Obecně platí, že lineární rovnice má tvar:

Rovnice má řešení: pokud je alespoň jeden z koeficientů neznámých odlišný od nuly. V tomto případě se jakýkoli -rozměrný vektor nazývá řešením rovnice, pokud se při dosazení jeho souřadnic rovnice stane identitou.

Obecná charakteristika řešené soustavy rovnic

Příklad 20.1

Popište soustavu rovnic.

Řešení:

1. Je v tom nějaká protichůdná rovnice?(Pokud koeficienty, v tomto případě má rovnice tvar: a nazývá se kontroverzní.)

• Pokud systém obsahuje něco protichůdného, ​​pak je takový systém nekonzistentní a nemá řešení.

2. Najděte všechny povolené proměnné. (Neznámý se nazývápovoleno pro soustavu rovnic, pokud je zahrnuta v jedné z rovnic soustavy s koeficientem +1, ale není zahrnuta ve zbývajících rovnicích (tj. je zahrnuta s koeficientem rovným nule).

3. Je soustava rovnic vyřešena? (Soustava rovnic se nazývá vyřešená, pokud každá rovnice soustavy obsahuje vyřešenou neznámou, mezi kterými nejsou žádné shodné)

Vytvoří se vyřešené neznámé, z každé rovnice systému jedna úplný soubor vyřešených neznámých systémy. (v našem příkladu je to toto)

Povolené neznámé zahrnuté v kompletní sadě jsou také nazývány základní() a není součástí sady - volný, uvolnit ().

V obecném případě má vyřešená soustava rovnic tvar:

V této fázi je hlavní věcí pochopit, co to je vyřešeno neznámo(zahrnuto v základu a zdarma).

Obecné Konkrétní Základní řešení

Obecné řešení vyřešený systém rovnic je soubor vyjádření vyřešených neznámých prostřednictvím volných členů a volných neznámých:

Soukromé rozhodnutí se nazývá řešení, které se získá z obecného řešení pro konkrétní hodnoty volných proměnných a neznámých.

Základní řešení je konkrétní řešení získané z obecného řešení pro nulové hodnoty volných proměnných.

• Základní řešení (vektor) se nazývá degenerovat, pokud je počet jeho nenulových souřadnic menší než počet povolených neznámých.
• Základní řešení je tzv nedegenerované, pokud je počet jeho nenulových souřadnic roven počtu povolených neznámých systému zahrnutého v kompletní sadě.

Věta (1)

Vyřešený systém rovnic je vždy konzistentní(protože má alespoň jedno řešení); Navíc, pokud systém nemá volné neznámé,(to znamená, že v systému rovnic jsou v základu zahrnuty všechny povolené) pak je to definováno(má unikátní řešení); pokud existuje alespoň jedna volná proměnná, pak systém není definován(má nekonečně mnoho řešení).

Příklad 1. Najděte obecné, základní a libovolné konkrétní řešení soustavy rovnic:

Řešení:

1. Kontrolujeme, zda je systém autorizován?

• Systém je vyřešen (protože každá z rovnic obsahuje vyřešenou neznámou)

2. Do množiny zařazujeme povolené neznámé – z každé rovnice jednu.

3. Obecné řešení zapisujeme podle toho, jaké povolené neznámé jsme do množiny zařadili.

4. Hledání soukromého řešení. Abychom to udělali, zrovnoprávníme volné proměnné, které jsme do množiny nezahrnuli, s libovolnými čísly.

Odpovědět: soukromé řešení(jedna z možností)

5. Nalezení základního řešení. Za tímto účelem srovnáme volné proměnné, které jsme do množiny nezahrnuli, s nulou.

Elementární transformace lineárních rovnic

Systémy lineárních rovnic jsou pomocí elementárních transformací redukovány na ekvivalentní řešené systémy.

Věta (2)

Jestli nějaký vynásobte rovnici soustavy nějakým nenulovým číslem, a zbytek rovnic ponechte beze změny, pak . (to znamená, že pokud vynásobíte levou a pravou stranu rovnice stejným číslem, dostanete rovnici ekvivalentní této)

Věta (3)

Li přidat další do libovolné rovnice soustavy a všechny ostatní rovnice ponechte beze změny dostaneme systém ekvivalentní tomuto. (to znamená, že pokud přidáte dvě rovnice (přičtením jejich levé a pravé strany), dostanete rovnici ekvivalentní datům)

Důsledek vět (2 a 3)

Li přidat další rovnici k rovnici vynásobené určitým číslem a ponechat všechny ostatní rovnice beze změny, pak dostaneme systém ekvivalentní tomuto.

Vzorce pro přepočet systémových koeficientů

Pokud máme soustavu rovnic a chceme ji převést na vyřešenou soustavu rovnic, pomůže nám s tím Jordan-Gaussova metoda.

Jordanova transformace s rozlišovacím prvkem umožňuje získat pro soustavu rovnic vyřešenou neznámou v rovnici s číslem . (příklad 2).

Jordanova transformace se skládá z elementárních transformací dvou typů:

Řekněme, že chceme z neznámé v nižší rovnici udělat vyřešenou neznámou. Abychom to udělali, musíme vydělit , takže součet je .

Příklad 2 Přepočítejme systémové koeficienty

Při dělení rovnice číslem číslem se její koeficienty přepočítají pomocí vzorců:

Chcete-li vyloučit z rovnice s číslem , musíte rovnici s číslem vynásobit a přidat k této rovnici.

Věta (4) O snížení počtu rovnic soustavy.

Pokud soustava rovnic obsahuje triviální rovnici, lze ji ze soustavy vyloučit a získáme soustavu ekvivalentní té původní.

Věta (5) O nekompatibilitě soustavy rovnic.

Pokud soustava rovnic obsahuje nekonzistentní rovnici, pak je nekonzistentní.

Algoritmus Jordan-Gaussovy metody

Algoritmus pro řešení soustav rovnic Jordan-Gaussovou metodou se skládá z řady podobných kroků, z nichž každý se provádí v následujícím pořadí:

1. Zkontroluje, zda systém není konzistentní. Pokud systém obsahuje nekonzistentní rovnici, pak je nekonzistentní.
2. Kontroluje se možnost snížení počtu rovnic. Pokud soustava obsahuje triviální rovnici, je přeškrtnuta.
3. Je-li soustava rovnic vyřešena, zapište obecné řešení soustavy a případně řešení partikulární.
4. Pokud systém není vyřešen, pak v rovnici, která neobsahuje vyřešenou neznámou, se vybere rozlišovací prvek a s tímto prvkem se provede Jordanova transformace.
5. Poté se vraťte k bodu 1

Příklad 3 Řešte soustavu rovnic Jordan-Gaussovou metodou.

Nalézt: dvě obecná a dvě odpovídající základní řešení

Řešení:

Výpočty jsou uvedeny v tabulce níže:

Napravo od tabulky jsou akce s rovnicemi. Šipky označují, ke které rovnici je rovnice s rozlišovacím prvkem přidána, vynásobená vhodným faktorem.

První tři řádky tabulky obsahují koeficienty neznámých a pravé strany původního systému. Výsledky první Jordanovy transformace s rozlišovacím prvkem rovným jedné jsou uvedeny na řádcích 4, 5, 6. Výsledky druhé Jordanovy transformace s rozlišovacím prvkem rovným (-1) jsou uvedeny na řádcích 7, 8, 9 Vzhledem k tomu, že třetí rovnice je triviální, lze ji vynechat.

Uvažujme soustavu m lineárních rovnic obsahujících n proměnných

(1)

Tento systém lze stručně napsat jako:

Nebo v maticovém tvaru: Ax = B.

V úlohách lineárního programování se uvažují nejisté soustavy rovnic, tzn. mající nekonečné množství řešení. Potom hodnost r systémové matice

,
menší než počet proměnných: rn. To znamená, že maximální počet lineárně nezávislých rovnic v (1) je roven r. Budeme předpokládat, že v soustavě (1) je počet lineárně nezávislých rovnic roven m, tzn. r = m. Z algebry je známo, že v tomto případě existuje m proměnných, koeficientů které v systému (1) tvoří matici s nenulovým determinantem. Takový determinant se nazývá základní minor a odpovídající proměnné se nazývají základní. Zbývajících n – m proměnných se nazývá volné proměnné. Základní proměnné lze vyjádřit pomocí volných proměnných pomocí rovnic systému (1), přiřadit libovolné hodnoty volným proměnným a najít hodnoty základních proměnných pomocí Cramerových vzorců. Výsledkem je jedno z řešení systému (1).

Definice 1.Řešení soustavy lineárních rovnic (1), získané s nulovými hodnotami volných proměnných, se nazývá základní řešení.

Základní proměnné, a tedy nenulové složky základního řešení, odpovídají lineárně nezávislým sloupcům matice koeficientů soustavy lineárních rovnic. To nám umožňuje podat jinou definici základního řešení soustavy lineárních rovnic.

Definice 2. Základním řešením soustavy lineárních rovnic je řešení této soustavy, jejíž nenulové složky odpovídají lineárně nezávislým sloupcům matice koeficientů této soustavy.

Základní proměnné mohou být různé skupiny obsahující m proměnných z n proměnných specifikovaných v (1). Maximální možný počet způsobů, jak vybrat m proměnných ze sady obsahující n proměnných, se rovná počtu kombinací . Mohou však nastat případy, kdy je odpovídající determinant matice složené z koeficientů pro vybraných m proměnných v systému (1) roven nule. Počet skupin základních proměnných tedy nepřekračuje . Pro každou skupinu základních proměnných lze nalézt odpovídající základní řešení soustavy (1). Z výše uvedených úvah vyplývá věta:

Teorém. Počet základních řešení neurčité soustavy (1), ve které je hodnost matice soustavyr = m < nnepřesahuje .

Příklad. Najděte všechna základní řešení soustavy rovnic (2):

(2)

Řešení. Je zřejmé, že r=m=2, n=4. Celkový počet skupin základních proměnných není větší než = 6. První, druhý a čtvrtý sloupec koeficientů proměnných v systémové matici jsou však proporcionální, proto jsou determinanty druhého řádu složené z koeficientů libovolných dvou z těchto tří sloupců rovny nule. Zbývající sady:
,
A
.

Pro sadu proměnných
determinant složený z jejich koeficientů d = = –2 0. Tyto proměnné lze tedy považovat za základní proměnné,
- volný, uvolnit. Volným proměnným přiřaďme nulové hodnoty:
Řešíme systém:

(3)
, kde
.

Gaussova metoda má řadu nevýhod: je nemožné zjistit, zda je systém konzistentní nebo ne, dokud nejsou provedeny všechny transformace nutné v Gaussově metodě; Gaussova metoda není vhodná pro systémy s písmenovými koeficienty.

Zvažme další metody řešení soustav lineárních rovnic. Tyto metody využívají koncept matice rank a redukují řešení jakéhokoli konzistentního systému na řešení systému, na který se vztahuje Cramerovo pravidlo.

Příklad 1 Najděte obecné řešení následující soustavy lineárních rovnic pomocí základní soustavy řešení redukované homogenní soustavy a konkrétního řešení nehomogenní soustavy.

1. Tvorba matice A a rozšířená matice systému (1)

2. Prozkoumejte systém (1) pro pospolitost. K tomu najdeme řady matic A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Pokud se ukáže, že , pak systém (1) nekompatibilní. Pokud to dostaneme , pak je tento systém konzistentní a vyřešíme ho. (Studie kompatibility je založena na Kronecker-Capelliho teorému).

A. Shledáváme rA.

Najít rA, budeme uvažovat postupně nenulové nezletilé prvního, druhého atd. řádu matice A a nezletilí kolem nich.

M1=1≠0 (vezmeme 1 z levého horního rohu matice A).

Hraničíme M1 druhý řádek a druhý sloupec této matice. . Pokračujeme k hranici M1 druhý řádek a třetí sloupec..gif" width="37" height="20 src=">. Nyní ohraničíme nenulovou moll M2′ druhá objednávka.

My máme: (protože první dva sloupce jsou stejné)

(protože druhý a třetí řádek jsou proporcionální).

To vidíme rA=2, a je menší základ matice A.

b. Shledáváme.

Docela základní vedlejší M2′ matrice A ohraničení sloupcem volných výrazů a všemi řádky (máme jen poslední řádek).

. Z toho vyplývá, že M3′′ zůstává základní moll matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Protože M2′- menší základ matice A systémy (2) , pak je tento systém ekvivalentní systému (3) , skládající se z prvních dvou rovnic soustavy (2) (pro M2′ je v prvních dvou řádcích matice A).

(3)

Od základního moll https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

V tomto systému jsou dvě volné neznámé ( x2 A x4 ). Proto FSR systémy (4) se skládá ze dvou řešení. Abychom je našli, přiřadíme volné neznámé (4) hodnoty jako první x2=1 , x4=0 , a pak - x2=0 , x4=1 .

Na x2=1 , x4=0 dostaneme:

.

Tento systém již má jediná věc řešení (lze jej nalézt pomocí Cramerova pravidla nebo jakékoli jiné metody). Odečtením první od druhé rovnice dostaneme:

Její řešení bude x1= -1 , x3=0 . Vzhledem k hodnotám x2 A x4 , který jsme přidali, získáme první zásadní řešení systému (2) : .

Nyní věříme (4) x2=0 , x4=1 . Dostaneme:

.

Tento systém řešíme pomocí Cramerovy věty:

.

Získáme druhé základní řešení systému (2) : .

Řešení β1 , β2 a make up FSR systémy (2) . Pak bude jeho obecné řešení

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tady C1 , C2 – libovolné konstanty.

4. Pojďme nějakou najít soukromé řešení heterogenní systém(1) . Jako v odstavci 3 , místo systému (1) Uvažujme ekvivalentní systém (5) , skládající se z prvních dvou rovnic soustavy (1) .

(5)

Posuňme volné neznámé na správné strany x2 A x4.

(6)

Dejme zdarma neznámé x2 A x4 libovolné hodnoty, např. x2=2 , x4=1 a vložte je dovnitř (6) . Pojďme na systém

Tento systém má jedinečné řešení (protože je jeho determinantem M2'0). Jeho vyřešením (pomocí Cramerovy věty nebo Gaussovy metody) získáme x1=3 , x3=3 . Vzhledem k hodnotám volných neznámých x2 A x4 , dostaneme konkrétní řešení nehomogenní soustavy(1)a1=(3,2,3,1).

5. Teď už zbývá jen zapsat obecné řešení α nehomogenní soustavy(1) : rovná se součtu soukromé řešení tento systém a obecné řešení jeho redukovaného homogenního systému (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znamená: (7)

6. Zkouška. Chcete-li zkontrolovat, zda jste systém vyřešili správně (1) , potřebujeme obecné řešení (7) nahradit v (1) . Pokud se každá rovnice změní v identitu ( C1 A C2 musí být zničen), pak je řešení nalezeno správně.

Nahradíme (7) například pouze poslední rovnice soustavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Dostaneme: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kde –1=–1. Máme identitu. Děláme to se všemi ostatními rovnicemi systému (1) .

Komentář. Kontrola je většinou dost těžkopádná. Lze doporučit následující „dílčí kontrolu“: v obecném řešení systému (1) přiřadit nějaké hodnoty libovolným konstantám a výsledné dílčí řešení dosadit pouze do vyřazených rovnic (tj. (1) , které nebyly zahrnuty (5) ). Pokud získáte identity, pak spíše, systémové řešení (1) nalezen správně (taková kontrola však neposkytuje úplnou záruku správnosti!). Například pokud v (7) dát C2=- 1 , C1=1, pak dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosazením do poslední rovnice soustavy (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Máme identitu.

Příklad 2 Najděte obecné řešení soustavy lineárních rovnic (1) , vyjadřující základní neznámé z hlediska volných.

Řešení. Jako v příklad 1, skládat matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> těchto matic. Nyní ponecháme pouze ty rovnice systému (1) , jehož koeficienty jsou zahrnuty v této základní moll (tj. máme první dvě rovnice) a uvažujeme systém z nich složený, ekvivalentní systému (1).

Převeďme volné neznámé na pravou stranu těchto rovnic.

Systém (9) Řešíme Gaussovou metodou, přičemž pravé strany považujeme za volné členy.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Možnost 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Možnost 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Možnost 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Možnost 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Tato online kalkulačka najde obecné řešení systému lineárních rovnic pomocí Jordan-Gaussovy metody. Je uvedeno podrobné řešení. Pro výpočet vyberte počet rovnic a počet proměnných. Poté zadejte data do buněk a klikněte na tlačítko "Vypočítat".

Níže naleznete teoretickou část hledání řešení soustavy lineárních rovnic Jordan-Gaussovou metodou.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Zobrazení čísel:

Celá čísla a/nebo běžné zlomky
Celá čísla a/nebo desetinná místa

Počet míst za oddělovačem desetinných míst

×

Varování

Vymazat všechny buňky?

Zavřít Vymazat

Pokyny pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná místa (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek musí být zadán ve tvaru a/b, kde aab (b>0) jsou celá čísla nebo desetinná místa. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.

Jordan-Gaussova metoda

Jordan-Gaussova metoda je metoda řešení soustav lineárních rovnic a také metoda hledání inverzní matice. Tato metoda je modifikací Gaussovy metody.

První fáze Jordan-Gaussovy metody je podobná Gaussově metodě (přímý Gaussův pohyb), kterou si můžete podrobně prohlédnout na stránce "Gaussova metoda online". Druhá fáze (reverzní) Jordan-Gaussovy metody spočívá ve vynulování všech prvků matice koeficientů soustavy lineárních rovnic nad vedoucími prvky. Všimněte si, že zde uvažujeme libovolný systém lineárních rovnic, kde počet proměnných nemusí být roven počtu omezení.

Zvažte následující systém lineárních rovnic:

(1)

Zapišme systém (1) v maticovém tvaru:

Sekera=b

(2)

(3)

A- nazývá se matice koeficientů systému, b− pravá strana omezení, X− vektor proměnných, které mají být nalezeny. Nechat pořadí ( A)=p.

Vytvořme rozšířenou matici systému:

Jestliže se ,..., rovnají nule, pak systém lineárních rovnic má řešení, ale pokud je alespoň jedno z těchto čísel odlišné od nuly, pak je systém nekonzistentní. Jinými slovy, systém (2) je konzistentní tehdy a pouze tehdy, když je hodnost matice A rovná se hodnosti rozšířené matice ( A|b).

Nechat . Potom v opačném pořadí, počínaje vedoucím prvkem, aplikujeme zpětný Gaussův pohyb. Podstatou zpětného pohybu je resetování všech prvků rozšířené matice, které jsou vyšší než přední prvky.

Obnovme tedy všechny prvky ve sloupci p, nad prvkem. Od ≠0 přidáváme řádky 1,2,... p− 1 s čárou p, násobeno respektive.

Rozšířená matice bude mít následující podobu:

Vydělte každý řádek jeho odpovídajícím prokladovým prvkem (pokud existuje):

Potom lze řešení zapsat takto:

Typ maticového záznamu: Sekera=b, Kde

Označme podle a ij Prvky i-tý řádek a j sloupec.

První etapa. Gaussův pohyb vpřed

A jedenáct . Chcete-li to provést, přidejte řádky 2,3 s řádkem 1, vynásobené 1/2,-3/2, v tomto pořadí:

Vynechme prvky 3. sloupce matice nad prvkem A 33. Chcete-li to provést, přidejte řádky 1, 2 s řádkem 3, vynásobené -3/2, -5/4:

Každý řádek matice rozdělíme odpovídajícím vodicím prvkem (pokud vodicí prvek existuje):

Typ maticového záznamu: Sekera=b, Kde

Označme podle a ij Prvky i-tý řádek a j sloupec.

První etapa. Přímý Gaussův pohyb.

Vynechme prvky 1. sloupce matice pod prvkem A jedenáct . Chcete-li to provést, přidejte řádky 2, 3 s řádkem 1 vynásobeným 4/3, 5/3:

Druhá fáze. Gaussův obrat

Vynechme prvky 2. sloupce matice nad prvkem A 22. Chcete-li to provést, přidejte řádek 1 k řádku 2 vynásobenému -3/10:

Vyjádřeme proměnné X 1 , X 2 vzhledem k ostatním proměnným.

Pak může být vektorové řešení reprezentováno následovně:

,

X 3 je libovolné reálné číslo.

Kde X* - jedno z řešení nehomogenního systému (2) (například (4)), (E-A+A) tvoří jádro (nulový prostor) matice A.

Udělejme skeletální rozklad matrice (E-A+A):

E-A + A=Q·S

Kde Q n×n−r- hodnostní matice (Q)=n−r, S n−r×n- hodnostní matice (S)=n−r.

Potom (13) může být zapsán v následujícím tvaru:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Kde k=Sz.

Tak, postup při hledání obecného řešení soustavy lineárních rovnic využívající pseudoinverzní matici lze reprezentovat v následujícím tvaru:

1. Výpočet pseudoinverzní matice A + .
2. Vypočítáme konkrétní řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic (2): X*=A + b.
3. Kontrolujeme kompatibilitu systému. K tomu počítáme A.A. + b. Li A.A. + b≠b, pak je systém nekonzistentní. V opačném případě pokračujeme v postupu.
4. Pojďme na to přijít E-A+A.
5. Dělá rozklad kostry E-A + A=Q·S.
6. Budování řešení

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Řešení soustavy lineárních rovnic online

Online kalkulačka vám umožní najít obecné řešení systému lineárních rovnic s podrobným vysvětlením.