Дискретно произволноПроменливите са случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга и които могат да бъдат изброени предварително.
Закон за разпределение
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Серията на разпределение на дискретна случайна променлива е списъкът на нейните възможни стойности и съответните вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е функцията:
,
определяне за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.

Очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността случайна променлива да приеме X стойности.
Ако една случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава:
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,

Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива:
или .
Вариация на броя на появяванията на събитие в n независими опити
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива:
.

Пример 1
Начертайте закон за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (DRV) X – броят k появявания на поне една „шестица“ при n = 8 хвърляния на чифт зарове. Построете многоъгълник на разпределение. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А – „при хвърляне на чифт зарове шестица се появява поне веднъж.“ За да се намери вероятността P(A) = p на събитие A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā - „при хвърляне на чифт зарове, шестица никога не се появява“.
Тъй като вероятността „шестица“ да не се появи при хвърляне на един зар е 5/6, тогава според теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата следват схемата на Бернули, така че д.с.в. величина х- номер кпоявата на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите:

където = е броят на комбинациите от нот к.

Изчисленията, извършени за този проблем, могат удобно да бъдат представени под формата на таблица:
Разпределение на вероятностите d.s.v. х º к (н = 8; стр = ; р = )

к
Пн(к)

Полигон (многоъгълник) на вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива хпоказано на фигурата:

Ориз. Многоъгълник на разпределение на вероятностите d.s.v. х=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(х).

Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.s.v. х. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е равно на:
М(х) = = 2,4444,
Където xk = к– взета стойност от д.с.в. х. Дисперсия д(х) намираме разпределението по формулата:
д(х) = = 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
с( х) = = 2,1931.

Пример2
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределението

Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте.

Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. Наистина ли, хможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава се равнява на вероятността за събитие, което може да се случи, когато хще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава според теоремата за добавяне вероятността за събитие е равна на сумата от вероятностите 0,3 + 0,1 = 0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде написана аналитично, както следва:

Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условие вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни:




Законът за разпределение има формата:

При приложенията на теорията на вероятностите количествените характеристики на експеримента са от първостепенно значение. Количество, което може да бъде количествено определено и което в резултат на експеримент може да приеме различни стойности в зависимост от случая, се нарича случайна величина.

Примери за случайни променливи:

1. Колко пъти се появява четен брой точки при десет хвърляния на зара.

2. Броят на попаденията в мишената от стрелец, който стреля серия от изстрели.

3. Броят на фрагментите от експлодиращ снаряд.

Във всеки от дадените примери случайната променлива може да приема само изолирани стойности, тоест стойности, които могат да бъдат изброени с помощта на естествена серия от числа.

Такава случайна променлива, чиито възможни стойности са отделни изолирани числа, които тази променлива приема с определени вероятности, се нарича отделен.

Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен (изброим).

Закон за разпределениеДискретна случайна променлива е списък от нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде определен под формата на таблица (серия на разпределение на вероятностите), аналитично и графично (многоъгълник на разпределение на вероятностите).

Когато се провежда експеримент, става необходимо да се оцени стойността, която се изследва „средно“. Ролята на средна стойност на случайна величина играе числова характеристика, наречена математическо очакване,което се определя по формулата

Където х 1 , х 2 ,.. , х н– стойности на случайни променливи х, А стр 1 ,стр 2 , ... , стр н– вероятностите на тези стойности (обърнете внимание, че стр 1 + стр 2 +…+ стр н = 1).

Пример. Стрелбата се извършва в целта (фиг. 11).

Попадение в I дава три точки, във II – две точки, в III – една точка. Броят точки, отбелязани в един изстрел от един стрелец, има закон за разпределение на формата

За да сравните уменията на стрелците, достатъчно е да сравните средните стойности на отбелязаните точки, т.е. математически очаквания М(х) И М(Y):

М(х) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

М(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Вторият стрелец дава средно малко по-голям брой точки, т.е. ще даде по-добри резултати при многократно задействане.

Нека отбележим свойствата на математическото очакване:

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:

М(° С) =C.

2. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете:

М=(х 1 + х 2 +…+ х н)= М(х 1)+ М(х 2)+…+ М(х н).

3. Математическото очакване на произведението на взаимно независими случайни величини е равно на произведението на математическите очаквания на факторите

М(х 1 х 2 … х н) = М(х 1)М(х 2)… М(х н).

4. Математическото отрицание на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване (задача 4.6).

М(х) = пр.

За да се оцени как една случайна променлива „средно“ се отклонява от своето математическо очакване, т.е. За да се характеризира разпространението на стойностите на случайна променлива в теорията на вероятностите, се използва концепцията за дисперсия.

Дисперсияслучайна величина хсе нарича математическо очакване на квадрата на отклонението:

д(х) = М[(х - М(х)) 2 ].

Дисперсията е числена характеристика на дисперсията на случайна променлива. От дефиницията става ясно, че колкото по-малка е дисперсията на случайна променлива, толкова по-близко нейните възможни стойности са разположени около математическото очакване, т.е. толкова по-добре се характеризират стойностите на случайната променлива от нейното математическо очакване .

От дефиницията следва, че дисперсията може да се изчисли по формулата

.

Удобно е дисперсията да се изчисли по друга формула:

д(х) = М(х 2) - (М(х)) 2 .

Дисперсията има следните свойства:

1. Дисперсията на константата е нула:

д(° С) = 0.

2. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигане на квадрат:

д(CX) = ° С 2 д(х).

3. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсията на членовете:

д(х 1 + х 2 + х 3 +…+ х н)= д(х 1)+ д(х 2)+…+ д(х н)

4. Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението на броя опити и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в едно изпитване:

д(х) = npq.

В теорията на вероятностите често се използва числова характеристика, равна на корен квадратен от дисперсията на случайна променлива. Тази числена характеристика се нарича средно квадратично отклонение и се обозначава със символа

.

Той характеризира приблизителния размер на отклонението на случайна величина от средната й стойност и има същата размерност като случайната величина.

4.1. Стрелецът стреля три пъти по целта. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е 0,3.

Изградете серия за разпределение на броя на попаденията.

Решение. Броят на попаденията е дискретна случайна променлива х. Всяка стойност х н случайна величина хсъответства на определена вероятност П н .

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива в този случай може да бъде определен близко разпространение.

В този проблем хприема стойности 0, 1, 2, 3. Според формулата на Бернули

,

Нека намерим вероятностите на възможните стойности на случайната променлива:

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Чрез подреждане на стойностите на случайната променлива хв нарастващ ред получаваме серията на разпределение:

х н

Имайте предвид, че сумата

означава вероятността случайната променлива хще приеме поне една стойност измежду възможните и следователно това събитие е надеждно

.

4.2 .Урната съдържа четири топки с номера от 1 до 4. Изваждат се две топки. Случайна стойност х– сумата от числата на топките. Конструирайте серия на разпределение на случайна променлива х.

Решение.Стойности на случайни променливи хса 3, 4, 5, 6, 7. Нека намерим съответните вероятности. Стойност на случайна променлива 3 хможе да се приеме само в случай, когато една от избраните топки е с номер 1, а другата 2. Броят на възможните резултати от теста е равен на броя на комбинациите от четири (броя на възможните двойки топки) от две.

Използвайки класическата вероятностна формула, получаваме

по същия начин,

Р(х= 4) =Р(х= 6) =Р(х= 7) = 1/6.

Сборът 5 може да се появи в два случая: 1 + 4 и 2 + 3, така че

.

хима формата:

Намерете функцията на разпределение Е(х) случайна величина хи го начертайте. Изчислете за хнеговото математическо очакване и дисперсия.

Решение. Законът за разпределение на случайна променлива може да бъде определен от функцията на разпределение

Е(х) = П(х х).

Разпределителна функция Е(х) е ненамаляваща, ляво-непрекъсната функция, дефинирана върху цялата числова ос, докато

Е (- )= 0,Е (+ )= 1.

За дискретна случайна променлива тази функция се изразява с формулата

.

Следователно в този случай

Графика на функцията на разпределение Е(х) е стъпаловидна линия (фиг. 12)

	Е(х)

Очаквана стойностМ(х) е среднопретеглената аритметична стойност на стойностите х 1 , Х 2 ,……Х нслучайна величина хс везни ρ 1, ρ 2, …… , ρ н и се нарича средна стойност на случайната променлива х. Според формулата

М(х)= х 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x н ρ н

М(х) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

дисперсияхарактеризира степента на дисперсия на стойностите на случайна променлива от нейната средна стойност и се обозначава д(х):

д(х)=М[(HM(х)) 2 ]= М(х 2) –[М(х)] 2 .

За дискретна случайна променлива дисперсията има формата

или може да се изчисли с помощта на формулата

Замествайки числените данни на проблема във формулата, получаваме:

М(х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

д(х) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Два зара се хвърлят два пъти едновременно. Напишете биномиалния закон за разпределение на дискретна случайна променлива х- броят на срещанията на четен общ брой точки на два зара.

Решение. Нека представим едно случайно събитие

А= (два зара с едно хвърляне доведоха до общ четен брой точки).

Използвайки класическата дефиниция на вероятността, намираме

Р(А)= ,

Където н - броят на възможните резултати от теста се намира според правилото

умножение:

н = 6∙6 =36,

м - брой хора, подкрепящи събитието Арезултати - равни

м= 3∙6=18.

По този начин вероятността за успех в едно изпитание е

ρ = П(А)= 1/2.

Задачата се решава с помощта на тестова схема на Бернули. Едно предизвикателство тук ще бъде хвърлянето на два зара веднъж. Брой такива тестове н = 2. Случайна променлива хприема стойности 0, 1, 2 с вероятности

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Изискваното биномно разпределение на случайна променлива хможе да се представи като серия на разпространение:

х н
ρ н

4.5 . В партида от шест части има четири стандартни части. Три части бяха избрани на случаен принцип. Конструирайте вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива х– броя на стандартните части сред избраните и намиране на математическото му очакване.

Решение.Стойности на случайни променливи хса числата 0,1,2,3. Това е ясно Р(х=0)=0, тъй като има само две нестандартни части.

Р(х=1) =
=1/5,

Р(X= 2) =
= 3/5,

Р(х=3) =
= 1/5.

Закон за разпределение на случайна величина хНека го представим под формата на серия за разпространение:

х н
ρ н

Очаквана стойност

М(х)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Докажете, че математическото очакване на дискретна случайна променлива х- брой появявания на събитието А V ннезависими опити, при всяко от които вероятността за настъпване на събитие е равна на ρ – равно на произведението на броя опити по вероятността за настъпване на събитие в едно изпитване, т.е. да се докаже, че математическото очакване на биномното разпределение

М(х) =н . ρ ,

и дисперсия

д(х) =н.п. .

Решение.Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2..., н. Вероятност Р(х= k) се намира по формулата на Бернули:

Р(х=к)= Р н(k)= ρ Да се (1-ρ ) н-Да се

Серия на разпределение на случайна променлива хима формата:

х н
ρ н	р н	ρq н- 1	ρq н- 2		ρ н

Където р= 1- ρ .

За математическото очакване имаме израза:

М(х)=ρq н - 1 +2 ρ 2 р н - 2 +…+.н ρ н

В случай на един тест, тоест с n= 1 за случайна променлива х 1 – брой повторения на събитието А- серията на разпределение има формата:

х н
ρ н

М(х 1)= 0∙q + 1 ∙ стр = стр

д(х 1) = стр – стр 2 = стр(1- стр) = pq.

Ако х k – брой повторения на събитието Ав кой тест тогава Р(х Да се)= ρ И

X=X 1 +X 2 +….+X н .

От тук получаваме

М(х)=М(х 1 )+М(х 2)+ … +М(х н)= nρ,

д(х)=D(х 1)+D(х 2)+ ... +D(х н)=npq.

4.7. Отделът за контрол на качеството проверява продуктите за стандартност. Вероятността продуктът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 продукта. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива х- броя на партидите, всяка от които ще съдържа 4 стандартни продукта - ако подлежат на проверка 50 партиди.

Решение. Вероятността във всяка произволно избрана партида да има 4 стандартни продукта е постоянна; нека го обозначим с ρ .Тогава математическото очакване на случайната променлива хравно на М(х)= 50∙ρ.

Нека намерим вероятността ρ според формулата на Бернули:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М(х)= 50∙0,32=16.

4.8 . Хвърлят се три зара. Намерете математическото очакване на сбора от падналите точки.

Решение.Можете да намерите разпределението на случайна променлива х- сумата на падналите точки и след това нейното математическо очакване. Този път обаче е твърде тромав. По-лесно е да се използва друга техника, представляваща случайна променлива х, чието математическо очакване трябва да се изчисли, под формата на сума от няколко по-прости случайни променливи, чието математическо очакване е по-лесно за изчисляване. Ако случайната променлива х iе броят на прехвърлените точки i– та кости ( i= 1, 2, 3), след това сумата от точките хще се изрази във формата

X = X 1 + X 2 + X 3 .

За да се изчисли математическото очакване на оригиналната случайна променлива, всичко, което остава, е да се използва свойството на математическото очакване

М(х 1 + X 2 + X 3 )= М(х 1 )+ М(х 2)+ М(х 3 ).

Това е очевидно

Р(х i = К)= 1/6, ДА СЕ= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Следователно, математическото очакване на случайната променлива х iизглежда като

М(х i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М(х) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се провалили по време на тестването, ако:

а) вероятността от повреда за всички устройства е еднаква Р, а броят на тестваните устройства е равен на н;

б) вероятност за провал за i – на устройството е равно на стр i , i= 1, 2, … , н.

Решение.Нека случайната променлива хтогава е броят на неуспешните устройства

X = X 1 + X 2 + … + X н ,

х i =

Това е ясно

Р(х i = 1)= Р i , Р(х i = 0)= 1– Р i ,i= 1, 2, … ,н.

М(х i)= 1∙Р i + 0∙(1-Р i)=P i ,

М(х)=М(х 1)+М(х 2)+ … +М(х н)=P 1 +P 2 + … + П н .

В случай "а" вероятността от повреда на устройството е същата, т.е

Р i =стр,i= 1, 2, … ,н.

М(х)= н.п..

Този отговор може да бъде получен веднага, ако забележим, че случайната променлива хима биномиално разпределение с параметри ( н, стр).

4.10. Два зара се хвърлят едновременно два пъти. Напишете биномиалния закон за разпределение на дискретна случайна променлива Х -броят на хвърлянията на четен брой точки на два зара.

Решение. Позволявам

А=(хвърляне на четно число на първия зар),

B =(хвърляне на четно число на втория зар).

Получаването на четно число на двата зара с едно хвърляне се изразява чрез произведението AB.Тогава

Р (AB) = Р(А)∙Р(IN) =
.

Резултатът от второто хвърляне на два зара не зависи от първото, така че формулата на Бернули се прилага, когато

н = 2,p = 1/4, р = 1– p = 3/4.

Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2 , вероятността за което може да се намери с помощта на формулата на Бернули:

Р(X= 0)= П 2 (0) = р 2 = 9/16,

Р(X= 1)= П 2 (1)= В ,Р∙р = 6/16,

Р(X= 2)= П 2 (2)= В , Р 2 = 1/16.

Серия на разпределение на случайна променлива Х:

4.11. Устройството се състои от голям брой независимо работещи елементи с една и съща много малка вероятност от повреда на всеки елемент във времето T. Намерете средния брой откази за времето Tелементи, ако вероятността поне един елемент да се повреди през това време е 0,98.

Решение. Брой хора, отказали във времето Tелементи – случайна величина х, който се разпределя по закона на Поасон, тъй като броят на елементите е голям, елементите работят независимо и вероятността от повреда на всеки елемент е малка. Средният брой повторения на събитие в нтестове е равно

М(х) = н.п..

Тъй като вероятността от провал ДА СЕелементи от низразено с формулата

Р н (ДА СЕ)
,

където  = н.п., тогава вероятността нито един елемент да не се повреди през това време T получаваме К = 0:

Р н (0)= д -  .

Следователно вероятността за обратното събитие е във времето T поне един елемент не успее – равен на 1 - д -  . Според условията на задачата тази вероятност е 0,98. От ур.

1 - д -  = 0,98,

д -  = 1 – 0,98 = 0,02,

от тук  = -вътре 0,02  4.

И така, във времето Tработа на устройството, средно 4 елемента ще се повредят.

4.12 . Заровете се хвърлят, докато се появи „две“. Намерете средния брой хвърляния.

Решение. Нека въведем случайна променлива х– броя тестове, които трябва да бъдат извършени до настъпване на интересуващото ни събитие. Вероятността, че х= 1 е равна на вероятността при едно хвърляне на зара да се появи „двойка“, т.е.

Р(X= 1) = 1/6.

Събитие х= 2 означава, че при първия тест двойката не е паднала, но при втория е паднала. Вероятност за събитие х= 2 се намира по правилото за умножаване на вероятностите за независими събития:

Р(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

по същия начин,

Р(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

и т.н. Получаваме серия от вероятностни разпределения:

					(5/6) Да се ∙1/6

Средният брой хвърляния (изпитания) е математическото очакване

М(х) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + ДА СЕ (5/6) ДА СЕ -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + ДА СЕ (5/6) ДА СЕ -1 + …)

Нека намерим сумата на серията:

ДА СЕж ДА СЕ -1 = (ж ДА СЕ) ж 
.

следователно

М(х) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

По този начин трябва да направите средно 6 хвърляния на зара, докато се появи „две“.

4.13. Провеждат се независими тестове със същата вероятност за възникване на събитието Авъв всеки тест. Намерете вероятността за възникване на събитие А, ако дисперсията на броя на появяванията на събитие в три независими опита е 0,63 .

Решение.Броят на случаите на събитие в три опита е случайна променлива х, разпределени по биномния закон. Дисперсията на броя на случванията на дадено събитие в независими опити (с еднаква вероятност за възникване на събитието във всяко изпитване) е равна на произведението на броя на изпитанията по вероятностите за възникване и ненастъпване на събитието (задача 4.6)

д(х) = npq.

По условие н = 3, д(х) = 0,63, така че можете Рнамерете от уравнението

0,63 = 3∙Р(1-Р),

който има две решения Р 1 = 0,7 и Р 2 = 0,3.

Отделен наречена случайна променлива, която може да приема отделни, изолирани стойности с определени вероятности.

ПРИМЕР 1.Броят пъти, в които гербът се появява при три хвърляния на монети. Възможни стойности: 0, 1, 2, 3, техните вероятности са съответно равни:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ПРИМЕР 2.Броят повредени елементи в устройство, състоящо се от пет елемента. Възможни стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5; техните вероятности зависят от надеждността на всеки елемент.

Дискретна случайна променлива хможе да се даде чрез серия на разпределение или функция на разпределение (закон за интегрално разпределение).

Близо до разпределение е набор от всички възможни стойности хiи съответните им вероятности Рi = P(X = xi), може да се посочи като таблица:

x i				x n
p i				р n

В този случай вероятностите Рiудовлетворяват условието

Рi= 1 защото

където е броят на възможните стойности нможе да бъде ограничен или безкраен.

Графично представяне на серията на разпределение наречен разпределителен полигон . За да го конструирате, възможните стойности на случайната променлива ( хi) са нанесени по оста x и вероятностите Рi- по ординатната ос; точки Аiс координати ( хi,рi) са свързани с прекъснати линии.

Разпределителна функция случайна величина хнаречена функция Е(х), чиято стойност в точката хе равна на вероятността случайната променлива хще бъде по-малко от тази стойност х, това е

F(x) = P(X< х).

функция Е(х) За дискретна случайна променливаизчислено по формулата

Е(Х) = Рi , (1.10.1)

където сумирането се извършва върху всички стойности i, за което хi< х.

ПРИМЕР 3.От партида, съдържаща 100 продукта, от които има 10 дефектни, пет продукта се избират на случаен принцип, за да се провери качеството им. Конструирайте поредица от разпределения на произволно число хдефектни продукти, съдържащи се в пробата.

Решение. Тъй като в извадката броят на дефектните продукти може да бъде всяко цяло число от 0 до 5 включително, тогава възможните стойности хiслучайна величина хса равни:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Вероятност Р(X = k) че пробата съдържа точно к(к = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектни продукти, равни

P (X = k) = .

В резултат на изчисленията, използващи тази формула с точност до 0,001, получаваме:

Р 1 = П(X = 0) @ 0,583;Р 2 = П(X = 1) @ 0,340;Р 3 = П(X = 2) @ 0,070;

Р 4 = П(X = 3) @ 0,007;Р 5 = П(х= 4) @ 0;Р 6 = П(X = 5) @ 0.

Използване на равенство за проверка Рк=1, ние се уверяваме, че изчисленията и закръгляването са извършени правилно (виж таблицата).

x i
p i

ПРИМЕР 4.Дадена е серия на разпределение на случайна променлива х :

x i
p i

Намерете функцията на разпределение на вероятностите Е(х) на тази случайна променлива и я конструирайте.

Решение. Ако х£10 тогава Е(х)= П(х<х) = 0;

ако 10<х£20 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 ;

ако 20<х£30 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ако 30<х£40 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ако 40<х£50 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Ако х> 50 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя от тях не е предварително известна. Следователно за случайна променлива можете да посочите само стойности, една от които тя определено ще приеме в резултат на експеримент. По-нататък ще наричаме тези стойности възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

Отделен; Непрекъснато; Смесени.

Отделене случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани, се нарича изброимо. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nпродукти. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

Непрекъснатое случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е месечното потребление на електроенергия на предприятието.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височина с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 m. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна величина е интервалът от 0 до 2 m.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и законът за разпределение е установен.

Закон за разпределение на случайна величина е релация, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността и характеристична функция се използват като закони на разпределение.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Съгласно закона за разпределение може да се прецени преди експеримента кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна променлива законът за разпределение може да бъде зададен под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайната променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия на разпределение на дискретна случайна променлива. 1

Събития X 1, X 2,..., X n, състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1, x 2,... x n, са непоследователни и единствените възможни (тъй като в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серията на разпределение може да бъде изобразена графично, ако стойностите на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности са нанесени по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерЛотарията включва: автомобил на стойност 5000 den. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единици, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици За 7 дни са продадени общо 1000 билета. единици Съставете закон за разпределение на нетните печалби, получени от участник в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетните печалби на билет - са равни на 0-7 = -7 пари. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако в билета има печалби съответно от видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

Определение 1

Случайна променлива $X$ се нарича дискретна (прекъсната), ако наборът от нейните стойности е безкраен или краен, но изброим.

С други думи, количеството се нарича дискретно, ако стойностите му могат да бъдат номерирани.

Случайна променлива може да бъде описана с помощта на закона за разпределение.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ може да бъде зададен под формата на таблица, чийто първи ред показва всички възможни стойности на случайната променлива във възходящ ред, а вторият ред съдържа съответните вероятности за тях стойности:

Снимка 1.

където $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Тази таблица е близо до разпределението на дискретна случайна променлива.

Ако наборът от възможни стойности на случайна променлива е безкраен, тогава серията $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ се сближава и нейната сума ще бъде равна на $1$.

Законът за разпределение на дискретна случайна величина $X$ може да бъде представен графично, за което се построява начупена линия в координатната система (правоъгълна), която последователно свързва точки с координати $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линията, която получихме, се нарича разпределителен полигон.

Фигура 2.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ може също да бъде представен аналитично (използвайки формулата):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Операции върху дискретни вероятности

При решаването на много проблеми в теорията на вероятностите е необходимо да се извършват операции за умножаване на дискретна случайна променлива по константа, добавяне на две случайни променливи, умножаването им и повишаването им на степен. В тези случаи е необходимо да се спазват следните правила за случайни дискретни величини:

Определение 3

Умножениена дискретна случайна променлива $X$ по константа $K$ е дискретна случайна променлива $Y=KX,$, която се определя от равенствата: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ ляво(x_i\дясно)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Определение 4

Извикват се две случайни променливи $x$ и $y$ независима, ако законът за разпределение на едно от тях не зависи от това какви възможни стойности е придобило второто количество.

Определение 5

Количестводве независими дискретни случайни променливи $X$ и $Y$ се наричат ​​случайна променлива $Z=X+Y,$ се определя от равенствата: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножениедве независими дискретни случайни променливи $X$ и $Y$ се наричат ​​случайна променлива $Z=XY,$ се определя от равенствата: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Нека вземем предвид, че някои продукти $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ могат да бъдат равни помежду си. В този случай вероятността за добавяне на продукта е равна на сумата от съответните вероятности.

Например, ако $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $тогава вероятността $x_2y_3$ (или същото $x_5y_7$) ще бъде равна на $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Горното важи и за сумата. Ако $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ тогава вероятността $x_1+\ y_2$ (или същото $x_4+\ y_6$) ще бъде равна на $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Случайните променливи $X$ и $Y$ се определят от законите за разпределение:

Фигура 3.

Където $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогава законът за разпределение на сумата $X+Y$ ще има формата

Фигура 4.

И законът за разпределение на продукта $XY$ ще има формата

Фигура 5.

Разпределителна функция

Пълно описание на случайна променлива също се дава от функцията на разпределение.

Геометрично, функцията на разпределение се обяснява като вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойността, която е представена на числовата ос от точката, разположена вляво от точката $x$.