განტოლებას აქვს ამონახსნი: თუ უცნობის ერთ-ერთი კოეფიციენტი მაინც განსხვავდება ნულისაგან. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერ განზომილებიან ვექტორს ეწოდება განტოლების ამონახსნი, თუ მისი კოორდინატების ჩანაცვლებისას განტოლება ხდება იდენტურობა.
აღწერეთ განტოლებათა სისტემა.
გამოსავალი:
1. არსებობს თუ არა ურთიერთგამომრიცხავი განტოლება?(თუ კოეფიციენტები, ამ შემთხვევაში განტოლებას აქვს ფორმა: და ეწოდება საკამათო.)
2. იპოვნეთ ყველა დაშვებული ცვლადი. (უცნობი ჰქვიანებადართულიგანტოლებათა სისტემისთვის, თუ იგი შედის სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში +1 კოეფიციენტით, მაგრამ არ შედის დარჩენილ განტოლებებში (ანუ ჩართულია ნულის ტოლი კოეფიციენტით).
3. განტოლებათა სისტემა ამოხსნილია? (განტოლებათა სისტემას ეწოდება ამოხსნილი, თუ სისტემის თითოეული განტოლება შეიცავს ამოხსნილ უცნობს, რომელთა შორის არ არის დამთხვევა)
ზოგად შემთხვევაში, განტოლებათა ამოხსნილ სისტემას აქვს ფორმა:ამოხსნილი უცნობები, აღებული თითო სისტემის თითოეული განტოლებიდან, ყალიბდება ამოხსნილი უცნობების სრული ნაკრებისისტემები. (ჩვენს მაგალითში ეს არის)
სრულ კომპლექტში შემავალი დაშვებული უცნობები ასევე უწოდებენ ძირითადი(), და არ შედის კომპლექტში - უფასო ().
ამ ეტაპზე მთავარია გავიგოთ რა არის უცნობია გადაწყვეტილი(შედის საფუძველში და უფასოა).
ზოგადი გამოსავალიგანტოლებათა ამოხსნილი სისტემა არის ამოხსნილი უცნობის გამონათქვამების ერთობლიობა თავისუფალი ტერმინებისა და თავისუფალი უცნობის მეშვეობით:
პირადი გადაწყვეტილებაეწოდება გამოსავალი, რომელიც მიიღება ზოგადი ამონახსნებიდან თავისუფალი ცვლადების და უცნობი მნიშვნელობების კონკრეტული მნიშვნელობებისთვის.
ძირითადი გადაწყვეტაარის ზოგადიდან მიღებული კონკრეტული გამოსავალი თავისუფალი ცვლადების ნულოვანი მნიშვნელობებისთვის.
მაგალითი 1. იპოვეთ განტოლებათა სისტემის ზოგადი, ძირითადი და რაიმე კონკრეტული ამონახსნი:თეორემა (1)
განტოლებათა ამოხსნილი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია(რადგან მას ერთი გამოსავალი მაინც აქვს); უფრო მეტიც, თუ სისტემას არ აქვს უფასო უცნობი,(ანუ განტოლებების სისტემაში ყველა დაშვებული შედის საფუძველში) შემდეგ განისაზღვრება(აქვს უნიკალური გამოსავალი); თუ არის მინიმუმ ერთი თავისუფალი ცვლადი, მაშინ სისტემა არ არის განსაზღვრული(აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).
გამოსავალი:
1. ვამოწმებთ თუ არა სისტემა ავტორიზებული?
2. ნაკრებში ჩავრთავთ დაშვებულ უცნობებს - თითო განტოლებიდან.
3. ჩვენ ვწერთ ზოგად ამოხსნას იმისდა მიხედვით, თუ რა დაშვებული უცნობები ჩავრთეთ ნაკრებში.
4. პირადი გადაწყვეტის პოვნა. ამისათვის ჩვენ ვატოლებთ თავისუფალ ცვლადებს, რომლებიც ნაკრებში არ შევიტანეთ თვითნებურ რიცხვებთან.
პასუხი: პირადი გადაწყვეტა(ერთ-ერთი ვარიანტი)
5. ძირითადი გადაწყვეტის პოვნა. ამისათვის ჩვენ ვატოლებთ თავისუფალ ცვლადებს, რომლებიც არ ჩავრთეთ ნაკრებში.
წრფივი განტოლებათა სისტემები დაყვანილია ეკვივალენტურ გადაწყვეტილ სისტემებად ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.
თეორემა (2)
Თუ რომელიმე გავამრავლოთ სისტემის განტოლება რაიმე არანულოვან რიცხვზედა დატოვეთ დანარჩენი განტოლებები უცვლელი, შემდეგ . (ანუ, თუ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს გაამრავლებთ ერთ რიცხვზე, მიიღებთ ამ განტოლების ექვივალენტს)
თეორემა (3)
თუ დაამატეთ სხვა სისტემის ნებისმიერ განტოლებასდა დატოვეთ ყველა სხვა განტოლება უცვლელი, მაშინ ჩვენ ვიღებთ ამ სისტემის ექვივალენტს. (ანუ თუ დაუმატებთ ორ განტოლებას (მათი მარცხენა და მარჯვენა მხარეების მიმატებით) მიიღებთ მონაცემების ეკვივალენტურ განტოლებას)
თეორემების დასკვნა (2 და 3)
თუ დაამატეთ სხვა განტოლება განტოლებას გამრავლებულ გარკვეულ რიცხვზედა დატოვეთ ყველა სხვა განტოლება უცვლელი, მაშინ მივიღებთ ამ სისტემის ექვივალენტს.
თუ ჩვენ გვაქვს განტოლებათა სისტემა და გვინდა მისი გარდაქმნა განტოლებათა გადაწყვეტილ სისტემად, ამაში დაგვეხმარება ჟორდანია-გაუსის მეთოდი.
იორდანიის ტრანსფორმაციაგამხსნელი ელემენტით საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განტოლებათა სისტემისთვის ამოხსნილი უცნობი რიცხვით განტოლებაში. (მაგალითი 2).
იორდანიის ტრანსფორმაცია შედგება ორი ტიპის ელემენტარული გარდაქმნებისაგან:ვთქვათ, გვინდა ქვედა განტოლებაში უცნობი ვაქციოთ ამოხსნილ უცნობად. ამისათვის ჩვენ უნდა გავყოთ , ისე, რომ ჯამი იყოს .
მაგალითი 2 ხელახლა გამოვთვალოთ სისტემის კოეფიციენტები
რიცხვით განტოლების გაყოფისას მისი კოეფიციენტები ხელახლა გამოითვლება ფორმულების გამოყენებით:
რიცხვით განტოლებიდან გამოსარიცხად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიცხვით განტოლება და დაამატოთ ამ განტოლებას.
თეორემა (4) სისტემის განტოლებათა რაოდენობის შემცირების შესახებ.
თუ განტოლებათა სისტემა შეიცავს ტრივიალურ განტოლებას, მაშინ ის შეიძლება გამოირიცხოს სისტემიდან და მიიღება ორიგინალის ექვივალენტური სისტემა.
თეორემა (5) განტოლებათა სისტემის შეუთავსებლობის შესახებ.
თუ განტოლებათა სისტემა შეიცავს არათანმიმდევრულ განტოლებას, მაშინ ის არათანმიმდევრულია.
ჟორდანია-გაუსის მეთოდით განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ალგორითმი შედგება რამდენიმე მსგავსი საფეხურისგან, რომელთაგან თითოეულზე მოქმედებები შესრულებულია შემდეგი თანმიმდევრობით:
იპოვე: ორი ზოგადი და ორი შესაბამისი ძირითადი გამოსავალი
გამოსავალი:
გამოთვლები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში:
ცხრილის მარჯვნივ არის მოქმედებები განტოლებებზე. ისრები მიუთითებენ, რომელ განტოლებას ემატება განტოლება გამხსნელ ელემენტთან, გამრავლებული შესაფერის კოეფიციენტზე.
ცხრილის პირველი სამი სტრიქონი შეიცავს უცნობების კოეფიციენტებს და ორიგინალური სისტემის მარჯვენა მხარეს. პირველი იორდანიის ტრანსფორმაციის შედეგები ერთის ტოლი განმსაზღვრელი ელემენტით მოცემულია 4, 5, 6 სტრიქონებში. მეორე იორდანიის გარდაქმნის შედეგები განმსაზღვრელი ელემენტით (-1) ტოლია 7, 8, 9 სტრიქონებში. ვინაიდან მესამე განტოლება ტრივიალურია, ის შეიძლება გამოტოვოთ.
განვიხილოთ m წრფივი განტოლებების სისტემა, რომელიც შეიცავს n ცვლადს
(1)
ეს სისტემა შეიძლება მოკლედ დაიწეროს შემდეგნაირად: 
ან მატრიცის სახით: Ax = B.
წრფივი პროგრამირების ამოცანებში განიხილება განტოლებათა გაურკვეველი სისტემები, ე.ი. უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები. შემდეგ სისტემის მატრიცის რანგი 
,
ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლები: rn. ეს ნიშნავს, რომ წრფივი დამოუკიდებელი განტოლებების მაქსიმალური რაოდენობა (1) უდრის r. დავუშვათ, რომ სისტემაში (1) წრფივად დამოუკიდებელი განტოლებათა რაოდენობა უდრის m, ე.ი. r = m. ალგებრადან ცნობილია, რომ ამ შემთხვევაში არის m ცვლადები, კოეფიციენტები 
რომლებიც სისტემაში (1) ქმნიან მატრიცას არანულოვანი დეტერმინანტით. ასეთ განმსაზღვრელს ეწოდება ძირითადი მინორი, ხოლო შესაბამის ცვლადებს - ძირითადი. დარჩენილ n – m ცვლადებს თავისუფალი ცვლადები ეწოდება. ძირითადი ცვლადები შეიძლება გამოიხატოს თავისუფალი ცვლადების საშუალებით სისტემის განტოლებების გამოყენებით (1), მივანიჭოთ თვითნებური მნიშვნელობები თავისუფალ ცვლადებს და იპოვოთ ძირითადი ცვლადების მნიშვნელობები კრამერის ფორმულების გამოყენებით. შედეგი არის სისტემის ერთ-ერთი გამოსავალი (1).
განმარტება 1.წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნას (1), რომელიც მიღებულია თავისუფალი ცვლადების ნულოვანი მნიშვნელობებით, ეწოდება ძირითადი ამონახსნები.
ძირითადი ცვლადები და, შესაბამისად, ძირითადი ამონახსნის არანულოვანი კომპონენტები, შეესაბამება ხაზოვანი განტოლებათა სისტემის კოეფიციენტების მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელ სვეტებს. ეს საშუალებას გვაძლევს მივცეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ძირითადი ამოხსნის განსხვავებული განმარტება.
განმარტება 2.წრფივი განტოლებათა სისტემის ძირითადი ამონახსნი არის ამ სისტემის ამონახსნი, რომლის არანულოვანი კომპონენტები შეესაბამება ამ სისტემის კოეფიციენტების მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელ სვეტებს.
საბაზისო ცვლადები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ჯგუფი, რომელიც შეიცავს m ცვლადებს (1-ში) მითითებული n ცვლადებიდან. n ცვლადის შემცველი ნაკრებიდან m ცვლადის არჩევის გზების მაქსიმალური შესაძლო რაოდენობა უდრის კომბინაციების რაოდენობას 
. თუმცა, შეიძლება იყოს შემთხვევები, როდესაც (1) სისტემაში შერჩეული m ცვლადების კოეფიციენტებისგან შემდგარი მატრიცის შესაბამისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. აქედან გამომდინარე, ძირითადი ცვლადების ჯგუფების რაოდენობა არ აღემატება 
. ძირითადი ცვლადების თითოეული ჯგუფისთვის შეიძლება მოიძებნოს სისტემის შესაბამისი ძირითადი ამოხსნა (1). ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გამომდინარეობს თეორემა:
თეორემა. განუსაზღვრელი სისტემის ძირითადი ამონახსნების რაოდენობა (1), რომელშიც სისტემის მატრიცის რანგიარ
=
მ
<
ნარ აღემატება
.
მაგალითი. იპოვეთ განტოლებათა სისტემის ყველა ძირითადი ამონახსნები (2):
(2)
გამოსავალი. ცხადია r=m=2, n=4. ძირითადი ცვლადების ჯგუფების საერთო რაოდენობა არაუმეტეს 
= 6. თუმცა, სისტემის მატრიცაში ცვლადების კოეფიციენტების პირველი, მეორე და მეოთხე სვეტები პროპორციულია, ამიტომ მეორე რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ სამი სვეტიდან ნებისმიერი ორის კოეფიციენტებისგან, ნულის ტოლია. დარჩენილი კომპლექტები: 
,
და 
.
ცვლადების ნაკრებისთვის 
განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება მათი კოეფიციენტებისგან d = 
= –2 0. შესაბამისად, ეს ცვლადები შეიძლება ჩაითვალოს ძირითად ცვლადებად, 
- უფასო. მოდით მივუწეროთ ნულოვანი მნიშვნელობები თავისუფალ ცვლადებს: 
ჩვენ ვხსნით სისტემას:
(3)
, სადაც 
.
გაუსის მეთოდს აქვს მთელი რიგი უარყოფითი მხარეები: შეუძლებელია იმის ცოდნა, სისტემა თანმიმდევრულია თუ არა, სანამ არ განხორციელდება გაუსის მეთოდში აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაცია; გაუსის მეთოდი არ არის შესაფერისი სისტემებისთვის ასოების კოეფიციენტებით.
განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვა მეთოდები. ეს მეთოდები იყენებს მატრიცული რანგის კონცეფციას და ნებისმიერი თანმიმდევრული სისტემის ამოხსნას ამცირებს იმ სისტემის ამოხსნამდე, რომელზეც ვრცელდება კრამერის წესი.
მაგალითი 1.იპოვნეთ წრფივი განტოლებათა შემდეგი სისტემის ზოგადი ამონახსნი შემცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის და არაერთგვაროვანი სისტემის კონკრეტული ამოხსნის გამოყენებით.
1. მატრიცის დამზადება ადა გაფართოებული სისტემის მატრიცა (1)
2. გამოიკვლიეთ სისტემა (1) ერთიანობისთვის. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მატრიცების რიგებს ადა https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">).თუ აღმოჩნდება რომ , მაშინ სისტემა (1) შეუთავსებელი. თუ ამას მივიღებთ , მაშინ ეს სისტემა თანმიმდევრულია და ჩვენ მოვაგვარებთ მას. (თავსებადობის კვლევა ეფუძნება კრონეკერ-კაპელის თეორემას).
ა. Ჩვენ ვიპოვეთ rA.
Პოვნა rA, განვიხილავთ მატრიცის პირველი, მეორე და ა.შ. რიგის თანმიმდევრულად არანულოვან მინორებს. ადა მათ გარშემო მყოფი არასრულწლოვნები.
M1=1≠0 (ვიღებთ 1-ს მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხიდან ა).
ჩვენ ესაზღვრება M1ამ მატრიცის მეორე სტრიქონი და მეორე სვეტი. 
. ვაგრძელებთ საზღვარს M1მეორე სტრიქონი და მესამე სვეტი..gif" width="37" height="20 src=">. ახლა ჩვენ შემოვხაზავთ არანულოვან მინორს M2′მეორე შეკვეთა.
Ჩვენ გვაქვს: 
(რადგან პირველი ორი სვეტი იგივეა)
(რადგან მეორე და მესამე სტრიქონები პროპორციულია).
ჩვენ ამას ვხედავთ rA=2, a არის მატრიცის საბაზისო მინორი ა.
ბ. Ჩვენ ვიპოვეთ.
საკმაოდ ძირითადი მცირე M2′მატრიცები ასაზღვარი თავისუფალი ტერმინების სვეტით და ყველა მწკრივით (ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ბოლო მწკრივი).
. Აქედან გამომდინარეობს, რომ M3′′რჩება მატრიცის ძირითად მინორად https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
იმიტომ რომ M2′- მატრიცის საბაზისო მინორი ასისტემები (2) , მაშინ ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია (3) , რომელიც შედგება სისტემის პირველი ორი განტოლებისგან (2) (ამისთვის M2′არის A მატრიცის პირველ ორ რიგში).
(3)
ძირითადი მინორიდან https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
ამ სისტემაში არის ორი თავისუფალი უცნობი ( x2 და x4 ). Ამიტომაც FSR სისტემები (4) შედგება ორი ხსნარისგან. მათ საპოვნელად, ჩვენ ვანიჭებთ თავისუფალ უცნობებს (4) ღირებულებები პირველ რიგში x2=1 , x4=0 , და მერე - x2=0 , x4=1 .
ზე x2=1 , x4=0 ჩვენ ვიღებთ:
.
ეს სისტემა უკვე აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი (მისი პოვნა შესაძლებელია კრამერის წესით ან ნებისმიერი სხვა მეთოდით). პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ:
მისი გამოსავალი იქნება x1= -1 , x3=0 . ღირებულებების გათვალისწინებით x2 და x4 , რომელიც დავამატეთ, ვიღებთ სისტემის პირველ ფუნდამენტურ გადაწყვეტას (2) : .
ახლა ჩვენ გვჯერა (4) x2=0 , x4=1 . ჩვენ ვიღებთ:
.
ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით კრამერის თეორემის გამოყენებით:
.
ჩვენ ვიღებთ სისტემის მეორე ფუნდამენტურ გადაწყვეტას (2) : .
გადაწყვეტილებები β1 , β2 და შეადგინეთ FSR სისტემები (2) . მაშინ მისი ზოგადი გადაწყვეტა იქნება
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Აქ C1 , C2 - თვითნებური მუდმივები.
4. ვიპოვოთ ერთი კერძო გამოსავალი ჰეტეროგენული სისტემა(1) . როგორც აბზაცში 3 , სისტემის ნაცვლად (1) განვიხილოთ ექვივალენტური სისტემა (5) , რომელიც შედგება სისტემის პირველი ორი განტოლებისგან (1) .
(5)
მოდით გადავიტანოთ თავისუფალი უცნობები მარჯვენა მხარეს x2და x4.
(6)
მოდით მივცეთ უფასო უცნობი x2 და x4 თვითნებური მნიშვნელობები, მაგალითად, x2=2 , x4=1 და ჩადეთ ისინი (6) . ავიღოთ სისტემა
ამ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა (მისი განმსაზღვრელი M2′0). მისი ამოხსნით (კრამერის თეორემის ან გაუსის მეთოდის გამოყენებით) მივიღებთ x1=3 , x3=3 . უფასო უცნობის მნიშვნელობების გათვალისწინებით x2 და x4 , ვიღებთ არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა(1)α1=(3,2,3,1).
5. ახლა რჩება მხოლოდ მისი ჩაწერა არაჰომოგენური სისტემის α ზოგადი გადაწყვეტა(1) : უდრის ჯამს პირადი გადაწყვეტაეს სისტემა და მისი შემცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ეს ნიშნავს: 
(7)
6. ექსპერტიზა.იმის შესამოწმებლად, სწორად მოაგვარეთ თუ არა სისტემა (1) , ჩვენ გვჭირდება ზოგადი გამოსავალი (7) ჩანაცვლება შიგნით (1) . თუ თითოეული განტოლება იდენტურობაში გადაიქცევა ( C1 და C2 უნდა განადგურდეს), მაშინ გამოსავალი სწორად არის ნაპოვნი.
ჩვენ შევცვლით (7) მაგალითად, სისტემის მხოლოდ ბოლო განტოლება (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
ვიღებთ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
სადაც –1=–1. პირადობა მივიღეთ. ჩვენ ამას ვაკეთებთ სისტემის ყველა სხვა განტოლებით (1) .
კომენტარი.შემოწმება, როგორც წესი, საკმაოდ რთულია. შეიძლება რეკომენდებული იყოს შემდეგი „ნაწილობრივი შემოწმება“: სისტემის ზოგად გადაწყვეტაში (1) მიანიჭეთ რამდენიმე მნიშვნელობა თვითნებურ მუდმივებს და ჩაანაცვლეთ მიღებული ნაწილობრივი ამონახსნები მხოლოდ გაუქმებულ განტოლებებში (ანუ იმ განტოლებებში (1) , რომლებიც არ შედიოდნენ (5) ). თუ თქვენ მიიღებთ პირადობას, მაშინ უფრო მეტად, სისტემური გადაწყვეტა (1) სწორად ნაპოვნი (მაგრამ ასეთი შემოწმება არ იძლევა სისწორის სრულ გარანტიას!). მაგალითად, თუ შიგნით (7) დადება C2=- 1 , C1=1, მაშინ მივიღებთ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. სისტემის ბოლო განტოლებაში (1) ჩანაცვლებით, გვაქვს: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ანუ –1=–1. ჩვენ მივიღეთ ვინაობა.
მაგალითი 2.იპოვნეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი (1) ძირითადი უცნობების გამოხატვა თავისუფალის მიხედვით.
გამოსავალი.Როგორც მაგალითი 1, მატრიცების შედგენა ადა ამ მატრიცებიდან https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ახლა სისტემის მხოლოდ იმ განტოლებებს ვტოვებთ (1) , რომლის კოეფიციენტები შედის ამ ძირითად მინორში (ანუ გვაქვს პირველი ორი განტოლება) და განვიხილავთ მათგან შემდგარ სისტემას, სისტემის (1) ტოლფასი.
მოდით გადავიტანოთ თავისუფალი უცნობიები ამ განტოლებების მარჯვენა მხარეს.
სისტემა (9) ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით, მარჯვენა მხარეებს თავისუფალ ტერმინებად მივიჩნევთ.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
ვარიანტი 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
ვარიანტი 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
ვარიანტი 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
ვარიანტი 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
ეს ონლაინ კალკულატორი პოულობს ხაზოვანი განტოლების სისტემის ზოგად გადაწყვეტას ჯორდან-გაუსის მეთოდის გამოყენებით. მოცემულია დეტალური გადაწყვეტა. გამოსათვლელად აირჩიეთ განტოლებების რაოდენობა და ცვლადების რაოდენობა. შემდეგ შეიყვანეთ მონაცემები უჯრედებში და დააჭირეთ ღილაკს "გამოთვლა".
ქვემოთ იხილეთ ჯორდან-გაუსის მეთოდის გამოყენებით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის თეორიული ნაწილი.
|
ნომრის წარმოდგენა:
მთელი რიცხვები და/ან საერთო წილადებიადგილების რაოდენობა ათობითი გამყოფის შემდეგ
×
გაასუფთავო ყველა უჯრედი?
დახურეთ გასუფთავება
მონაცემთა შეყვანის ინსტრუქციები.რიცხვები შეყვანილია როგორც მთელი რიცხვები (მაგალითები: 487, 5, -7623 და ა.შ.), ათწილადები (მაგ. 67., 102.54 და ა.შ.) ან წილადები. წილადი უნდა შეიტანოს a/b სახით, სადაც a და b (b>0) არის მთელი რიცხვები ან ათწილადები. მაგალითები 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 და ა.შ.
ჟორდანი-გაუსის მეთოდი არის წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდი და ასევე შებრუნებული მატრიცის პოვნის მეთოდი. ეს მეთოდი გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციაა.
ჟორდანია-გაუსის მეთოდის პირველი ეტაპი გაუსის მეთოდის მსგავსია (გაუსის პირდაპირი სვლა), რომელიც დეტალურად შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე „გაუსის მეთოდი ონლაინ“. ჟორდანია-გაუსის მეთოდის მეორე საფეხური (უკუ) შედგება წამყვანი ელემენტების ზემოთ წრფივი განტოლებების სისტემის კოეფიციენტების მატრიცის ყველა ელემენტის ნულში. გაითვალისწინეთ, რომ აქ განვიხილავთ წრფივი განტოლებების თვითნებურ სისტემას, სადაც ცვლადების რაოდენობა შეიძლება არ იყოს შეზღუდვების რაოდენობის ტოლი.
განვიხილოთ წრფივი განტოლებების შემდეგი სისტემა:
| (1) |
მოდით დავწეროთ სისტემა (1) მატრიცის სახით:
| Ax=b | (2) |
  | (3) |
ა- ეწოდება სისტემის კოეფიციენტების მატრიცას, ბ- შეზღუდვების მარჯვენა მხარე, x− მოსაძებნი ცვლადების ვექტორი. დაე რანგის ( ა)=გვ.
მოდით ავაშენოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა:
თუ ,..., ნულის ტოლია, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნი, მაგრამ თუ ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისტემა (2) თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცის რანგი ატოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის ( ა|ბ).
დაე 
. შემდეგ, საპირისპირო თანმიმდევრობით, წამყვანი ელემენტიდან დაწყებული, ვიყენებთ საპირისპირო გაუსის სვლას. საპირისპირო მოძრაობის არსი არის გაფართოებული მატრიცის ყველა ელემენტის გადატვირთვა, რომლებიც უფრო მაღალია, ვიდრე წამყვანი ელემენტები.
მაშ ასე, გადავტვირთოთ სვეტის ყველა ელემენტი გვ, ელემენტის ზემოთ. ვინაიდან ≠0, ჩვენ ვამატებთ სტრიქონებს 1,2,... p− 1 ხაზით გვ, გამრავლებული 
შესაბამისად.
გაფართოებული მატრიცა მიიღებს შემდეგ ფორმას:
გაყავით თითოეული მწკრივი მის შესაბამის წამყვან ელემენტზე (თუ წამყვანი ელემენტი არსებობს):
 |
შემდეგ გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
მატრიცის ჩაწერის ტიპი: Ax=b, სად
მოდით აღვნიშნოთ იჯელემენტები მე-მე ხაზი და ჯე სვეტი.
პირველი ეტაპი. წინ გაუსიანი ნაბიჯი
ათერთმეტი . ამისათვის დაამატეთ 2,3 სტრიქონები 1 სტრიქონით, გამრავლებული 1/2,-3/2, შესაბამისად:
გამოვრიცხოთ ელემენტის ზემოთ მატრიცის მე-3 სვეტის ელემენტები ა 33. ამისათვის დაამატეთ 1, 2 სტრიქონები მე-3 სტრიქონს, გამრავლებული -3/2, -5/4 შესაბამისად:
მატრიცის თითოეულ მწკრივს ვყოფთ შესაბამის წამყვან ელემენტზე (თუ წამყვანი ელემენტი არსებობს):
მატრიცის ჩაწერის ტიპი: Ax=b, სად
მოდით აღვნიშნოთ იჯელემენტები მე-მე ხაზი და ჯე სვეტი.
პირველი ეტაპი. გაუსის პირდაპირი მოძრაობა.
გამოვრიცხოთ ელემენტის ქვემოთ მატრიცის 1-ლი სვეტის ელემენტები ათერთმეტი . ამისათვის დაამატეთ 2,3 სტრიქონები 1 სტრიქონს, გამრავლებული 4/3, 5/3, შესაბამისად:
მეორე ფაზა. გაუსიანი უკუქცევა
გამოვრიცხოთ ელემენტის ზემოთ მატრიცის მე-2 სვეტის ელემენტები ა 22. ამისათვის დაამატეთ სტრიქონი 1 სტრიქონი 2-ით გამრავლებული -3/10-ზე:
გამოვხატოთ ცვლადები x 1 , x 2 სხვა ცვლადებთან შედარებით.
შემდეგ ვექტორული ხსნარი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
 ,
|
x 3 არის თვითნებური რეალური რიცხვი.
სად x* - არაჰომოგენური სისტემის ერთ-ერთი გამოსავალი (2) (მაგალითად (4)), (E−A+A)ქმნის მატრიცის ბირთვს (ნულის სივრცეს). ა.
მოდით გავაკეთოთ მატრიცის ჩონჩხის დაშლა (E−A+A):
E−A + A=Q·S
სად ქ n×n−r- რანგის მატრიცა (Q)=n−r, ს n−r×n- რანგის მატრიცა (S)=n−r.
შემდეგ (13) შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:
x=x*+Q·k, ∀ კ ∈ რნ-რ.
სად k=Sz.
Ისე, ზოგადი გადაწყვეტის პოვნის პროცედურაფსევდოინვერსიული მატრიცის გამოყენებით წრფივი განტოლებების სისტემები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:
x=x*+Q·k, ∀ კ ∈ რნ-რ.
ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ წრფივი განტოლებების სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა დეტალური განმარტებებით.
