ჰიდროსტატიკა ბერნულის განტოლება. სითხის ნაკადი და ბერნულის განტოლება დამწყებთათვის

ისევე, როგორც ნიუტონის კანონი უნივერსალური მიზიდულობის შესახებ მოქმედებდა თავად ნიუტონამდე დიდი ხნით ადრე ბერნულის განტოლებაარსებობდა თავად ბერნულის დაბადებამდე დიდი ხნით ადრე. მან მხოლოდ მოახერხა ამ განტოლების ვიზუალურ ფორმაში მოყვანა, რაც მისი უდაო და უზარმაზარი დამსახურებაა. რისთვის მჭირდება ბერნულის განტოლება, გეკითხებით, რადგან მის გარეშე კარგად ვცხოვრობდი. დიახ, მაგრამ ეს შეიძლება გამოგადგეთ მინიმუმ ჰიდრავლიკის გამოცდისთვის! როგორც ამბობენ, „არც ისე ცუდია, თუ იცი და შეგიძლია ჩამოაყალიბო ბერნულის განტოლება“.

ვინ არის ბერნოული?

დანიელ ბერნოული- ცნობილი მეცნიერის შვილი იაკობ ბერნოული,შვეიცარიელი მათემატიკოსი და ფიზიკოსი. ცხოვრობდა 1700-1782 წლებში, ხოლო 1725-1733 წლებში მუშაობდა პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიაში. ფიზიკისა და მათემატიკის გარდა, ბერნული ასევე სწავლობდა მედიცინას დ'ალბერტთან და ეილერთან ერთად, რომლებიც მათემატიკური ფიზიკის დამფუძნებელ მამად ითვლებოდნენ. ამ ადამიანის წარმატება გვაძლევს საშუალებას დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ის იყო ნამდვილი "სუპერტვინი".

დ.ბერნოული (1700-1782)

იდეალური სითხე და იდეალური სითხის ნაკადი

ჩვენთვის ცნობილი მატერიალური წერტილისა და იდეალური გაზის გარდა, არსებობს იდეალური სითხე. ზოგიერთმა სტუდენტმა, რა თქმა უნდა, შეიძლება იფიქროს, რომ ეს სითხე მისი საყვარელი ლუდი ან ყავაა, რომლის გარეშეც შეუძლებელია ცხოვრება. Მაგრამ არა იდეალური სითხეარის სითხე, რომელიც აბსოლუტურად შეკუმშვადია, მოკლებულია სიბლანტეს და თბოგამტარობას. მიუხედავად ამისა, ასეთი იდეალიზაცია იძლევა საკმაოდ კარგ აღწერას ჰიდროდინამიკაში რეალური სითხეების მოძრაობის შესახებ.

სითხის ნაკადიეწოდება მისი ფენების მოძრაობას ერთმანეთთან ან მთელ სითხესთან შედარებით.

გარდა ამისა, არსებობს სითხის ნაკადის სხვადასხვა რეჟიმი. ჩვენ გვაინტერესებს ის შემთხვევა, როდესაც ნაკადის სიჩქარე კონკრეტულ წერტილში დროთა განმავლობაში არ იცვლება. ასეთ ნაკადს სტაციონარული ეწოდება. ამ შემთხვევაში, დინების სიჩქარე სტაციონარული ნაკადის სხვადასხვა წერტილში შეიძლება განსხვავდებოდეს.

- მოძრავი სითხის ნაწილაკების კოლექცია.

ბერნულის განტოლების წარმოშობა

მაგრამ როგორ აღვწეროთ სითხის მოძრაობა? ამისათვის ჩვენ უნდა ვიცოდეთ ნაწილაკების სიჩქარის ვექტორი, უფრო სწორად მისი დროზე დამოკიდებულება. სიჩქარის მთლიანობა ნაკადის სხვადასხვა წერტილში იძლევა სიჩქარის ვექტორულ ველს.

განვიხილოთ სითხის სტაციონარული ნაკადი მილის მეშვეობით. ერთ ადგილას ამ მილის კვეთა S1-ის ტოლია, მეორეში კი - S2. სტაბილური ნაკადით, სითხის იგივე რაოდენობა გაივლის ორივე მონაკვეთში დროის ერთსა და იმავე პერიოდში.

ეს განტოლება არის თვითმფრინავის უწყვეტობის განტოლება.

მას შემდეგ რაც აღიარა, ბერნულმა გადაწყვიტა დაემყარებინა კავშირი წნევასა და სითხის სიჩქარეს შორის სხვადასხვა მონაკვეთებში. მთლიანი წნევა არის სტატისტიკური (განსაზღვრული სითხის პოტენციური ენერგიით) და დინამიური წნევის (კინეტიკური ენერგიით განსაზღვრული) ჯამი. გამოდის, რომ მილის ნებისმიერ მონაკვეთში სტატიკური და დინამიური წნევის ჯამი მუდმივია. თავად ბერნულის განტოლებას აქვს ფორმა:

ბერნულის განტოლების მნიშვნელობა

ბერნულის განტოლების ფიზიკური მნიშვნელობა. ბერნულის განტოლება არის ენერგიის შენარჩუნების კანონის შედეგი. ბერნულის განტოლების პირველი წევრი არის კინეტიკური ენერგია, ბერნულის განტოლების მეორე წევრი არის პოტენციური ენერგია გრავიტაციულ ველში, მესამე არის წნევის ძალის მუშაობა, როდესაც სითხე აწევს h სიმაღლეზე.

ესე იგი, მეგობრებო, არც ისე საშინელია. სულ ცოტა დრო და თქვენ უკვე იცით ბერნულის განტოლება. მაშინაც კი, თუ სხვა არაფერი იცით, ამ ცოდნით გამოცდაზე ან გამოცდაზე წასვლა ბევრად უკეთესია, ვიდრე უბრალოდ ამის გაკეთება. და თუ გჭირდებათ დახმარება, თუ როგორ უნდა გადაჭრას პრობლემები ბერნულის განტოლების გამოყენებით, ნუ დააყოვნებთ მოთხოვნის შევსებას. მას შემდეგ რაც ბერნულის განტოლების ამონახსნი იქნება აღწერილი რაც შეიძლება დეტალურად, თქვენ არ გექნებათ ხარვეზები ცოდნაში.

დოკუმენტური საგანმანათლებლო ფილმები. სერია "ფიზიკა".

დანიელ ბერნოული (დ. 29 იანვარი (8 თებერვალი) 1700 - გ. 17 მარტი, 1782), შვეიცარიელი უნივერსალური ფიზიკოსი, მექანიკოსი და მათემატიკოსი, აირების, ჰიდროდინამიკის და მათემატიკური ფიზიკის კინეტიკური თეორიის ერთ-ერთი შემქმნელი. პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის აკადემიკოსი და უცხოელი საპატიო წევრი (1733), აკადემიების წევრი: ბოლონია (1724), ბერლინი (1747), პარიზი (1748), ლონდონის სამეფო საზოგადოება (1750). იოჰან ბერნულის ვაჟი.

ბერნულის კანონი (განტოლება)არის (უმარტივეს შემთხვევებში) ენერგიის შენარჩუნების კანონის შედეგი იდეალური (ანუ შიდა ხახუნის გარეშე) შეუკუმშველი სითხის სტაციონარული ნაკადისთვის:

Აქ

- სითხის სიმკვრივე, - ნაკადის სიჩქარე, - სიმაღლე, რომელზეც განსახილველი თხევადი ელემენტი მდებარეობს, - წნევა სივრცეში, სადაც განხილული სითხის ელემენტის მასის ცენტრი მდებარეობს, - გრავიტაციის აჩქარება.

ბერნულის განტოლება ასევე შეიძლება გამოვიდეს ეილერის განტოლების შედეგად, რომელიც გამოხატავს მოძრავი სითხის იმპულსის ბალანსს.

სამეცნიერო ლიტერატურაში ბერნულის კანონს ჩვეულებრივ უწოდებენ ბერნულის განტოლება(არ უნდა აგვერიოს ბერნულის დიფერენციალურ განტოლებაში), ბერნულის თეორემაან ბერნულის ინტეგრალი.

მარჯვენა მხარეს მუდმივას ხშირად უწოდებენ სრული წნევადა დამოკიდებულია, ზოგად შემთხვევაში, გამარტივებაზე.

ყველა ტერმინის განზომილება არის ენერგიის ერთეული სითხის მოცულობის ერთეულზე. ბერნულის ინტეგრალში პირველ და მეორე ტერმინებს აქვთ კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობა სითხის მოცულობის ერთეულზე. უნდა აღინიშნოს, რომ მის წარმოშობაში მესამე ტერმინი არის წნევის ძალების მუშაობა და არ წარმოადგენს რაიმე განსაკუთრებული ტიპის ენერგიის რეზერვს („წნევის ენერგია“).

ზემოაღნიშნულთან მიახლოებული ურთიერთობა 1738 წელს მიიღო დანიელ ბერნულის მიერ, რომლის სახელს ჩვეულებრივ ასოცირდება. ბერნულის ინტეგრალი. ინტეგრალი მისი თანამედროვე ფორმით იქნა მიღებული იოჰან ბერნოულის მიერ დაახლოებით 1740 წელს.

ჰორიზონტალური მილისთვის სიმაღლე მუდმივია და ბერნულის განტოლება იღებს ფორმას: .

ბერნულის განტოლების ეს ფორმა შეიძლება მივიღოთ ეილერის განტოლების ინტეგრირებით სტაციონარული ერთგანზომილებიანი სითხის ნაკადისთვის, მუდმივი სიმკვრივით: .

ბერნულის კანონის თანახმად, სითხის მუდმივ ნაკადში მთლიანი წნევა მუდმივი რჩება ამ დინების გასწვრივ.

მთლიანი წნევაშედგება წონის, სტატიკური და დინამიური წნევისგან.

ბერნულის კანონიდან გამომდინარეობს, რომ ნაკადის განივი კვეთის შემცირებისას სიჩქარის, ანუ დინამიური წნევის გაზრდის გამო, სტატიკური წნევა იკლებს. ეს არის მაგნუსის ეფექტის მთავარი მიზეზი. ბერნულის კანონი ასევე მოქმედებს ლამინარული გაზის ნაკადებზე. წნევის შემცირების ფენომენი ნაკადის სიჩქარის მატებასთან ერთად საფუძვლად უდევს სხვადასხვა ტიპის ნაკადის მრიცხველების (მაგალითად, ვენტურის მილის), წყლისა და ორთქლის რეაქტიული ტუმბოების მუშაობას. ხოლო ბერნულის კანონის თანმიმდევრულმა გამოყენებამ განაპირობა ტექნიკური ჰიდრომექანიკური დისციპლინის - ჰიდრავლიკის გაჩენა.

ბერნულის კანონი სუფთა სახით მოქმედებს მხოლოდ სითხეებისთვის, რომელთა სიბლანტე არის ნული. ტექნიკური სითხეების მექანიკაში (ჰიდრავლიკა) რეალური სითხეების ნაკადის დასაახლოებლად გამოიყენება ბერნულის ინტეგრალი ტერმინების დამატებით, რომლებიც ითვალისწინებენ დანაკარგებს ადგილობრივი და განაწილებული წინააღმდეგობების გამო.

ბერნულის ინტეგრალის განზოგადება ცნობილია ბლანტი სითხის ნაკადების გარკვეული კლასებისთვის (მაგალითად, სიბრტყე-პარალელური ნაკადებისთვის), მაგნიტოჰიდროდინამიკაში და ფეროჰიდროდინამიკაში.

სტაბილური ნაკადისთვის (გაზი ან სითხე), კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის ჯამი, წნევა ერთეულ მოცულობაზე მუდმივია ამ ნაკადის ნებისმიერ წერტილში.

პირველი და მეორე ტერმინები ბერნულის კანონიაქვთ კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის მნიშვნელობა სითხის მოცულობის ერთეულზე. და მესამე ტერმინი ჩვენს ფორმულაში არის წნევის ძალების მუშაობა და არ ინახავს ენერგიას. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ყველა ტერმინის განზომილება არის ენერგიის ერთეული სითხის ან აირის მოცულობის ერთეულზე.

მუდმივი მარჯვენა მხარეს ბერნულის განტოლებებიმთლიანი წნევა ეწოდება და ზოგად შემთხვევებში დამოკიდებულია მხოლოდ დინების ხაზზე.

თუ თქვენ გაქვთ ჰორიზონტალური მილი, მაშინ ბერნულის განტოლება სხვა ფორმას იღებს. ვინაიდან h=0, პოტენციური ენერგია იქნება ნული და მაშინ მივიღებთ:

ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება ბერნულის განტოლებიდან. როდესაც ნაკადის განივი კვეთა მცირდება, გაზის ან სითხის მოძრაობის სიჩქარე იზრდება (დინამიური წნევა იზრდება), მაგრამ ამავე დროს მცირდება სტატიკური წნევა სიჩქარის, ანუ დინამიური წნევის მატებამდე, სტატიკური წნევა ეცემა.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ დაფრინავენ თვითმფრინავები. დანიელ ბერნულმა გააერთიანა ნიუტონის მექანიკის კანონები ენერგიის შენარჩუნების კანონთან და სითხის უწყვეტობის მდგომარეობასთან და შეძლო გამოეყვანა განტოლება (), რომლის მიხედვითაც თხევადი გარემოდან (თხევადი ან აირი) წნევა მცირდება. ამ საშუალების ნაკადის სიჩქარე. თვითმფრინავის შემთხვევაში ჰაერი თვითმფრინავის ფრთის ირგვლივ ქვემოდან უფრო ნელა მიედინება, ვიდრე ზემოდან. და წნევასა და სიჩქარეს შორის შებრუნებული ურთიერთობის ამ ეფექტის წყალობით, ჰაერის წნევა ქვემოდან, ზემოთ მიმართული, უფრო მეტი აღმოჩნდება, ვიდრე წნევა ზემოდან, მიმართული ქვევით. შედეგად, როდესაც თვითმფრინავი იძენს სიჩქარეს, იზრდება წნევის სხვაობა და აწევის ძალა, რომელიც იზრდება აჩქარებისას, მოქმედებს თვითმფრინავის ფრთებზე. როგორც კი ის იწყებს თვითმფრინავის გრავიტაციული მიზიდულობის ძალის გადამეტებას მიწაზე, თვითმფრინავი ფაქტიურად აფრინდება ცაში. იგივე ძალა ინარჩუნებს თვითმფრინავს ჰორიზონტალურ ფრენაში: საკრუიზო სიჩქარისა და სიმაღლეზე, ამწევი ძალა აბალანსებს სიმძიმის ძალას.

ფორმულაში ჩვენ გამოვიყენეთ:

სითხის ან ჰაერის სიმკვრივე

დოკუმენტური საგანმანათლებლო ფილმები. სერია "ფიზიკა".

Აქ

მთლიანი წნევაშედგება წონის, სტატიკური და დინამიური წნევისგან.

ბერნულის დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება:
, სადაც n ≠ 0 , n ≠ 1 , p და q x-ის ფუნქციებია.

ბერნულის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა წრფივ განტოლებამდე შემცირებით

განვიხილოთ ბერნულის დიფერენციალური განტოლება:
(1) ,
სადაც n ≠ 0 , n ≠ 1 , p და q x-ის ფუნქციებია.
გავყოთ ის y n-ზე. როდესაც y ≠ 0 ან ნ< 0 ჩვენ გვაქვს:
(2) .
ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს წრფივ განტოლებამდე ცვლადის ცვლილების გამოყენებით:
.
ვაჩვენოთ. რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით:
;
.
ჩავანაცვლოთ (2) და გარდაქმნა:
;
.
ეს არის წრფივი, z-თან შედარებით დიფერენციალური განტოლება. მისი ამოხსნის შემდეგ, ნ >-სთვის 0 , უნდა განვიხილოთ შემთხვევა y = 0 . როდესაც n > 0 , y = 0 ასევე არის განტოლების ამონახსნი (1) და უნდა იყოს ჩართული პასუხში.

ხსნარი ბერნულის მეთოდით

განტოლება სადავო (1) ბერნულის მეთოდითაც შეიძლება ამოხსნა. ამისათვის ჩვენ ვეძებთ ამოხსნას ორიგინალური განტოლებისთვის ორი ფუნქციის პროდუქტის სახით:
y = u·v,
სადაც u და v არის x-ის ფუნქციები. დიფერენცირება x-ის მიმართ:
y′ = u′ v + u v′.
ჩაანაცვლეთ თავდაპირველ განტოლებაში (1) :
;
(3) .
როგორც v ვიღებთ განტოლების ნებისმიერ არანულოვან ამონახსანს:
(4) .
განტოლება (4) არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. ჩვენ ვხსნით მას და ვპოულობთ კონკრეტულ ამოხსნას v = v (x). ჩვენ ვცვლით კონკრეტულ ხსნარს (3) . ვინაიდან ის აკმაყოფილებს განტოლებას (4) , მაშინ ფრჩხილებში გამოსახული ხდება ნული. ჩვენ ვიღებთ:
;
.
აქ v არის x-ის უკვე ცნობილი ფუნქცია. ეს არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. ჩვენ ვპოულობთ მის ზოგად ამონახსნებს და მასთან ერთად თავდაპირველი განტოლების ამოხსნას y = uv.

ბერნულის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი

ერთი შეხედვით, ეს დიფერენციალური განტოლება არ ჰგავს ბერნულის განტოლებას. თუ x დამოუკიდებელ ცვლადად მივიჩნევთ, ხოლო y - დამოკიდებულ ცვლადად (ანუ თუ y არის x-ის ფუნქცია), მაშინ ეს მართალია. მაგრამ თუ y-ს დამოუკიდებელ ცვლადად მივიჩნევთ, ხოლო x-დამოკიდებულ ცვლადად, მაშინ ადვილი მისახვედრია, რომ ეს არის ბერნულის განტოლება.

ასე რომ, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ x არის y-ის ფუნქცია. შევცვალოთ და გავამრავლოთ:
;
;
(P.1) .
ეს არის ბერნულის განტოლება n =-ით 2 . იგი განსხვავდება ზემოთ განხილული განტოლებისგან (1) , მხოლოდ ცვლადების აღნიშვნით (x ნაცვლად y). ვხსნით ბერნულის მეთოდით. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:
x = u v,
სადაც u და v არის y-ის ფუნქციები. განასხვავებენ y-ს მიმართ:
.
ჩავანაცვლოთ (P.1):
;
(P.2) .
ჩვენ ვეძებთ ნებისმიერ არანულოვან ფუნქციას v (y), რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას:
(P.3) .
ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადებს:
;
;
.
მოდით C = 0 , ვინაიდან ჩვენ გვჭირდება განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი (P.3).
;
.
ჩავანაცვლოთ (P.2)იმის გათვალისწინებით, რომ ფრჩხილებში გამოსახული ტოლია ნულის (გამო (P.3)):
;
;
.
გამოვყოთ ცვლადები. როდესაც თქვენ ≠ 0 ჩვენ გვაქვს:
;
(P.4) ;
.
მეორე ინტეგრალში ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
;
.