И пламъците се втурват нагоре към комина.

Законът на Бернули и авиацията

Използвайки този закон, е много лесно да се обясни как възниква повдигането на самолет, по-тежък от въздуха.

По време на полет крилото на самолета сякаш разделя въздушния поток на две части. Едната част обтича горната повърхност на крилото, а другата около долната повърхност. Формата на крилото е такава, че горният поток трябва да измине по-голямо разстояние, за да се свърже с долния в една точка. Това означава, че той се движи с по-висока скорост. И тъй като скоростта е по-голяма, тогава налягането над горната повърхност на крилото е по-малко, отколкото под долната. Поради разликата в тези налягания възниква повдигащата сила на крилото.

Когато самолетът набира височина, разликата в налягането се увеличава, което означава, че повдигащата сила също се увеличава, което позволява на самолета да се издигне нагоре.

Нека веднага уточним, че описаните по-горе закони се прилагат, ако скоростта на въздушния поток не превишава скоростта на звука (до 340 m/s). В края на краищата ние разглеждахме въздуха като несвиваема течност. Но се оказва, че при скорости над скоростта на звука въздушният поток се държи по различен начин. Свиваемостта на въздуха вече не може да се пренебрегва. И при тези условия въздухът, като всеки газ, се опитва да се разшири и да заеме по-голям обем. Появяват се значителни спадове на налягането или ударни вълни. А самият въздушен поток не се стеснява, а напротив, разширява се. Проблемът за движението на въздушните потоци със скорости, близки или надвишаващи скоростта на звука, се занимава с газодинамика , възникнал като продължение на аеродинамиката.

Използвайки аеродинамичните закони, теоретичната аеродинамика позволява да се правят изчисления на аеродинамичните сили, действащи върху самолета. И правилността на тези изчисления се проверява чрез тестване на конструирания модел на специални експериментални инсталации, които се наричат вятърни тунели . Тези инсталации позволяват измерване на големината на силите с помощта на специални инструменти.

В допълнение към изучаването на силите, действащи върху аеродинамичните модели, аеродинамичните измервания се използват за изследване на разпределението на скоростта, плътността и температурата на въздуха, протичащ около модела.

Когато една истинска течност се движи, поради нейния вискозитет има хидравлични съпротивления, чието преодоляване изисква енергия. Тази енергия се превръща в топлина и се разсейва допълнително от движещата се течност.

Уравнението на Бернули за поток от реална течност има формата

Където ─ загуба на налягане по дължината на участъка по оста на потока между две секции.

Уравнението на Бернули за реалния флуиден поток е:

(3.9)

Където
─ Коефициенти на Кориолис, отчитащи разликата в скоростите в различни точки на напречното сечение на реален флуиден поток.

На практика
: за ламинарен флуиден поток в кръгли тръби
; за турбулентен режим
.

С помощта на уравнението на Бернули се решават повечето проблеми на практическата хидравлика. За да направите това, изберете две секции по дължината на потока, така че за една от тях стойностите на
, а за другия раздел трябваше да се определят една или стойности. С две неизвестни за втория участък се използва уравнението за постоянен флуиден поток υ 1 ω 1 = υ 2 ω 2 .

Хидравлично съпротивление

Движещият се флуиден поток по пътя си преодолява силите на триене на флуида по стените на тръба или канал и различни локални съпротивления, в резултат на което възникват специфични загуби на енергия. Има два вида загуби на налягане:

Загуба по дължината на потока ;

Загуби за преодоляване на местни съпротиви
.

Общите загуби на налягане са равни на сумата от всички загуби

(3.10)

Загуба на главата по дължина

При равномерно движение в тръбите загубата на налягане по дължината, както по време на турбулентно, така и по време на ламинарно движение, се определя за кръгли тръби с помощта на формулата на Дарси

(3.11)

и за тръби с всяка друга форма на напречно сечение съгласно формулата

(3.12)

В някои случаи се използва и формулата

(3.13)

Загуба на налягане поради триене по дължината
, Pa, се определят по формулата

(3.14)

Където ─ дължина на участък от тръба или канал, m;

─еквивалентен диаметър, m;

─средна скорост на течението, m/s;

─хидравличен радиус на тръбата, m;

─коефициент на хидравлично триене;

─Коефициент на Чези, свързан с коефициента на хидравлично триене чрез зависимости

;

В зависимост от режима на движение се използват различни формули за определяне на коефициента на хидравлично триене.

При ламинарно движение през кръгли тръби коефициентът на хидравлично триене се определя по формулата

(3.15)

и за тръби с всякаква форма на напречно сечение

(3.16)

Където А─ коефициент, чиято числена стойност зависи от формата на напречното сечение на тръбата.

Тогава формулата за определяне на загубата на налягане по дължината в ламинарен режим приема формата

(3.17)

За първи път най-изчерпателните работи върху дефиницията са дадени на И.И. Никурадзе, който въз основа на експериментални данни построи графика на зависимостта
от
за диапазон от стойности
. Експериментите на Никурадзе са проведени върху тръби с изкуствено определена грапавост, получена чрез залепване на пясъчни зърна с определен размер към вътрешните стени на тръбопровода. Резултатите от тези изследвания са представени на Фигура 3.5, където са нанесени зависимостите
от
за диапазон от стойности
.

Правата линия I съответства на ламинарния режим на движение на флуида в съответствие с израз (3.15).

В турбулентен режим се разграничават три области на хидравлично съпротивление, установени в резултат на експерименти, проведени от Никурадзе (виж Фигура 3.5)

Фигура 3.5 ─ графика на Никурадзе

Първата област е зоната на малкия
И
, където коефициентът не зависи от грапавостта, а се определя само от броя
(отбелязана на фигура 3.5 като права II).