Diskrétní náhodný Proměnné jsou náhodné proměnné, které nabývají pouze hodnot, které jsou od sebe vzdálené a které mohou být uvedeny předem.
Zákon rozdělování
Distribuční zákon náhodné veličiny je vztah, který vytváří spojení mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi.
Distribuční řada diskrétní náhodné proměnné je seznam jejích možných hodnot a odpovídajících pravděpodobností.
Distribuční funkcí diskrétní náhodné veličiny je funkce:
,
určení pro každou hodnotu argumentu x pravděpodobnost, že náhodná proměnná X bude mít hodnotu menší než toto x.

Očekávání diskrétní náhodné veličiny
,
kde je hodnota diskrétní náhodné proměnné; - pravděpodobnost náhodné proměnné přijímající hodnoty X.
Pokud náhodná proměnná nabývá spočitatelnou sadu možných hodnot, pak:
.
Matematické očekávání počtu výskytů události v n nezávislých pokusech:
,

Disperze a směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny
Disperze diskrétní náhodné veličiny:
nebo .
Rozptyl počtu výskytů události v n nezávislých studiích
,
kde p je pravděpodobnost výskytu události.
Směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny:
.

Příklad 1
Sestavte zákon rozdělení pravděpodobnosti pro diskrétní náhodnou veličinu (DRV) X – počet k výskytů alespoň jedné „šestky“ v n = 8 hodech párem kostkou. Sestrojte distribuční polygon. Najděte číselné charakteristiky rozdělení (modus rozdělení, matematické očekávání M(X), disperze D(X), směrodatná odchylka s(X)). Řešení: Představme si zápis: událost A – „při hodu kostkou se alespoň jednou objeví šestka“. Pro zjištění pravděpodobnosti P(A) = p jevu A je vhodnější nejprve najít pravděpodobnost P(Ā) = q opačného jevu Ā - „při hodu kostkou se šestka nikdy neobjevila“.
Protože pravděpodobnost, že se „šestka“ neobjeví při hodu jednou kostkou, je 5/6, pak podle věty o násobení pravděpodobnosti
P(Ā) = q = = .
resp.
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testy v problému se řídí Bernoulliho schématem, takže d.s.v. velikost X- číslo k výskyt alespoň jedné šestky při hodu dvěma kostkami se řídí binomickým zákonem rozdělení pravděpodobnosti:

kde = je počet kombinací n Podle k.

Výpočty provedené pro tento problém lze pohodlně prezentovat ve formě tabulky:
Distribuce pravděpodobnosti d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Polygon (polygon) rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X zobrazeno na obrázku:

Rýže. Polygon rozdělení pravděpodobnosti d.s.v. X=k.
Svislá čára ukazuje matematické očekávání rozdělení M(X).

Najděte číselné charakteristiky rozdělení pravděpodobnosti d.s.v. X. Režim distribuce je 2 (zde P 8(2) = maximum 0,2932). Matematické očekávání se podle definice rovná:
M(X) = = 2,4444,
Kde xk = k– hodnota přijatá d.s.v. X. Rozptyl D(X) najdeme rozdělení pomocí vzorce:
D(X) = = 4,8097.
Směrodatná odchylka (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Příklad2
Diskrétní náhodná veličina X dáno zákonem rozdělování

Najděte distribuční funkci F(x) a vykreslete ji.

Řešení. If , then (třetí vlastnost).
Pokud, tak. Opravdu, X může nabývat hodnoty 1 s pravděpodobností 0,3.
Pokud, tak. Pokud skutečně vyhoví nerovnosti
, pak se rovná pravděpodobnosti události, která může nastat, když X bude mít hodnotu 1 (pravděpodobnost této události je 0,3) nebo hodnotu 4 (pravděpodobnost této události je 0,1). Protože tyto dva jevy jsou neslučitelné, pak podle věty o sčítání je pravděpodobnost jevu rovna součtu pravděpodobností 0,3 + 0,1 = 0,4. Pokud, tak. Událost je skutečně jistá, její pravděpodobnost je tedy rovna jedné. Takže distribuční funkci lze zapsat analyticky takto:

Graf této funkce:
Najděte pravděpodobnosti odpovídající těmto hodnotám. Podle podmínek jsou pravděpodobnosti selhání zařízení stejné: pak jsou stejné pravděpodobnosti, že zařízení budou fungovat během záruční doby:




Distribuční zákon má podobu:

V aplikacích teorie pravděpodobnosti mají kvantitativní charakteristiky experimentu primární význam. Veličina, kterou lze kvantitativně určit a která v důsledku experimentu může nabývat různých hodnot v závislosti na případu, se nazývá náhodná proměnná.

Příklady náhodných proměnných:

1. Kolikrát se objeví sudý počet bodů v deseti hodech kostkou.

2. Počet zásahů do terče střelcem, který vypálí sérii výstřelů.

3. Počet úlomků explodujícího náboje.

V každém z uvedených příkladů může náhodná proměnná nabývat pouze izolovaných hodnot, tedy hodnot, které lze očíslovat pomocí přirozené řady čísel.

Taková náhodná veličina, jejíž možné hodnoty jsou jednotlivá izolovaná čísla, které tato proměnná nabývá s určitou pravděpodobností, se nazývá oddělený.

Počet možných hodnot diskrétní náhodné proměnné může být konečný nebo nekonečný (spočetný).

Zákon rozdělování Diskrétní náhodná proměnná je seznam jejích možných hodnot a jejich odpovídajících pravděpodobností. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny lze specifikovat ve formě tabulky (řady rozdělení pravděpodobnosti), analyticky a graficky (polygon rozdělení pravděpodobnosti).

Při provádění experimentu je nutné hodnotit studovanou hodnotu „v průměru“. Roli průměrné hodnoty náhodné veličiny hraje číselná charakteristika tzv matematické očekávání, který je určen vzorcem

Kde X 1 , X 2 ,.. , X n– náhodné proměnné hodnoty X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– pravděpodobnosti těchto hodnot (všimněte si, že p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Příklad. Střelba se provádí na cíl (obr. 11).

Zásah v I dává tři body, v II – dva body, ve III – jeden bod. Počet bodů dosažených v jedné střele jedním střelcem má zákon rozdělení tvaru

Pro srovnání dovednosti střelců stačí porovnat průměrné hodnoty dosažených bodů, tzn. matematická očekávání M(X) A M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Druhý střelec dává v průměru o něco vyšší počet bodů, tzn. při opakovaném vystřelování poskytne lepší výsledky.

Všimněme si vlastností matematického očekávání:

1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě:

M(C) = C.

2. Matematické očekávání součtu náhodných veličin se rovná součtu matematických očekávání členů:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Matematické očekávání součinu vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu matematických očekávání faktorů

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Matematická negace binomického rozdělení je rovna součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti události, která nastane v jednom pokusu (úloha 4.6).

M(X) = pr.

Posoudit, jak se náhodná veličina „v průměru“ odchyluje od svého matematického očekávání, tzn. Aby bylo možné charakterizovat šíření hodnot náhodné veličiny v teorii pravděpodobnosti, používá se koncept disperze.

Rozptyl náhodná proměnná X se nazývá matematické očekávání druhé mocniny odchylky:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Disperze je numerická charakteristika disperze náhodné veličiny. Z definice je zřejmé, že čím menší je rozptyl náhodné veličiny, tím blíže se její možné hodnoty nacházejí kolem matematického očekávání, to znamená, že čím lépe jsou hodnoty náhodné veličiny charakterizovány jejím matematickým očekáváním. .

Z definice vyplývá, že rozptyl lze vypočítat pomocí vzorce

.

Je vhodné vypočítat rozptyl pomocí jiného vzorce:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Disperze má následující vlastnosti:

1. Rozptyl konstanty je nulový:

D(C) = 0.

2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka disperze jeho umocněním:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Rozptyl součtu nezávislých náhodných veličin se rovná součtu rozptylu členů:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Rozptyl binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu a nevyskytnutí události v jednom pokusu:

D(X) = npq.

V teorii pravděpodobnosti se často používá numerická charakteristika rovna odmocnině rozptylu náhodné veličiny. Tato číselná charakteristika se nazývá střední kvadratická odchylka a je označena symbolem

.

Charakterizuje přibližnou velikost odchylky náhodné veličiny od její průměrné hodnoty a má stejný rozměr jako náhodná veličina.

4.1. Střelec vypálí tři rány na cíl. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu je 0,3.

Sestavte distribuční řadu pro počet zásahů.

Řešení. Počet zásahů je diskrétní náhodná proměnná X. Každá hodnota X n náhodná proměnná X odpovídá určité pravděpodobnosti P n .

Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny v tomto případě může být specifikován blízko distribuce.

V tomto problému X nabývá hodnot 0, 1, 2, 3. Podle Bernoulliho vzorce

,

Pojďme najít pravděpodobnosti možných hodnot náhodné veličiny:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Uspořádáním hodnot náhodné proměnné X v rostoucím pořadí získáme distribuční řadu:

X n

Všimněte si, že částka

znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít alespoň jednu hodnotu z možných, a proto je tato událost spolehlivá

.

4.2 .Urna obsahuje čtyři míčky s čísly od 1 do 4. Vyjmou se dva míčky. Náhodná hodnota X– součet čísel koulí. Sestrojte distribuční řadu náhodné veličiny X.

Řešení. Náhodné proměnné hodnoty X jsou 3, 4, 5, 6, 7. Pojďme najít odpovídající pravděpodobnosti. Hodnota náhodné proměnné 3 X lze akceptovat pouze v případě, že jeden z vybraných míčků má číslo 1 a druhý 2. Počet možných výsledků testu se rovná počtu kombinací čtyři (počet možných párů míčků) dvou.

Pomocí klasického pravděpodobnostního vzorce dostaneme

Rovněž,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Součet 5 se může objevit ve dvou případech: 1 + 4 a 2 + 3, takže

.

X má tvar:

Najděte distribuční funkci F(X) náhodná proměnná X a naplánovat to. Vypočítat pro X jeho matematické očekávání a rozptyl.

Řešení. Distribuční zákon náhodné veličiny může být specifikován distribuční funkcí

F(X) =P(X X).

Distribuční funkce F(X) je neklesající, zleva spojitá funkce definovaná na celé číselné ose, zatímco

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Pro diskrétní náhodnou veličinu je tato funkce vyjádřena vzorcem

.

Proto v tomto případě

Graf distribuční funkce F(X) je stupňovitá čára (obr. 12)

	F(X)

Očekávaná hodnotaM(X) je vážený aritmetický průměr hodnot X 1 , X 2 ,……X n náhodná proměnná X s váhami ρ 1, ρ 2, …… , ρ n a nazývá se střední hodnota náhodné veličiny X. Podle vzorce

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Disperze charakterizuje stupeň rozptylu hodnot náhodné veličiny od její průměrné hodnoty a je označen D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Pro diskrétní náhodnou veličinu má rozptyl tvar

nebo jej lze vypočítat pomocí vzorce

Dosazením číselných dat problému do vzorce dostaneme:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dvěma kostkami se hází dvakrát současně. Napište binomický zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X- počet výskytů sudého celkového počtu bodů na dvou kostkách.

Řešení. Představme si náhodnou událost

A= (dvě kostky jedním hodem vedly k celkovému sudému počtu bodů).

Pomocí klasické definice pravděpodobnosti najdeme

R(A)= ,

Kde n - počet možných výsledků testu je zjištěn pravidlem

násobení:

n = 6∙6 =36,

m - počet lidí, kteří akci podporují A výsledky - stejné

m= 3∙6=18.

Pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu tedy je

ρ = P(A)= 1/2.

Problém je řešen pomocí Bernoulliho testovacího schématu. Jednou z výzev by zde bylo hodit jednou dvěma kostkami. Počet takových testů n = 2. Náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2 s pravděpodobnostmi

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Požadované binomické rozdělení náhodné veličiny X lze reprezentovat jako distribuční řadu:

X n
ρ n

4.5 . V dávce šesti dílů jsou čtyři standardní. Náhodně byly vybrány tři části. Sestrojte rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X– počet normalizovaných částí mezi vybranými a najít jejich matematické očekávání.

Řešení. Náhodné proměnné hodnoty X jsou čísla 0,1,2,3. To je jasné R(X=0)=0, protože existují pouze dvě nestandardní části.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Zákon rozdělení náhodné veličiny X Pojďme si to představit ve formě distribuční série:

X n
ρ n

Očekávaná hodnota

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Dokažte, že matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny X- počet výskytů události A PROTI n nezávislé pokusy, ve kterých je pravděpodobnost výskytu události rovna ρ – rovná se součinu počtu pokusů pravděpodobností výskytu jevu v jednom pokusu, to znamená dokázat, že matematické očekávání binomického rozdělení

M(X) =n . ρ ,

a disperze

D(X) =n.p. .

Řešení. Náhodná hodnota X může nabývat hodnot 0, 1, 2..., n. Pravděpodobnost R(X= k) se zjistí pomocí Bernoulliho vzorce:

R(X=k)= R n(k)= ρ Na (1-ρ ) n- Na

Distribuční řady náhodné veličiny X má tvar:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Kde q= 1- ρ .

Pro matematické očekávání máme výraz:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

V případě jednoho testu, tedy s n = 1 pro náhodnou veličinu X 1 – počet výskytů události A- distribuční řada má tvar:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Li X k – počet výskytů události A v jakém testu tedy R(X Na)= ρ A

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Odtud se dostáváme

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Oddělení kontroly kvality kontroluje standardnost výrobků. Pravděpodobnost, že je výrobek standardní, je 0,9. Každá šarže obsahuje 5 produktů. Najděte matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny X- počet šarží, z nichž každá bude obsahovat 4 standardní produkty - pokud podléhá kontrole 50 šarží.

Řešení. Pravděpodobnost, že v každé náhodně vybrané šarži budou 4 standardní produkty, je konstantní; označme to tím ρ .Poté matematické očekávání náhodné veličiny X rovná se M(X)= 50∙ρ.

Pojďme najít pravděpodobnost ρ podle Bernoulliho vzorce:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Hodí se tři kostky. Najděte matematické očekávání součtu spadlých bodů.

Řešení. Můžete najít rozdělení náhodné veličiny X- součet shozených bodů a následně jeho matematické očekávání. Tato cesta je však příliš těžkopádná. Jednodušší je použít jinou techniku, reprezentující náhodnou veličinu X, jehož matematické očekávání je potřeba vypočítat ve formě součtu několika jednodušších náhodných veličin, jejichž matematické očekávání je snazší vypočítat. Pokud náhodná veličina X i je počet shozených bodů i– kosti ( i= 1, 2, 3), pak součet bodů X bude vyjádřen ve tvaru

X = X 1 + X 2 + X 3 .

K výpočtu matematického očekávání původní náhodné veličiny zbývá pouze použít vlastnost matematického očekávání

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

To je zřejmé

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Proto matematické očekávání náhodné veličiny X i vypadá jako

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Určete matematické očekávání počtu zařízení, která selhala během testování, pokud:

a) pravděpodobnost poruchy u všech zařízení je stejná R a počet testovaných zařízení je roven n;

b) pravděpodobnost selhání pro i – zařízení se rovná p i , i= 1, 2, … , n.

Řešení. Nechť náhodnou veličinu X je pak počet vadných zařízení

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

To je jasné

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 + P 2 + … + P n .

V případě „a“ je pravděpodobnost selhání zařízení stejná, tzn

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Tuto odpověď lze získat okamžitě, pokud si všimneme, že náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry ( n, p).

4.10. Dvě kostky jsou vrženy současně dvakrát. Napište binomický zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X - počet hodů sudým počtem bodů na dvou kostkách.

Řešení. Nechat

A=(házení sudým číslem na první kostce),

B =(házení sudým číslem na druhé kostce).

Získání sudého čísla na obou kostkách jedním hodem je vyjádřeno součinem AB. Pak

R (AB) = R(A)∙R(V) =
.

Výsledek druhého hodu dvěma kostkami nezávisí na prvním, takže platí Bernoulliho vzorec kdy

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Náhodná hodnota X může nabývat hodnot 0, 1, 2 , jehož pravděpodobnost lze zjistit pomocí Bernoulliho vzorce:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Distribuční řady náhodné veličiny X:

4.11. Zařízení se skládá z velkého počtu nezávisle pracujících prvků se stejnou velmi malou pravděpodobností selhání každého prvku v čase t. Najděte průměrný počet odmítnutí v průběhu času t prvků, pokud pravděpodobnost, že alespoň jeden prvek během této doby selže, je 0,98.

Řešení. Počet lidí, kteří v průběhu času odmítli t prvky – náhodná veličina X, který je rozdělen podle Poissonova zákona, jelikož počet prvků je velký, prvky pracují nezávisle a pravděpodobnost selhání každého prvku je malá. Průměrný počet výskytů události v n testy se rovnají

M(X) = n.p..

Od pravděpodobnosti selhání NA prvky z n vyjádřeno vzorcem

R n (NA)
,

kde  = n.p., pak pravděpodobnost, že během doby neselže ani jeden prvek t dostaneme se na K = 0:

R n (0)= e -  .

Pravděpodobnost opačné události je tedy v čase t alespoň jeden prvek selže – rovná se 1 - e -  . Podle podmínek úlohy je tato pravděpodobnost 0,98. Z rov.

1 - E -  = 0,98,

E -  = 1 – 0,98 = 0,02,

odtud  = -Ln 0,02  4.

Takže časem t provozu zařízení selžou v průměru 4 prvky.

4.12 . Kostkami se hází, dokud nepadne „dvojka“. Najděte průměrný počet hodů.

Řešení. Zavedeme náhodnou veličinu X– počet testů, které musí být provedeny, dokud nenastane událost, která nás zajímá. Pravděpodobnost, že X= 1 se rovná pravděpodobnosti, že při jednom hodu kostkou se objeví „dvojka“, tzn.

R(X= 1) = 1/6.

událost X= 2 znamená, že při prvním testu „dvojka“ nevypadla, ale při druhém ano. Pravděpodobnost události X= 2 se najde podle pravidla násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Rovněž,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

atd. Získáme řadu rozdělení pravděpodobnosti:

					(5/6) Na ∙1/6

Průměrný počet hodů (pokusů) je matematické očekávání

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + NA (5/6) NA -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + NA (5/6) NA -1 + …)

Pojďme najít součet řady:

NAG NA -1 = (G NA) G 
.

Proto,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Musíte tedy provést průměrně 6 hodů kostkou, dokud nepadne „dvojka“.

4.13. Nezávislé testy se provádějí se stejnou pravděpodobností výskytu události A v každém testu. Najděte pravděpodobnost, že událost nastane A, jestliže rozptyl počtu výskytů události ve třech nezávislých studiích je 0,63 .

Řešení. Počet výskytů události ve třech studiích je náhodná proměnná X, rozdělené podle binomického zákona. Rozptyl počtu výskytů události v nezávislých pokusech (se stejnou pravděpodobností výskytu události v každém pokusu) se rovná součinu počtu pokusů pravděpodobností výskytu a nevyskytnutí události (problém 4.6)

D(X) = npq.

Podle stavu n = 3, D(X) = 0,63, takže můžete R najít z rovnice

0,63 = 3∙R(1-R),

která má dvě řešení R 1 = 0,7 a R 2 = 0,3.

Oddělený nazývaná náhodná proměnná, která může s určitou pravděpodobností nabývat samostatných izolovaných hodnot.

PŘÍKLAD 1. Kolikrát se erb objeví ve třech hodech mincí. Možné hodnoty: 0, 1, 2, 3, jejich pravděpodobnosti jsou stejné:

P(0) =; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

PŘÍKLAD 2. Počet vadných prvků v zařízení sestávajícím z pěti prvků. Možné hodnoty: 0, 1, 2, 3, 4, 5; jejich pravděpodobnosti závisí na spolehlivosti každého prvku.

Diskrétní náhodná veličina X může být dáno distribuční řadou nebo distribuční funkcí (zákon integrálního rozdělení).

Blízko distribuce je množina všech možných hodnot Xi a jejich odpovídající pravděpodobnosti Ri = P(X = xi), lze to zadat jako tabulku:

x i				x n
p i				р n

V tomto případě pravděpodobnosti Ri splnit podmínku

Ri= 1 protože

kde je počet možných hodnot n může být konečný nebo nekonečný.

Grafické znázornění distribuční řady nazývaný distribuční polygon . Pro jeho konstrukci jsou možné hodnoty náhodné proměnné ( Xi) jsou vyneseny podél osy x a pravděpodobnosti Ri- podél svislé osy; body Ai se souřadnicemi ( Xi,рi) jsou spojeny přerušovanými čarami.

Distribuční funkce náhodná proměnná X tzv. funkce F(X), jehož hodnota v bodě X se rovná pravděpodobnosti, že náhodná veličina X bude nižší než tato hodnota X, to je

F(x) = P(X< х).

Funkce F(X) Pro diskrétní náhodná veličina vypočítané podle vzorce

F(X) = Ri , (1.10.1)

kde se sčítání provádí přes všechny hodnoty i, pro který Xi< х.

PŘÍKLAD 3. Z šarže obsahující 100 výrobků, z nichž je 10 vadných, je náhodně vybráno pět výrobků pro kontrolu jejich kvality. Sestrojte řadu rozdělení náhodného čísla X vadné výrobky obsažené ve vzorku.

Řešení. Protože ve vzorku může být počet vadných výrobků libovolné celé číslo v rozmezí od 0 do 5 včetně, pak možné hodnoty Xi náhodná proměnná X jsou rovny:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Pravděpodobnost R(X = k) že vzorek přesně obsahuje k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) vadné produkty, rovná se

P (X = k) =.

V důsledku výpočtů pomocí tohoto vzorce s přesností 0,001 získáme:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Použití rovnosti ke kontrole Rk=1, dbáme na správné provedení výpočtů a zaokrouhlení (viz tabulka).

x i
p i

PŘÍKLAD 4. Je dána distribuční řada náhodné veličiny X :

x i
p i

Najděte funkci rozdělení pravděpodobnosti F(X) této náhodné veličiny a sestrojte ji.

Řešení. Li X pak 10 liber F(X)= P(X<X) = 0;

pokud 10<X pak 20 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

pokud 20<X pak 30 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

pokud 30<X pak 40 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

pokud 40<X pak 50 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Li X tak > 50 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

ZÁKON O ROZDĚLENÍ A CHARAKTERISTIKY

NÁHODNÉ PROMĚNNÉ

Náhodné veličiny, jejich klasifikace a metody popisu.

Náhodná veličina je veličina, která v důsledku experimentu může nabývat té či oné hodnoty, ale která není předem známa. Pro náhodnou proměnnou tedy můžete zadat pouze hodnoty, z nichž jednu bude určitě nabývat jako výsledek experimentu. V následujícím budeme tyto hodnoty nazývat možné hodnoty náhodné proměnné. Protože náhodná veličina kvantitativně charakterizuje náhodný výsledek experimentu, lze ji považovat za kvantitativní charakteristiku náhodné události.

Náhodné proměnné se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy, například X..Y..Z, a jejich možné hodnoty odpovídajícími malými písmeny.

Existují tři typy náhodných proměnných:

Oddělený; Kontinuální; Smíšený.

Oddělený je náhodná veličina, jejíž počet možných hodnot tvoří spočetnou množinu. Množina, jejíž prvky lze očíslovat, se zase nazývá spočetná. Slovo „diskrétní“ pochází z latinského discretus, což znamená „nesouvislý, skládající se z oddělených částí“.

Příklad 1. Diskrétní náhodná veličina je počet vadných dílů X v dávce nproduktů. Ve skutečnosti jsou možné hodnoty této náhodné proměnné série celých čísel od 0 do n.

Příklad 2. Diskrétní náhodná veličina je počet výstřelů před prvním zásahem do cíle. Zde, stejně jako v příkladu 1, lze možné hodnoty očíslovat, i když v omezujícím případě je možná hodnota nekonečně velké číslo.

Kontinuální je náhodná veličina, jejíž možné hodnoty plynule vyplňují určitý interval číselné osy, někdy nazývaný interval existence této náhodné veličiny. V jakémkoli konečném intervalu existence je tedy počet možných hodnot spojité náhodné proměnné nekonečně velký.

Příklad 3. Spojitá náhodná veličina je měsíční spotřeba elektřiny podniku.

Příklad 4. Spojitá náhodná veličina je chyba měření výšky pomocí výškoměru. Z principu činnosti výškoměru je zřejmé, že chyba leží v rozsahu od 0 do 2 m, interval existence této náhodné veličiny je tedy interval od 0 do 2 m.

Zákon rozdělení náhodných veličin.

Náhodná veličina je považována za zcela specifikovanou, pokud jsou její možné hodnoty uvedeny na číselné ose a je stanoven distribuční zákon.

Zákon rozdělení náhodné veličiny je vztah, který vytváří spojení mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a odpovídajícími pravděpodobnostmi.

Říká se, že náhodná veličina je rozdělena podle daného zákona nebo podléhá danému zákonu rozdělení. Jako distribuční zákony se používá řada pravděpodobností, distribuční funkce, hustota pravděpodobnosti a charakteristická funkce.

Distribuční zákon poskytuje úplný pravděpodobný popis náhodné veličiny. Podle distribučního zákona lze před experimentem posoudit, které možné hodnoty náhodné veličiny se budou objevovat častěji a které méně často.

Pro diskrétní náhodnou veličinu lze distribuční zákon specifikovat ve formě tabulky, analyticky (ve formě vzorce) a graficky.

Nejjednodušší formou upřesnění distribučního zákona diskrétní náhodné veličiny je tabulka (matice), která uvádí vzestupně všechny možné hodnoty náhodné veličiny a jim odpovídající pravděpodobnosti, tzn.

Taková tabulka se nazývá distribuční řada diskrétní náhodné veličiny. 1

Události X 1, X 2,..., X n, spočívající v tom, že v důsledku testu náhodná veličina X nabude hodnot x 1, x 2,... x n, resp. nekonzistentní a jediné možné (protože tabulka uvádí všechny možné hodnoty náhodné veličiny), tzn. vytvořit kompletní skupinu. Součet jejich pravděpodobností je tedy roven 1. Tedy pro libovolnou diskrétní náhodnou veličinu

(Tato jednotka je nějakým způsobem rozdělena mezi hodnoty náhodné proměnné, odtud termín „distribuce“).

Distribuční řadu lze znázornit graficky, pokud jsou hodnoty náhodné veličiny vyneseny podél osy x a jejich odpovídající pravděpodobnosti jsou vyneseny podél osy pořadnice. Spojení získaných bodů tvoří lomenou čáru, nazývanou polygon nebo polygon rozdělení pravděpodobnosti (obr. 1).

Příklad Loterie obsahuje: auto v hodnotě 5 000 denů. jednotky, 4 TV v ceně 250 den. jednotek, 5 videorekordérů v hodnotě 200 den. Jednotky Celkem je prodáno 1000 vstupenek na 7 dní. Jednotky Vypracujte zákon o rozdělení čisté výhry, kterou obdrží účastník loterie, který si zakoupil jeden tiket.

Řešení. Možné hodnoty náhodné veličiny X - čisté výhry na tiket - se rovnají 0-7 = -7 peněz. Jednotky (pokud tiket nevyhrál), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. Jednotky (pokud je na tiketu výhra videorekordéru, televize nebo auta). Vzhledem k tomu, že z 1000 tiketů je počet nevýherců 990 a uvedené výhry jsou 5, 4 a 1 a za použití klasické definice pravděpodobnosti dostáváme.

Definice 1

Náhodná proměnná $X$ se nazývá diskrétní (nespojitá), pokud je množina jejích hodnot nekonečná nebo konečná, ale spočetná.

Jinými slovy, množství se nazývá diskrétní, pokud lze jeho hodnoty očíslovat.

Náhodná veličina může být popsána pomocí distribučního zákona.

Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny $X$ lze specifikovat ve formě tabulky, jejíž první řádek označuje všechny možné hodnoty náhodné veličiny ve vzestupném pořadí a druhý řádek obsahuje odpovídající pravděpodobnosti těchto veličin. hodnoty:

Obrázek 1.

kde $р1+ р2+ ... + рn = 1 $.

Tato tabulka je blízko distribuce diskrétní náhodné veličiny.

Pokud je množina možných hodnot náhodné veličiny nekonečná, pak řada $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ konverguje a její součet bude roven $1$.

Graficky lze znázornit distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny $X$, pro kterou je v soustavě souřadnic (pravoúhlý) sestrojena přerušovaná čára, která postupně spojuje body se souřadnicemi $(xi;pi), i=1,2, ... n $. Linka, kterou máme, se jmenuje distribuční polygon.

Obrázek 2

Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny $X$ lze také vyjádřit analyticky (pomocí vzorce):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operace s diskrétními pravděpodobnostmi

Při řešení mnoha problémů v teorii pravděpodobnosti je nutné provést operace vynásobení diskrétní náhodné veličiny konstantou, přidání dvou náhodných veličin, jejich vynásobení, dosazení mocniny. V těchto případech je nutné dodržet následující pravidla pro náhodné diskrétní veličiny:

Definice 3

Násobení diskrétní náhodné veličiny $X$ konstantou $K$ je diskrétní náhodná veličina $Y=KX,$, která je určena rovnostmi: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definice 4

Jsou volány dvě náhodné proměnné $x$ a $y$ nezávislý, pokud distribuční zákon jednoho z nich nezávisí na tom, jaké možné hodnoty získala druhá veličina.

Definice 5

Množství dvě nezávislé diskrétní náhodné proměnné $X$ a $Y$ se nazývají náhodná proměnná $Z=X+Y,$ je určena rovností: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\vpravo)= P\vlevo(x_i\vpravo)P\vlevo(y_j\vpravo)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Definice 6

Násobení dvě nezávislé diskrétní náhodné proměnné $X$ a $Y$ se nazývají náhodná proměnná $Z=XY,$ je určena rovností: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Vezměme v úvahu, že některé součiny $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ se mohou navzájem rovnat. V tomto případě je pravděpodobnost přidání součinu rovna součtu odpovídajících pravděpodobností.

Pokud například $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $pak pravděpodobnost $x_2y_3$ (nebo stejné $x_5y_7$) bude rovna $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Výše uvedené platí i pro částku. Pokud $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, pak se pravděpodobnost $x_1+\ y_2$ (nebo stejných $x_4+\ y_6$) bude rovnat $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Náhodné proměnné $X$ a $Y$ jsou určeny distribučními zákony:

Obrázek 3

Kde $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Pak bude mít zákon rozdělení součtu $X+Y$ tvar

Obrázek 4.

A zákon rozdělení produktu $XY$ bude mít tvar

Obrázek 5.

Distribuční funkce

Úplný popis náhodné veličiny poskytuje také distribuční funkce.

Geometricky se distribuční funkce vysvětluje jako pravděpodobnost, že náhodná veličina $X$ nabude hodnoty, která je na číselné ose reprezentována bodem ležícím vlevo od bodu $x$.