Уравнение на Бернули за потока на реална течност, неговият физически смисъл.
Уравнение на Бернулие следствие от закона за запазване на енергията за стационарен поток от идеална (т.е. без вътрешно триене) несвиваема течност:
Тук е плътността на течността, е скоростта на потока, е височината, на която се намира въпросният течен елемент, е налягането в точката в пространството, където се намира центърът на масата на въпросния течен елемент, и е ускорението на гравитацията.
В реалните флуидни потоци присъстват вискозни сили на триене. В резултат на това слоевете течност се търкат един в друг, докато се движат. Това триене изразходва част от енергията на потока. Поради тази причина загубата на енергия е неизбежна по време на движение. Тази енергия, както при всяко триене, се превръща в топлинна енергия. Поради тези загуби енергията на флуидния поток по дължината на потока и в неговата посока постоянно намалява.
От закона на Бернули следва, че когато напречното сечение на потока намалява, поради увеличаване на скоростта, тоест динамично налягане, статичното налягане намалява. Това е основната причина за ефекта на Магнус. Законът на Бернули е валиден и за ламинарни газови потоци. Законът на Бернули е валиден в чист вид само за течности, чийто вискозитет е нула. За да се опише потокът на реални флуиди в техническата механика на флуидите (хидравлика), интегралът на Бернули се използва с добавяне на членове, които отчитат загубите, дължащи се на локални и разпределени съпротивления.
Разпределение на скоростта:
Какво е тръба на Пито и за какво се използва?
Тръбата на Пито е устройство за измерване на скоростта в точките на потока. за измерване на динамичното налягане на течаща течност или газ. Това е L-образна тръба. Установеното в тръбата свръхналягане е приблизително равно на: , където p е плътността на движещата се (удряща) среда; V? - скорост на свободния поток; ξ е коефициентът.
Тръбата за налягане на Пито е свързана със специални инструменти и устройства. Използва се за определяне на относителната скорост и обемен дебит в газопроводи и вентилационни системи, заедно с диференциални манометри.
Използва се като компонент на тръба на Prandtl в приемници за въздушно налягане на самолети, за да позволи едновременно определяне на скоростта и височината на полета.
Как да преобразувам уравнението на Бернули от измерението на дължината в измерението на налягането?
Уравнение на Бернули под формата на налягания, m
Уравнение на Бернули под формата на налягания, Pa
Загуба на налягане от първата секция към втората.
Какви режими на потока съществуват и как се определят границите на съществуването на тези режими?
1. Ламинарен режим на движение. Характеристики: слоест характер на течния поток, липса на смесване, постоянно налягане и скорост във времето.
2. Преходен режим.
3. Турбулентен режим на течение. Забележими: образуване на вихри, въртеливо движение на течността, непрекъснати пулсации на налягане и скорост във водния поток.
1. Ламинарно е слоест поток без смесване на течни частици и без пулсации на скорост и налягане. При ламинарен поток на течност в права тръба с постоянно напречно сечение всички линии на потока са насочени успоредно на оста на тръбата и няма напречно движение на частици течност.
2. Турбулентен поток е поток, придружен от интензивно смесване на течност с пулсации на скорости и налягания. Наред с основното надлъжно движение на течността се наблюдават напречни движения и ротационни движения на отделни обеми течност. 3. Преходът от ламинарен към турбулентен режим се наблюдава при определена скорост на движение на течността. Тази скорост се нарича критична ( Vcr=kv/d).
Стойността на тази скорост е право пропорционална на кинематичния вискозитет на течността v и обратно пропорционална на диаметъра на тръбата д.
4. Безразмерният коефициент, включен в тази формула ке еднакъв за всички течности и газове, както и за всички диаметри на тръбите. Този коефициент се нарича критично число на Рейнолдс Recrи се определя, както следва:
Recr = Vcrd/v = pVcrd/μ ≈ 2300-2320
Как се изчислява числото на Рейнолдс?
Критерият за подобие на Рейнолдс (число на Рейнолдс) позволява да се прецени режимът на потока на течността в тръбата. Число на Рейнолдс (критерий) Re - мярка за отношението на инерционната сила към силата на триене
Re = Vd/v = pVd/μ, където μ е коефициентът на динамичен вискозитет, v = μ/p,
В Re< Reкр = 2320 течение является ламинарным;
Re > 3800-4200 течението е турбулентно.
Зависимостите са валидни само за кръгли тръби.
С увеличаване на скоростта се увеличават инерционните сили. В този случай силите на триене са по-големи от инерционните сили и за известно време изправят траекториите на потоците
При определена скорост VCR:
Инерционна сила Fi > сила на триене Ftr, потокът става турбулентен
Уравнение на Бернули за равномерното движение на идеална течност, неговият физически смисъл.
Нека редуцираме уравненията на Ойлер до форма, удобна за интегриране, като умножим съответно по dx, dy.
dz и добавяне:
Получаваме
Като се има предвид това
- пълна разлика в налягането
Краен израз:
Ако течността е само под въздействието на гравитацията и нейната плътност е постоянна, тогава
Накрая
Уравнение на Бернули за поток от идеална течност
Уравнение на Бернули за стационарно движение на вискозна течност.
Разпределение на скоростта:
1 - елементарна струйка; идеална течност;
2 - истинска (вискозна) течност
Когато се движи истинска вискозна течност, възникват сили на триене и вихри, за преодоляване на които течността изразходва енергия.
В резултат на това общата специфична енергия на течността в секция 1-1 ще бъде по-голяма от общата специфична енергия в секция 2-2 с количеството загубена енергия
Тук
V 1.2- средна скорост на потока в участъци 1.2;
hW1,2 = hpot 1-2- загуба на налягане загуба на налягане между секции 1-2;
α1,2- безразмерен коефициент на Кориолис - отношението на действителната кинетична енергия на потока в дадено сечение към кинетичната енергия на потока в същото сечение с равномерно разпределение на скоростите.
По този начин, нивото на първоначалната енергия, притежавана от течността в първата секция за втората секция, ще бъде сумата от четири компонента: геометрична височина, пиезометрична височина, височина на скоростта и загубено налягане между секции 1-1 и 2-2
Скорост на потока на вискозна течност в дълга тръба: v = (ΔP / η) R 2 / (8 l), Където ΔP- разлика в налягането в краищата на тръбата, η
— вискозитет на течност или газ (силно зависим от температурата), Р— вътрешен радиус на тръбата, л- дължината му, л >> Р.
Коефициенти на Кориолис. Големината на коефициентите за режими на ламинарен и турбулентен поток.
Коефициентът на Кориолис е отношението на действителната кинетична енергия на потока в дадено сечение към кинетичната енергия на потока в същото сечение с равномерно разпределение на скоростите.
Елементарна мощност на потока:
За поток
Разделяйки получения израз на и вземайки предвид това (специфична мощност на 1 N
тегло на течността = средно налягане в секция Nsr) получаваме: 
Тук ? - Коефициент на Кориолис.
С равномерно разпределение на скоростта α =1 (елементарен поток/идеална течност),
с неравномерно α>1. V- средна скорост в участъка на живо .
- Коефициент на Кориолис за ламинарен режим.
- Коефициент на Кориолис за турбулентен режим (клони към 1,0 с увеличаване на Re)
Рационален избор на участъци за решаване на уравнението на Бернули.
Секциите са избранивинаги перпендикулярни на посоката на движение на течността и трябва да бъдат разположени на прави участъци от потока
Един оттрябва да се вземат проектни секции, където трябва да се определи налягането Р, височина zили скорост V, второ, където са количествата Р, z, И Vизвестен
Номерпроектните секции трябва да бъдат така, че течността да се отдалечава от секцията 1-1 към секцията 2-2
Равнина за сравнение 0-0 -всяка хоризонтална равнина. За удобство се извършва през центъра на тежестта на една от секциите
Практическо приложение на уравнението на Бернули: тръба на Пито.
Тръбата на Пито е устройство за измерване на скоростта в точките на потока.
След като съставих уравнението на Бернули за сечения а-аИ б-б, получаваме
.
Оттук 
Практическо приложение на уравнението на Бернули: разходомер на Вентури.
а) Пренебрегвайки загубите на налягане и като вземем предвид z1 = z2, записваме уравнението на Бернули за секции 1-1 и 2-2:
б) От уравнението за непрекъснатост
в) От уравнението на пиезометъра
Решавайки заедно, получаваме:
Енергийно тълкуване на уравнението на Бернули.
Енергийни характеристики на течността. Общата енергийна характеристика на течността е нейното хидродинамично налягане.
От физическа гледна точка това е съотношението на количеството механична енергия към количеството тегло на течността, която притежава тази енергия. Следователно хидродинамичното налягане трябва да се разбира като енергия на единица тегло на течност. А за идеална течност тази стойност е постоянна по нейната дължина. По този начин физическият смисъл на уравнението на Бернули е закон за запазване на енергията за движеща се течност .
Тук от енергийна гледна точка (в енергийни единици, J/kg) gz — специфична потенциална енергия на позицията; rР/ — специфична потенциална енергия на налягането; gz + rР/ — специфична потенциална енергия; u 2 /2 — специфична кинетична енергия; И — скорост на елементарен поток от идеална течност.
Умножаване на всички членове на уравнението по специфичното тегло на течността ж , получаваме:
ж z - тегловно налягане, Pa; П — хидродинамично налягане, Pa; иr 2 /2 — динамично налягане Pa; Hg — общо налягане, Pa
Геометрична интерпретация на уравнението на Бернули.
Позицията на всяка течна частица спрямо произволна линия на нулево ниво 0-0 определя се по вертикална координата З . За реални хидравлични системи това може да е нивото, под което не може да изтече течност от дадена хидравлична система. Например нивото на пода на работилница за машинен инструмент или нивото на мазето на къща за домашно водопроводно инсталиране.
Всички членове на уравнението на Бернули имат размерността на дължината и могат да бъдат представени графично.
ценности - нивелационни, пиезометрични и скоростни височини може да се определи за всяка секция на елементарен поток от течност. Географското място на точките, чиито височини са равни, се нарича пиезометрична линия . Ако добавим височини на скоростта, равни на тези височини, получаваме още една извикана линия хидродинамичен или линия за налягане .
От уравнението на Бернули за поток от невисцидна течност (и графиката) следва, че хидродинамичното налягане по дължината на потока е постоянно.
Пълен напорен тръбопровод и неговата конструкция.
Физически смисъл на уравнението на Бернули.
От закона на Бернули следва, че когато напречното сечение на потока намалява, поради увеличаване на скоростта, тоест динамично налягане, статичното налягане намалява. Това е основната причина за ефекта на Магнус. Законът на Бернули е валиден и за ламинарни газови потоци. Феноменът на намаляване на налягането с увеличаване на дебита е в основата на работата на различни видове разходомери (например тръба на Вентури), водни и пароструйни помпи. И последователното прилагане на закона на Бернули доведе до появата на техническа хидромеханична дисциплина - хидравлика.
Законът на Бернули е валиден в чист вид само за течности, чийто вискозитет е нула, т.е. течности, които не се придържат към повърхността на тръбата. Всъщност експериментално е установено, че скоростта на течност върху повърхността на твърдо тяло почти винаги е точно нула (освен в случай на отделяне на струя при някои редки условия).
Законът на Бернули обяснява ефекта на привличането между телата, разположени на границата на поток от движеща се течност (газ). Понякога това привличане може да създаде опасност за безопасността. Например, когато високоскоростният влак Sapsan се движи (скоростта на движение е повече от 200 km/h), хората на платформите са в опасност да бъдат хвърлени под влака паралелен курс: например подобни инциденти се случиха с олимпийския лайнер.
Влиянието на диаграмата на скоростта в канала върху специфичната кинетична енергия на потока. Включването му в уравнението на Бернули.
Кавитация, причини, условия на възникване, мерки за борба с кавитацията. Определяне на възможността за кавитация с помощта на уравнението на Бернули.
Кавитацията е явление, което възниква в течност при високи скорости на течността, т.е. при ниски налягания. Кавитацията е нарушение на непрекъснатостта на течност с образуването на парни и газови мехурчета (кухини), причинено от спадане на статичното налягане на течността под налягането на наситените пари на тази течност при дадена температура.
p2 = pnp = f(t) - условие за възникване на кавитация
Мерки за борба с кавитацията:
Намалена скорост на флуида в тръбопровода;
Намаляване на разликите в диаметрите на тръбопровода;
Повишаване на работното налягане в хидравличните системи (компресиране на резервоари със сгъстен газ);
Монтиране на смукателния отвор на помпата не по-висок от допустимата височина на засмукване (от паспорта на помпата);
Използване на устойчиви на кавитация материали.
Нека напишем уравнението на Бернули за секции 1-1 и 2-2 на реален флуиден поток:
. Оттук 
Правила за прилагане на уравнението на Бернули.
Избираме две секции на потока: 1-1 и 2-2, както и хоризонталната референтна равнина 0-0 и записваме уравнението на Бернули в общ вид.
Равнината за сравнение 0-0 е всяка хоризонтална равнина. За удобство се извършва през центъра на тежестта на една от секциите
Тема 7
Анализ и приложение на уравнението на Бернули
1. Уравнение на непрекъснатост в хидравликата. Консумация.
2. Анализ на уравнението на Бернули.
3. Енергиен смисъл на уравнението на Бернули.
4. Граница на приложимост на уравнението на Бернулиа.
5. Примери за приложение на уравнението на Бернули.
5.1. Вентури разходомер.
5.2. Измерване на скоростта (тръба на Пито).
5.3. Кавитация.
5.4. Формулата на Торичели.
6. Уравнение на непрекъснатост в хидравликата. Консумация.
7.1. Консумация. Уравнение на непрекъснатост в хидравликата
Нека разгледаме постоянния поток между живи секции 1,2 (фиг. 26).
където е живата площ на напречното сечение, е средната скорост в напречното сечение.
През това време през живата секция 2 изтича обем течност
където е площта на живата секция 2, е средната скорост в секция 2.
Тъй като формата на обем 1-2 не се променя с времето, течността е несвиваема, обемът на течността трябва да бъде равен на изтичащия обем.
Следователно можем да пишем
Това уравнение се нарича уравнение на непрекъснатост.
От уравнението за непрекъснатост следва, че
Средните скорости са обратно пропорционални на площите на съответните участъци.
7.2. Анализ на уравнението на Бернули
Нека напишем уравнението на Бернули за стабилно движение на идеална свиваема течност при условие на нейната баротропия () в полето на масовите сили
,
след интегриране имаме
.
За потенциалния поток константата на уравнението на Бернули е постоянна в цялата област на потока. При вихровото движение на идеална течност константата СЪСв интеграла на Бернули запазва постоянна стойност само за дадена вихрова линия, а не за цялото пространство, както в случая на безвъртежен поток.
Уравнението на Бернули е едно от основните в динамиката на течностите, тъй като определя изменението на основните параметри на потока - налягане, скорост и височина на течността.
Нека интегрираме диференциалното уравнение на Бернули за последния участък на потока 1-2
.
Интегралът изразява работата на силите на налягане за преместване на килограм течност от област 1 с налягане Р 1 към зона 2 с натиск Р 2 .
Стойността на интеграла варира в зависимост от типа процес (термодинамичен), който течността извършва, тоест от вида на зависимостта.
Нека разгледаме изобарния процес (фиг. 27)
В изохорен процес
За несвиваем флуид, протичащ без обмен на механична работа с външната среда, получаваме от уравнението на Бернули
,
или умножаване по r
,
или разделяне на rж
,
където константите имат следното физическо значение:
СЪС- обща механична енергия на килограм течност или пълно налягане, ,
Общата механична енергия на маса течност с обем кубичен метър или пълно налягане, или татко ,
- обща механична енергия или пълно наляганев метри колона от дадена течност.
И трите величини имат едно и също физическо значение; на всяка от тях е дадено име пълна глава.
Компонентите на общата механична енергия на течността са най-ясно изобразени и измерени в метри от течния стълб,
ж z,rgz,z- потенциална енергия на позицията на флуида, измерена от произволно избрана хоризонтална равнина на нивелиране, или геометрична глава, 
,
Потенциална енергия на налягането на течността или пиезометрична глава,,
-потенциална енергия на течността или хидростатична глава,,
- кинетична енергия на течността или експрес налягане, .
Пиезометрична глава Рможе да се измери от пълен вакуум р=0или, например, от натиска на околната среда. Абсолютното или излишното налягане трябва да се замести в двете страни на уравненията.
Началната точка за енергията е произволна, но трябва да бъде една и съща за двете страни на уравненията.
7.3. Енергийно значение на уравнението на Бернули
Състои се в установяване на закона за запазване на общата механична енергия на единица маса несвиваем флуид
а) с потенциален поток за всяка точка в пространството,
б) с вихров - само по вихровото течение и елементарното
Този закон понякога се формулира като теорема за три височини.
При дадените условия сумата от три височини - геометрична, пиезометрична и динамична остава непроменена.
В този случай компонентите на общата енергия могат да се преобразуват взаимно.
Трябва да се има предвид, че промяната в кинетичната енергия на несвиваем флуид по протежение на елементарен поток не може да бъде определена произволно: в съответствие с уравнението за непрекъснатост тази промяна се определя еднозначно от промяната в площта на напречното сечение на каналът
Потокът в хоризонтална струя е от голямо практическо значение; той се реализира в дюзите на двигателя. Нека напишем уравнението на Бернули при z= конст
.
И така, увеличаването на скоростта на несвиваем флуид в хоризонтален елементарен поток винаги е придружено от намаляване на налягането, а намаляването на скоростта винаги е придружено от увеличаване на налягането до v= 0. Следователно високоскоростното налягане се използва широко, например за подаване на вода към охладителната система, разбиване на скали и др.
Поради факта, че скоростта на несвиваем флуид може да намалее само поради промяна в площта на напречното сечение, стигаме до важното заключение, че моделът на токовите линии по време на потока на несвиваем флуид еднозначно определя не само промяната в скоростта , но също така и статичното налягане: когато линиите на потока станат по-плътни, налягането намалява, а при разширяване се увеличава. Това правило се използва широко при анализиране на движението на течността и нейното взаимодействие с телата.
7.4. Граница на приложимост на уравненията на непрекъснатостта и Бернули
Когато течността тече през канал при постоянна и при произволно променлива площ 2. Изглежда, че
.
Въпреки това, според уравнението на Бернули при
,
налягане 
ще трябва да вземе стойността минус безкрайност, което няма смисъл: абсолютното налягане не може да бъде по-малко от нула.
По този начин уравненията за непрекъснатост и Бернули са валидни само докато минималното налягане в потока остава по-голямо от нула.
Уравнение на Бернули аз
Уравнение на Бернули
Диференциално уравнение от първи ред от вида: dy/dx + Py = Qy α ,
Където P, Q- дадени непрекъснати функции от х; α -
постоянно число. Въвеждане на нова функция z = y --α+1 B. u. се свежда до линейно диференциално уравнение (Вижте Линейни диференциални уравнения) по отношение на z.бу! е разгледан от Й. Бернули през 1695 г., методът на решение е публикуван от Й. Бернули през 1697 г. основно уравнение на хидродинамиката (виж Хидродинамика) ,
свързващ (за постоянен поток) скоростта на течащия флуид v,налягане в него Ри височина чместоположение на малък обем течност над базовата равнина. бу! е получен от Д. Бернули през 1738 г. за поток от идеална несвиваема течност с постоянна плътност ρ, под въздействието само на гравитацията. В случая Б. ат. има формата: v 2 / 2 + мнρ + gh= const, Където g-ускорение поради гравитацията. Ако това уравнение се умножи по ρ ,
тогава първият член ще представлява кинетичната енергия на единица обем течност, а другите 2 члена ще представляват неговата потенциална енергия, част от която се дължи на гравитацията (последният член на уравнението), а другата част се дължи на налягане p. бу! в тази форма изразява закона за запазване на енергията. Ако енергията от един вид, например кинетична, се увеличава по протежение на поток от течност, тогава потенциалната енергия намалява със същото количество. Следователно, например, когато потокът, протичащ през тръбопровод, се стеснява, когато скоростта на потока се увеличава (тъй като същото количество течност преминава през по-малко напречно сечение за същото време, както през по-голямо напречно сечение), налягането в него намалява съответно (това се основава на принципа на работа на разходомера на Вентури). От B. u. Следват редица важни последствия. Например, когато течност изтича от отворен съд под въздействието на гравитацията ( ориз. 1
) от Б. при. следва: v 2 /2g = h или т.е. скоростта на течността в изхода е същата като когато течните частици свободно падат от височина ч. Ако има равномерен поток от течност, чиято скорост е v 0 и налягането p 0 ,
среща препятствие по пътя си ( ориз. 2
), тогава непосредствено пред препятствието има резервно копие - забавяне на потока; в центъра на зоната на обратната вода, в критичната точка, скоростта на потока е нула. От B. u. следва, че налягането в критичната точка стр 1 = стр 0 + ρ v 2 0 /2. Увеличението на налягането в тази точка е равно на стр 1 -стр 0 = ρ v 2 0 /2 се нарича динамично налягане или скоростно налягане. В поток от истинска течност неговата механична енергия не се запазва по протежение на потока, а се изразходва за работата на силите на триене и се разсейва под формата на топлинна енергия, следователно, когато се използва биодинамична течност. За истинска течност е необходимо да се вземат предвид загубите на съпротивление. бу! има голямо значение в хидравликата (виж Хидравлика) и техническата хидродинамика: използва се при изчисленията на тръбопроводи, помпи, при решаване на въпроси, свързани с филтрацията и др. Уравнение на Бернули за среда с променлива плътност Рзаедно с уравнението за неизменност на масата и уравнението на състоянието е в основата на газовата динамика (виж Газова динамика). Лит.:Фабрикант Н.Я., Аеродинамика, части 1-2, Л., 1949-64; Угинчус А. А., Хидравлика, хидравлични машини и основите на селскостопанското водоснабдяване, К.-М., 1957 г., гл. V.
Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .
- (интеграл на Бернули) в хидроаеромеханиката (на името на швейцарския учен Д. Бернули), един от основните. уравнения на хидромеханиката, които по време на стабилно движение на несвиваем идеален флуид в еднородно гравитационно поле има формата: където v... ... Физическа енциклопедия
Свързва скоростта и налягането в потока на идеален несвиваем флуид при постоянен поток. Уравнението на Бернули изразява закона за запазване на енергията на движеща се течност. Широко използван в хидравликата и техническата динамика на флуидите. Изведено от D....... Голям енциклопедичен речник
В аеродинамиката и хидродинамиката, връзка, свързваща газ или хидродинамични променливи по протежение на потока на постоянен баротропен поток на идеална течност или газ в потенциално поле на масови сили F = grad(Π), където (Π) потенциал: (Π) + V2/2 + … Енциклопедия на техниката
Свързва скоростта и налягането в потока на идеален несвиваем флуид при постоянен поток. Уравнението на Бернули изразява закона за запазване на енергията на движеща се течност. Широко използван в хидравликата и техническата динамика на флуидите. Изход...... енциклопедичен речник
Обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред, където. реално число, което не е равно на нула или единица. Това уравнение е разгледано за първи път от Й. Бернули. Чрез заместване на B. u. се свежда до линейно нехомогенно уравнение от 1-ви ред (вижте... ... Математическа енциклопедия
Уравнение на Бернули Енциклопедия "Авиация"
Уравнение на Бернули- в аеро- и хидродинамиката връзка, свързваща газ или хидродинамични променливи по линията на потока на постоянен баротропен [ρ = ρ(p)] поток на идеална течност или газ в потенциално поле на масови сили (F = ‑gradΠ, където Π … … Енциклопедия "Авиация"
- [по името на швейцарците. учен Д. Бернули (1700 1782)] един от осн. уравнение на хидродинамиката, изразяващо закона за запазване на енергията. 1) Б. в. за елементарен (с малко напречно сечение) поток от идеална течност: където p, PO и v са статични... ... Голям енциклопедичен политехнически речник
Свързва скоростта и налягането в потока на идеален несвиваем флуид при постоянен поток. бу! изразява закона за запазване на енергията на движеща се течност. Широко използван в хидравликата и технологиите. хидродинамика. Разработено от Д. Бернули през 1738 г.... Естествени науки. енциклопедичен речник
Уравнение на Бернули, основното уравнение на хидродинамиката, свързващо (за постоянен поток) скоростта на протичащия флуид v, налягането в него p и височината h на местоположението на малък обем флуид над базовата равнина. бу! е разработен от Д. Бернули през... Велика съветска енциклопедия
Диференциалното уравнение y" +a 0 (x)y=b(x)y n се нарича Уравнение на Бернули.
Тъй като при n=0 се получава линейно уравнение, а при n=1 - с разделими променливи, приемаме, че n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделяме двете страни на (1) на y n. Тогава, поставяйки , имаме . Замествайки този израз, получаваме 
, или, което е същото, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Това е линейно уравнение, което можем да решим.
Цел на услугата. За проверка на решението може да се използва онлайн калкулатор Диференциални уравнения на Бернули.
Пример 1. Намерете общото решение на уравнението y" + 2xy = 2xy 3. Това е уравнението на Бернули за n=3. Разделяйки двете страни на уравнението на y 3, получаваме. Направете промяна. Тогава и следователно уравнението се пренаписва като -z " + 4xz = 4x. Решавайки това уравнение чрез метода на вариация на произволна константа, получаваме 
където 
или, което е същото, 
.
Пример 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2
Разделете на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1
Правим замяна:
z=1/y n-1, т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2
Получаваме: -z" + z = -1 или z" - z = 1
Пример 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение чрез уравнението на Бернули.
Нека го представим във формата: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Това е уравнението на Бернули за n=3. Разделяйки двете страни на уравнението на y 3, получаваме: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Правим замяната: z=1/y 2. Тогава z"=-2/y 3 и следователно уравнението се пренаписва във формата: -xz"/2+2z=-x 5 e x. Това е нехомогенно уравнение. Разгледайте съответното хомогенно уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решавайки го, получаваме: z"=4z/x
Интегрирайки, получаваме:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Сега търсим решение на първоначалното уравнение във формата: y(x) = C(x)x 4, y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрирайки, получаваме: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
От условието y(x)=C(x)y, получаваме: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x. Тъй като z=1/y 2, получаваме: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
Голяма част от света около нас се подчинява на законите на физиката. Това не трябва да е изненадващо, защото терминът „физика“ идва от гръцката дума, преведена като „природа“. И един от тези закони, които постоянно работят около нас, е законът на Бернули.
Самият закон действа като следствие от принципа за запазване на енергията. Тази интерпретация ни позволява да дадем ново разбиране на много добре познати преди това явления. За да разберете същността на закона, достатъчно е просто да си спомните течащ поток. Тук тече, тече между камъни, клони и корени. На някои места е направен по-широк, на други е по-тесен. Можете да забележите, че където потокът е по-широк, водата тече по-бавно, а където е по-тесен, водата тече по-бързо. Това е принципът на Бернули, който установява връзката между налягането във флуиден поток и скоростта на движение на такъв поток.
Вярно е, че учебниците по физика го формулират малко по-различно и се отнася до хидродинамиката, а не до течащ поток. В доста популярния Бернули може да се каже по следния начин: налягането на течност, протичаща в тръба, е по-високо, когато нейната скорост е по-ниска, и обратно: където скоростта е по-висока, налягането е по-ниско.
За да потвърдите това, достатъчно е да проведете прост експеримент. Трябва да вземете лист хартия и да духате по него. Хартията ще се издигне нагоре, в посоката, по която минава въздушният поток.
Всичко е много просто. Както казва законът на Бернули, където скоростта е по-висока, налягането е по-ниско. Това означава, че по повърхността на листа, където има по-малко въздушен поток, и в долната част на листа, където няма въздушен поток, налягането е по-голямо. Така че листът се издига в посоката, където налягането е по-малко, т.е. където минава въздушният поток.
Описаният ефект намира широко приложение в бита и техниката. Като пример, помислете за пистолет или аерограф. Те използват две тръби, едната с по-голямо напречно сечение, а другата с по-малко напречно сечение. Този с по-голям диаметър е прикрепен към контейнера с боя, докато този с по-малко напречно сечение пропуска въздух с висока скорост. Поради получената разлика в налягането, боята навлиза във въздушния поток и се пренася от този поток към боядисваната повърхност.
Помпата може да работи на същия принцип. Всъщност описаното по-горе е помпа.
Не по-малко интересен е законът на Бернули, когато се прилага за пресушаване на блата. Както винаги, всичко е много просто. Влажната зона е свързана с канавки с реката. В реката има течение, но не и в блатото. Отново възниква разлика в налягането и реката започва да изсмуква вода от влажната зона. Има чиста демонстрация на действието на закона на физиката.
Въздействието на този ефект може да бъде и разрушително. Например, ако два кораба минават близо един до друг, скоростта на водата между тях ще бъде по-висока, отколкото от другата страна. В резултат на това ще възникне допълнителна сила, която ще дърпа корабите един към друг и бедствието ще бъде неизбежно.
Всичко казано може да се представи под формата на формули, но изобщо не е необходимо да се пишат уравненията на Бернули, за да се разбере физическата същност на това явление.
За по-добро разбиране ще дадем друг пример за използването на описания закон. Всеки си представя ракета. В специална камера горивото изгаря и се образува струйна струя. За ускоряването му се използва специално стеснена секция - дюзата. Тук се получава ускоряване на газовия поток и в резултат на това растеж
Има много повече различни възможности за използване на закона на Бернули в технологиите, но е просто невъзможно да се разгледат всички в рамките на тази статия.
Така е формулиран законът на Бернули, дадено е обяснение на физическата същност на протичащите процеси и са показани възможните приложения на този закон с помощта на примери от природата и техниката.
