დისკრეტული შემთხვევითიცვლადები არის შემთხვევითი ცვლადები, რომლებიც იღებენ მხოლოდ ერთმანეთისგან დაშორებულ მნიშვნელობებს და რომლებიც შეიძლება წინასწარ იყოს ჩამოთვლილი.
განაწილების კანონი
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ურთიერთობა, რომელიც ამყარებს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ შესაბამის ალბათობებს შორის.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია არის მისი შესაძლო მნიშვნელობებისა და შესაბამისი ალბათობების სია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის ფუნქცია:
,
x არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობისთვის ალბათობის განსაზღვრა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს ამ x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი
,
სად არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა; - შემთხვევითი ცვლადის მიღების X მნიშვნელობების ალბათობა.
თუ შემთხვევითი ცვლადი იღებს შესაძლო მნიშვნელობების თვლადი სიმრავლეს, მაშინ: 
.
მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი n დამოუკიდებელ ცდაში:
,
დისპერსია და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია: 
ან 
.
დამოუკიდებელ ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის ვარიაცია 
,
სადაც p არის მოვლენის დადგომის ალბათობა.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა: 
.
მაგალითი 1
შეადგინეთ ალბათობის განაწილების კანონი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის (DRV) X – K შემთხვევის რაოდენობა მინიმუმ ერთი „ექვსი“ n = 8 კამათლის წყვილის სროლაში. განაწილების მრავალკუთხედის აგება. იპოვეთ განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები (განაწილების რეჟიმი, მათემატიკური მოლოდინი M(X), დისპერსია D(X), სტანდარტული გადახრა s(X)). გამოსავალი:შემოვიღოთ აღნიშვნა: მოვლენა A – „კამათლის სროლისას ექვსი ერთხელ მაინც ჩნდება“. A მოვლენის P(A) = p ალბათობის საპოვნელად უფრო მოსახერხებელია პირველ რიგში საპირისპირო მოვლენის P(Ā) = q ალბათობის პოვნა - ”კამათლის სროლისას ექვსი არასოდეს გამოჩნდა”.
იმის გამო, რომ "ექვსის" არ გამოჩენის ალბათობა ერთი საყრდენის სროლისას არის 5/6, მაშინ ალბათობის გამრავლების თეორემის მიხედვით
P(Ā) = q = = .
შესაბამისად,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
პრობლემაში ტესტები მიჰყვება ბერნულის სქემს, ამიტომ d.s.v. სიდიდე X- ნომერი კმინიმუმ ერთი ექვსის დადგომა ორი კამათლის სროლისას ემორჩილება ალბათობის განაწილების ორნომიალურ კანონს: 
სადაც = არის კომბინაციების რაოდენობა ნმიერ კ.
ამ პრობლემისთვის განხორციელებული გამოთვლები შეიძლება მოხერხებულად იყოს წარმოდგენილი ცხრილის სახით:
ალბათობის განაწილება d.s.v. X º კ (ნ = 8; გვ = ; ქ = )
| კ | ||||||||||
პნ(კ) |
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების პოლიგონი (პოლიგონი). Xნაჩვენებია ფიგურაში:
ბრინჯი. ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედი d.s.v. X=კ.
ვერტიკალური ხაზი აჩვენებს განაწილების მათემატიკურ მოლოდინს მ(X).
ვიპოვოთ d.s.v-ის ალბათობის განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები. X. განაწილების რეჟიმი არის 2 (აქ პ 8(2) = 0.2932 მაქსიმუმი). მათემატიკური მოლოდინი განსაზღვრებით უდრის:
მ(X) = = 2,4444,
სად xk = კ– მნიშვნელობა აღებულია d.s.v. X. ვარიაცია დ(X) ჩვენ ვპოულობთ განაწილებას ფორმულის გამოყენებით:
დ(X) = 
= 4,8097.
სტანდარტული გადახრა (RMS):
ს( X) = = 2,1931.
მაგალითი 2
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xგანაწილების კანონით მოცემულია
გამოსავალი.თუ , მაშინ (მესამე თვისება).
თუ, მაშინ. მართლა, Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობა 1 0.3 ალბათობით.
თუ, მაშინ. მართლაც, თუ ის აკმაყოფილებს უთანასწორობას
, მაშინ უდრის მოვლენის ალბათობას, რომელიც შეიძლება მოხდეს, როდესაც Xმიიღებს მნიშვნელობას 1 (ამ მოვლენის ალბათობა არის 0.3) ან მნიშვნელობა 4 (ამ მოვლენის ალბათობა არის 0.1). ვინაიდან ეს ორი მოვლენა შეუთავსებელია, მაშინ, მიმატების თეორემის მიხედვით, მოვლენის ალბათობა უდრის 0,3 + 0,1 = 0,4 ალბათობების ჯამს. თუ, მაშინ. მართლაც, მოვლენა გარკვეულია, ამიტომ მისი ალბათობა ერთის ტოლია. ასე რომ, განაწილების ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს ანალიტიკურად შემდეგნაირად: 
ამ ფუნქციის გრაფიკი:
მოდით ვიპოვოთ ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობები. პირობით, მოწყობილობების უკმარისობის ალბათობა ტოლია: მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოწყობილობები იმუშავებს გარანტიის პერიოდში, ტოლია: 
განაწილების კანონს აქვს ფორმა:
ალბათობის თეორიის გამოყენებაში ექსპერიმენტის რაოდენობრივ მახასიათებლებს უპირველესი მნიშვნელობა აქვს. რაოდენობას, რომელიც შეიძლება რაოდენობრივად განისაზღვროს და რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობები შემთხვევის მიხედვით, ე.წ. შემთხვევითი ცვლადი.
შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:
1. რამდენჯერ ჩნდება ლუწი ქულების რაოდენობა ათი სროლის დროს.
2. მსროლელის მიერ მიზანზე დარტყმების რაოდენობა, რომელიც ისვრის სროლების სერიას.
3. ფეთქებადი ჭურვის ფრაგმენტების რაოდენობა.
თითოეულ მოცემულ მაგალითში, შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ იზოლირებული მნიშვნელობები, ანუ მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება ჩამოთვლილი იყოს რიცხვების ბუნებრივი სერიის გამოყენებით.
ასეთ შემთხვევით ცვლადს, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები არის ინდივიდუალური იზოლირებული რიცხვები, რომელსაც ეს ცვლადი იღებს გარკვეული ალბათობით, ე.წ. დისკრეტული.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო (დათვლადი).
განაწილების კანონიდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის მისი შესაძლო მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ალბათობების სია. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის სახით (ალბათობის განაწილების სერია), ანალიტიკურად და გრაფიკულად (ალბათობის განაწილების პოლიგონი).
ექსპერიმენტის ჩატარებისას აუცილებელი ხდება შესწავლილი მნიშვნელობის შეფასება „საშუალოდ“. შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობის როლს ასრულებს რიცხვითი მახასიათებელი ე.წ მათემატიკური მოლოდინი,რომელიც განისაზღვრება ფორმულით
სად x 1 , x 2 ,.. , x ნ- შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები X, ა გვ 1 ,გვ 2 , ... , გვ ნ- ამ მნიშვნელობების ალბათობა (გაითვალისწინეთ, რომ გვ 1 + გვ 2 +…+ გვ ნ = 1).
მაგალითი. სროლა ხორციელდება სამიზნეზე (სურ. 11).
I-ში დარტყმა იძლევა სამ ქულას, II-ში – ორ ქულას, III-ში – ერთ ქულას. ერთი მსროლელის მიერ ერთ დარტყმაში გატანილი ქულების რაოდენობას აქვს ფორმის განაწილების კანონი
მსროლელთა ოსტატობის შესადარებლად, საკმარისია შევადაროთ მოპოვებული ქულების საშუალო მნიშვნელობები, ე.ი. მათემატიკური მოლოდინები მ(X) და მ(ი):
მ(X) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
მ(ი) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
მეორე მსროლელი საშუალოდ ოდნავ მეტ ქულას იძლევა, ე.ი. ის უკეთეს შედეგს მოიტანს განმეორებით გასროლისას.
მოდით აღვნიშნოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები:
1. მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის:
მ(C) =C.
2. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ტერმინების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს:
M =(X 1 + X 2 +…+ X ნ)= მ(X 1)+ მ(X 2)+…+ მ(X ნ).
3. ურთიერთდამოუკიდებელ შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ფაქტორების მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს.
მ(X 1 X 2 … X ნ) = მ(X 1)მ(X 2)… მ(X ნ).
4. ბინომური განაწილების მათემატიკური უარყოფა ტოლია ცდის რაოდენობისა და ერთ ცდაში მოვლენის მოვლენის ალბათობის ნამრავლის (ამოცანა 4.6).
მ(X) = pr.
შევაფასოთ, თუ როგორ გადაუხვევს შემთხვევითი ცვლადი „საშუალოდ“ მათემატიკური მოლოდინს, ე.ი. ალბათობის თეორიაში შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების გავრცელების დასახასიათებლად გამოიყენება დისპერსიის ცნება.
ვარიაციაშემთხვევითი ცვლადი Xეწოდება კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი:
დ(X) = მ[(X - მ(X)) 2 ].
დისპერსია არის შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის რიცხვითი მახასიათებელი. განმარტებიდან ირკვევა, რომ რაც უფრო მცირეა შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია, მით უფრო ახლოსაა მისი შესაძლო მნიშვნელობები მათემატიკური მოლოდინის გარშემო, ანუ მით უკეთესია შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები მისი მათემატიკური მოლოდინით. .
განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ დისპერსიის გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით
.
მოსახერხებელია დისპერსიის გამოთვლა სხვა ფორმულის გამოყენებით:
დ(X) = მ(X 2) - (მ(X)) 2 .
დისპერსიას აქვს შემდეგი თვისებები:
1. მუდმივის ვარიაცია არის ნული:
დ(C) = 0.
2. მუდმივი ფაქტორის ამოღება შესაძლებელია დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში:
დ(CX) = C 2 დ(X).
3. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია ტოლია ტერმინების ვარიაციის ჯამის:
დ(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X ნ)= დ(X 1)+ დ(X 2)+…+ დ(X ნ)
4. ბინომალური განაწილების ვარიაცია ტოლია ცდების რაოდენობისა და ერთ ცდაში მოვლენის დადგომისა და არ მომხდარის ალბათობის ნამრავლისა:
დ(X) = npq.
ალბათობის თეორიაში ხშირად გამოიყენება რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც უდრის შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის კვადრატულ ფესვს. ამ ციფრულ მახასიათებელს ეწოდება საშუალო კვადრატული გადახრა და აღინიშნება სიმბოლოთი
.
იგი ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის სავარაუდო ზომას მისი საშუალო მნიშვნელობიდან და აქვს იგივე განზომილება, როგორც შემთხვევითი ცვლადი.
4.1. მსროლელი მიზანში სამ გასროლას ისვრის. ყოველი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა არის 0,3.
შექმენით განაწილების სერია დარტყმების რაოდენობისთვის.
გამოსავალი. დარტყმების რაოდენობა არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X. თითოეული ღირებულება x ნ შემთხვევითი ცვლადი Xშეესაბამება გარკვეულ ალბათობას პ ნ .
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ამ შემთხვევაში შეიძლება დაზუსტდეს განაწილების მახლობლად.
ამ პრობლემაში Xიღებს მნიშვნელობებს 0, 1, 2, 3. ბერნულის ფორმულის მიხედვით
,
მოდით ვიპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების ალბათობა:
რ 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
რ 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
რ 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
რ 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დალაგებით Xგაზრდის მიზნით, ვიღებთ განაწილების სერიას:
|
X ნ | ||||
გაითვალისწინეთ, რომ თანხა
ნიშნავს შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას Xმიიღებს მინიმუმ ერთ მნიშვნელობას შესაძლოდან და, შესაბამისად, ეს მოვლენა საიმედოა
.
4.2 .ურნაში ოთხი ბურთია 1-დან 4-მდე ნომრებით. ორი ბურთია ამოღებული. შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ბურთის ნომრების ჯამი. შექმენით შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია X.
გამოსავალი.შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები Xარის 3, 4, 5, 6, 7. ვიპოვოთ შესაბამისი ალბათობები. შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა 3 Xშეიძლება მიღებულ იქნას ერთადერთ შემთხვევაში, როდესაც ერთ-ერთ შერჩეულ ბურთს აქვს ნომერი 1, ხოლო მეორეს 2. ტესტის შესაძლო შედეგების რაოდენობა უდრის ოთხი კომბინაციის რაოდენობას (ბურთების შესაძლო წყვილის რაოდენობა) ორიდან.
კლასიკური ალბათობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
ანალოგიურად,
რ(X= 4) =რ(X= 6) =რ(X= 7) = 1/6.
ჯამი 5 შეიძლება გამოჩნდეს ორ შემთხვევაში: 1 + 4 და 2 + 3, ასე რომ
.
Xაქვს ფორმა:
იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია ფ(x) შემთხვევითი ცვლადი Xდა შეადგინე იგი. გამოთვალეთ ამისთვის Xმისი მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.
გამოსავალი. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება განისაზღვროს განაწილების ფუნქციით
ფ(x) =P(X x).
განაწილების ფუნქცია ფ(x) არის მარცხნივ უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა წრფეზე, ხოლო
ფ (- )= 0,ფ (+ )= 1.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის ეს ფუნქცია გამოიხატება ფორმულით
.
ამიტომ ამ შემთხვევაში
განაწილების ფუნქციის გრაფიკი ფ(x) არის საფეხურიანი ხაზი (ნახ. 12)
|
ფ(x) | ||||||
Მოსალოდნელი ღირებულებამ(X) არის მნიშვნელობების შეწონილი არითმეტიკული საშუალო X 1 , X 2 ,……X ნშემთხვევითი ცვლადი Xსასწორით ρ 1, ρ 2, …… , ρ ნ და ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა X. ფორმულის მიხედვით
მ(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x ნ ρ ნ
მ(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.
დისპერსიაახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დისპერსიის ხარისხს მისი საშუალო მნიშვნელობიდან და აღინიშნება დ(X):
დ(X)=მ[(ჰმ(X)) 2 ]= მ(X 2) –[მ(X)] 2 .
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, დისკრეციას აქვს ფორმა
ან შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით
პრობლემის რიცხვითი მონაცემების ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
მ(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
დ(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. ორი კამათელი იგერიება ორჯერ ერთდროულად. დაწერეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ბინომიალური კანონი X- ორ კამათელზე ლუწი ქულების საერთო რაოდენობის გაჩენის რაოდენობა.
გამოსავალი. მოდით წარმოგიდგინოთ შემთხვევითი მოვლენა
ა= (ორი კამათელი ერთი სროლით მოჰყვა ქულების საერთო რაოდენობას).
ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენებით ვპოულობთ
რ(ა)=
,
სად ნ - ტესტის შესაძლო შედეგების რაოდენობა დადგენილია წესით
გამრავლება:
ნ = 6∙6 =36,
მ - ღონისძიების მომხრე ხალხის რაოდენობა აშედეგები - თანაბარი
მ= 3∙6=18.
ამრიგად, ერთ ცდაში წარმატების ალბათობა არის
ρ = პ(ა)= 1/2.
პრობლემა მოგვარებულია ბერნულის ტესტის სქემის გამოყენებით. აქ ერთი გამოწვევა იქნება ორი კამათლის ერთხელ გადაგდება. ასეთი ტესტების რაოდენობა ნ = 2. შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მნიშვნელობებს 0, 1, 2 ალბათობით
რ 2 (0)
=
,რ 2 (1)
=
∙
,რ 2 (2)
=
შემთხვევითი ცვლადის საჭირო ბინომიური განაწილება Xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც განაწილების სერია:
|
X ნ | |||
|
ρ ნ |
4.5 . ექვსი ნაწილისგან შემდგარი პარტიაში არის ოთხი სტანდარტული. სამი ნაწილი შეირჩა შემთხვევითობის პრინციპით. შექმენით დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება X– სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა შერჩეულთა შორის და იპოვნეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი.
გამოსავალი.შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები Xარის რიცხვები 0,1,2,3. გასაგებია რომ რ(X=0)=0, ვინაიდან მხოლოდ ორი არასტანდარტული ნაწილია.
რ(X=1) =
=1/5,
რ(X= 2) =
= 3/5,
რ(X=3) =
= 1/5.
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი Xწარმოვადგინოთ იგი სადისტრიბუციო სერიის სახით:
|
X ნ | ||||
|
ρ ნ |
Მოსალოდნელი ღირებულება
მ(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . დაამტკიცეთ, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ავ ნდამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ρ – ტოლია ცდების რაოდენობის ნამრავლის ერთ ცდაში მოვლენის დადგომის ალბათობით, ანუ იმის დასამტკიცებლად, რომ ბინომალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი
მ(X) =ნ . ρ ,
და დისპერსიას
დ(X) =n.p. .
გამოსავალი.შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1, 2..., ნ. ალბათობა რ(X= k) ნაპოვნია ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:
რ(X=კ)= რ ნ(k)= 
ρ
რომ
(1-ρ
) n-რომ
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია Xაქვს ფორმა:
|
X ნ | |||||
|
ρ ნ |
ქ ნ |
|
|
|
სად ქ= 1- ρ .
მათემატიკური მოლოდინისთვის გვაქვს გამოთქმა:
მ(X)=
ρq ნ -
1
+2
ρ
2
ქ ნ -
2
+…+.ნ
ρ
ნ
ერთი ტესტის შემთხვევაში, ანუ თან n= 1 შემთხვევითი ცვლადისთვის X 1 – მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ა- განაწილების სერიას აქვს ფორმა:
|
X ნ | ||
|
ρ ნ |
მ(X 1)= 0∙q + 1 ∙ გვ = გვ
დ(X 1) = გვ – გვ 2 = გვ(1- გვ) = pq.
თუ X k – მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა არომელ ტესტში, მაშინ რ(X რომ)= ρ და
X=X 1 +X 2 +….+X ნ .
აქედან ვიღებთ
მ(X)=მ(X 1 )+მ(X 2)+ … +მ(X ნ)= nρ,
დ(X)=დ(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X ნ)=npq.
4.7. ხარისხის კონტროლის დეპარტამენტი ამოწმებს პროდუქტებს სტანდარტად. ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტი სტანდარტულია არის 0.9. თითოეული პარტია შეიცავს 5 პროდუქტს. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X- პარტიების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეული შეიცავს 4 სტანდარტულ პროდუქტს - თუ 50 პარტია ექვემდებარება შემოწმებას.
გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ ყოველ შემთხვევით შერჩეულ პარტიაში იქნება 4 სტანდარტული პროდუქტი მუდმივია; ავღნიშნოთ ρ .შემდეგ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Xუდრის მ(X)= 50∙ρ.
მოდი ვიპოვოთ ალბათობა ρ ბერნულის ფორმულის მიხედვით:
ρ=P 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
მ(X)= 50∙0,32=16.
4.8 . სამი კამათელი იყრება. იპოვეთ ჩამოშვებული ქულების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი.
გამოსავალი.შეგიძლიათ იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილება X- დავარდნილი ქულების ჯამი და შემდეგ მისი მათემატიკური მოლოდინი. თუმცა, ეს გზა ძალიან რთულია. უფრო ადვილია სხვა ტექნიკის გამოყენება, რომელიც წარმოადგენს შემთხვევით ცვლადს X, რომლის მათემატიკური მოლოდინი უნდა გამოითვალოს, რამდენიმე მარტივი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის სახით, რომელთა მათემატიკური მოლოდინი უფრო ადვილი გამოსათვლელია. თუ შემთხვევითი ცვლადი X მეარის გადატანილი ქულების რაოდენობა მე- ძვლები ( მე= 1, 2, 3), შემდეგ ქულების ჯამი Xფორმაში იქნება გამოხატული
X = X 1 + X 2 + X 3 .
ორიგინალური შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის გამოსათვლელად, რჩება მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინის თვისების გამოყენება.
მ(X 1 + X 2 + X 3 )= მ(X 1 )+ მ(X 2)+ მ(X 3 ).
აშკარაა რომ
რ(X მე = კ)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, მე= 1, 2, 3.
მაშასადამე, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X მეროგორც ჩანს
მ(X მე) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
მ(X) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. განსაზღვრეთ იმ მოწყობილობების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი, რომლებიც ჩავარდა ტესტირების დროს, თუ:
ა) ყველა მოწყობილობის მარცხის ალბათობა ერთნაირია რდა შემოწმებული მოწყობილობების რაოდენობა უდრის ნ;
ბ) წარუმატებლობის ალბათობა ამისთვის მე – მოწყობილობის ტოლია გვ მე , მე= 1, 2, … , ნ.
გამოსავალი.მოდით შემთხვევითი ცვლადი Xარის წარუმატებელი მოწყობილობების რაოდენობა, მაშინ
X = X 1 + X 2 + … + X ნ ,
X მე
=
გასაგებია რომ
რ(X მე = 1)= რ მე , რ(X მე = 0)= 1– რ მე ,i= 1, 2, … ,ნ.
მ(X მე)= 1∙რ მე + 0∙(1-რ მე)=P მე ,
მ(X)=მ(X 1)+მ(X 2)+ … +მ(X ნ)=P 1 +პ 2 + … + პ ნ .
"ა" შემთხვევაში მოწყობილობის გაუმართაობის ალბათობა იგივეა, ანუ
რ მე =გვ,i= 1, 2, … ,ნ.
მ(X)= n.p..
ამ პასუხის მიღება შეიძლება დაუყოვნებლივ, თუ შევამჩნევთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს ბინომალური განაწილება პარამეტრებით ( ნ, გვ).
4.10. ორი კამათელი იყრება ერთდროულად ორჯერ. დაწერეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ბინომიალური კანონი X -ორ კამათელზე ლუწი ქულების გაშვების რაოდენობა.
გამოსავალი. დაე
ა=(ლუწი რიცხვის გადაგდება პირველ კვარცხლბეკზე),
B =(მეორე კამათელზე ლუწი რიცხვის გადაგდება).
ორივე კამათელზე ლუწი რიცხვის მიღება ერთი სროლით გამოიხატება ნამრავლით AB.მერე
რ
(AB)
= რ(ა)∙რ(IN)
=
.
ორი კამათლის მეორე სროლის შედეგი არ არის დამოკიდებული პირველზე, ამიტომ ბერნულის ფორმულა გამოიყენება, როდესაც
ნ = 2,p = 1/4, ქ = 1– p = 3/4.
შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1, 2 , რომლის ალბათობაც შეგიძლიათ ნახოთ ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:
რ(X= 0)= პ 2 (0) = ქ 2 = 9/16,
რ(X= 1)= პ 2
(1)= C 
,რ∙ქ
=
6/16,
რ(X= 2)= პ 2
(2)= C 
,
რ 2
=
1/16.
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია X:
4.11. მოწყობილობა შედგება დიდი რაოდენობით დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტებისაგან, დროთა განმავლობაში თითოეული ელემენტის გაუმართაობის იგივე ძალიან მცირე ალბათობით. ტ. იპოვეთ უარის საშუალო რაოდენობა დროთა განმავლობაში ტელემენტები, თუ ალბათობა იმისა, რომ ერთი ელემენტი მაინც ჩავარდება ამ დროის განმავლობაში არის 0,98.
გამოსავალი. იმ ადამიანთა რაოდენობა, ვინც დროთა განმავლობაში უარი თქვა ტელემენტები - შემთხვევითი ცვლადი X, რომელიც ნაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით, ვინაიდან ელემენტების რაოდენობა დიდია, ელემენტები დამოუკიდებლად მუშაობენ და თითოეული ელემენტის გაუმართაობის ალბათობა მცირეა. მოვლენის შემთხვევების საშუალო რაოდენობა ნტესტები ტოლია
მ(X) = n.p..
რადგან მარცხის ალბათობა TOელემენტებიდან ნგამოხატული ფორმულით
რ ნ
(TO)
,
სადაც = n.p., მაშინ ალბათობა იმისა, რომ არც ერთი ელემენტი არ ჩავარდება დროის განმავლობაში ტ მივიღებთ K = 0:
რ ნ (0)= ე - .
ამიტომ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა დროშია ტ მინიმუმ ერთი ელემენტი მარცხდება - უდრის 1-ს - ე - . პრობლემის პირობების მიხედვით, ეს ალბათობა არის 0,98. მდებარეობა Eq.
1 - ე - = 0,98,
ე - = 1 – 0,98 = 0,02,
აქედან = -ლნ 0,02 4.
ასე რომ, დროულად ტმოწყობილობის მუშაობა, საშუალოდ 4 ელემენტი ვერ იქნება.
4.12 . კამათლები იყრება მანამ, სანამ "ორი" არ გამოვა. იპოვეთ სროლების საშუალო რაოდენობა.
გამოსავალი. შემოვიტანოთ შემთხვევითი ცვლადი X– ტესტების რაოდენობა, რომელიც უნდა ჩატარდეს ჩვენთვის საინტერესო მოვლენის დადგომამდე. იმის ალბათობა X= 1 უდრის ალბათობას, რომ კამათლის ერთი სროლისას გამოჩნდეს „ორი“, ე.ი.
რ(X= 1) = 1/6.
ღონისძიება X= 2 ნიშნავს, რომ პირველ ტესტზე "ორი" არ გამოვიდა, მაგრამ მეორეზე ეს მოხდა. მოვლენის ალბათობა X= 2 გვხვდება დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების წესით:
რ(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
ანალოგიურად,
რ(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, რ(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
და ა.შ. ჩვენ ვიღებთ ალბათობის განაწილების სერიას:
|
(5/6) რომ ∙1/6 |
სროლების (ცდების) საშუალო რაოდენობა არის მათემატიკური მოლოდინი
მ(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)
მოდი ვიპოვოთ სერიის ჯამი:
TOგ
TO -1
= (
გ TO)
გ
.
აქედან გამომდინარე,
მ(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
ამრიგად, თქვენ უნდა გააკეთოთ კამათლის საშუალოდ 6 სროლა, სანამ "ორი" არ გამოვა.
4.13. დამოუკიდებელი ტესტები ტარდება მოვლენის იგივე ალბათობით აყველა ტესტში. იპოვნეთ მოვლენის დადგომის ალბათობა ა, თუ სამ დამოუკიდებელ ცდაში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის დისპერსია არის 0,63 .
გამოსავალი.სამ ცდაში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა შემთხვევითი ცვლადია X, განაწილებული ბინომალური კანონის მიხედვით. დამოუკიდებელ ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის ვარიაცია (თითოეულ საცდელში მოვლენის ერთი და იგივე ალბათობით) ტოლია ცდების რაოდენობის ნამრავლს მოვლენის დადგომისა და არ მომხდარის ალბათობით. (პრობლემა 4.6)
დ(X) = npq.
პირობით ნ = 3, დ(X) = 0.63, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ რიპოვეთ განტოლებიდან
0,63 = 3∙რ(1-რ),
რომელსაც აქვს ორი გამოსავალი რ 1 = 0.7 და რ 2 = 0,3.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ინდივიდუალური, იზოლირებული მნიშვნელობები გარკვეული ალბათობით.
მაგალითი 1.რამდენჯერ გამოჩნდება გერბი სამ მონეტის გადაგდებაში. შესაძლო მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3, მათი ალბათობა ტოლია შესაბამისად:
P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .
მაგალითი 2.წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა მოწყობილობაში, რომელიც შედგება ხუთი ელემენტისგან. შესაძლო მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3, 4, 5; მათი ალბათობა დამოკიდებულია თითოეული ელემენტის სანდოობაზე.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xშეიძლება მიცემული იყოს განაწილების სერიით ან განაწილების ფუნქციით (ინტეგრალური განაწილების კანონი).
განაწილებასთან ახლოს არის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნაკრები Xმედა მათი შესაბამისი ალბათობები რi = P(X = xმე), ის შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის სახით:
| x i | x n |
|||
| p i | р n |
ამ შემთხვევაში, ალბათობა რმედააკმაყოფილოს პირობა
რმე= 1 იმიტომ 
სად არის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა ნშეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.
განაწილების სერიის გრაფიკული წარმოდგენა განაწილების მრავალკუთხედი ეწოდება . მის ასაგებად, შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები ( Xმე) გამოსახულია x ღერძის გასწვრივ და ალბათობები რმე- ორდინატთა ღერძის გასწვრივ; ქულები ამეკოორდინატებით ( Xმე, рმე) დაკავშირებულია გატეხილი ხაზებით.
განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადი Xფუნქციას უწოდებენ ფ(X), რომლის ღირებულება წერტილში Xუდრის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას Xიქნება ამ მნიშვნელობაზე ნაკლები X, ანუ
F(x) = P(X< х).
ფუნქცია ფ(X) ამისთვის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიგამოითვლება ფორმულით
ფ(X) = რმე , (1.10.1)
სადაც შეჯამება ხორციელდება ყველა სიდიდეზე მე, რისთვისაც Xმე< х.
მაგალითი 3. 100 პროდუქტის შემცველი პარტიიდან, რომელთაგან 10 დეფექტურია, შემთხვევითი წესით შეირჩევა ხუთი პროდუქტი მათი ხარისხის შესამოწმებლად. შექმენით შემთხვევითი რიცხვის განაწილების სერია Xდეფექტური პროდუქტები, რომლებიც შეიცავს ნიმუშს.
გამოსავალი. ვინაიდან ნიმუშში დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი 0-დან 5-მდე ჩათვლით, მაშინ შესაძლო მნიშვნელობები Xმეშემთხვევითი ცვლადი Xთანაბარია:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
ალბათობა რ(X = k) რომ ნიმუში შეიცავს ზუსტად კ(კ = 0, 1, 2, 3, 4, 5) დეფექტური პროდუქტები, უდრის
P (X = k) = .
ამ ფორმულის გამოყენებით გამოთვლების შედეგად 0.001 სიზუსტით ვიღებთ:
რ 1 = პ(X = 0) @ 0,583;რ 2 = პ(X = 1) @ 0,340;რ 3 = პ(X = 2) @ 0,070;
რ 4 = პ(X = 3) @ 0,007;რ 5 = პ(X= 4) @ 0;რ 6 = პ(X = 5) @ 0.
თანასწორობის გამოყენება შესამოწმებლად რკ=1, ჩვენ ვზრუნავთ, რომ გამოთვლები და დამრგვალება მოხდა სწორად (იხ. ცხრილი).
| x i | ||||||
| p i |
მაგალითი 4.მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია X :
| x i | |||||
| p i |
იპოვეთ ალბათობის განაწილების ფუნქცია ფ(X) ამ შემთხვევითი ცვლადის და ააშენეთ იგი.
გამოსავალი. თუ Xმაშინ 10 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0;
თუ 10<Xმაშინ 20 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 ;
თუ 20<Xმაშინ 30 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
თუ 30<Xმაშინ 40 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
თუ 40<Xმაშინ 50 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
თუ X> 50, მაშინ ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
განაწილების კანონი და მახასიათებლები
შემთხვევითი ცვლადები
შემთხვევითი ცვლადები, მათი კლასიფიკაცია და აღწერის მეთოდები.
შემთხვევითი სიდიდე არის სიდიდე, რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ერთი ან მეორე მნიშვნელობა, მაგრამ რომელიც წინასწარ არ არის ცნობილი. მაშასადამე, შემთხვევითი ცვლადისთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ მხოლოდ მნიშვნელობები, რომელთაგან ერთ-ერთს ის აუცილებლად მიიღებს ექსპერიმენტის შედეგად. შემდეგში ჩვენ ამ მნიშვნელობებს დავარქმევთ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს. ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადი რაოდენობრივად ახასიათებს ექსპერიმენტის შემთხვევით შედეგს, ის შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითი მოვლენის რაოდენობრივ მახასიათებლად.
შემთხვევითი ცვლადები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით, მაგალითად, X..Y..Z და მათი შესაძლო მნიშვნელობები შესაბამისი მცირე ასოებით.
არსებობს სამი ტიპის შემთხვევითი ცვლადი:
დისკრეტული; უწყვეტი; შერეული.
დისკრეტულიარის შემთხვევითი ცვლადი, რომლის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა ქმნის თვლადი სიმრავლეს. თავის მხრივ, სიმრავლეს, რომლის ელემენტებიც შეიძლება იყოს დანომრილი, ეწოდება თვლადი. სიტყვა "დისკრეტული" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან discretus, რაც ნიშნავს "შეწყვეტილს, რომელიც შედგება ცალკეული ნაწილებისგან".
მაგალითი 1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის დეფექტური X ნაწილების რაოდენობა nპროდუქტების პარტიაში. მართლაც, ამ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები არის მთელი რიცხვების სერია 0-დან n-მდე.
მაგალითი 2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის გასროლების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე. აქ, როგორც მაგალით 1-ში, შესაძლებელია შესაძლო მნიშვნელობების დანომრვა, თუმცა შემზღუდველ შემთხვევაში შესაძლო მნიშვნელობა არის უსასრულოდ დიდი რიცხვი.
უწყვეტიარის შემთხვევითი ცვლადი, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებს რიცხვითი ღერძის გარკვეულ ინტერვალს, რომელსაც ზოგჯერ უწოდებენ ამ შემთხვევითი ცვლადის არსებობის ინტერვალს. ამრიგად, არსებობის ნებისმიერ სასრულ ინტერვალზე, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოდ დიდია.
მაგალითი 3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი არის საწარმოს ყოველთვიური ელექტროენერგიის მოხმარება.
მაგალითი 4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი არის სიმაღლის გაზომვის შეცდომა სიმაღლემეტრის გამოყენებით. სიმაღლის მოქმედების პრინციპიდან ვიგებთ, რომ შეცდომა 0-დან 2 მ-მდეა, ამიტომ ამ შემთხვევითი ცვლადის არსებობის ინტერვალი არის 0-დან 2 მ-მდე.
შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონი.
შემთხვევითი ცვლადი ითვლება სრულად დაზუსტებულად, თუ მისი შესაძლო მნიშვნელობები მითითებულია რიცხვით ღერძზე და დადგენილია განაწილების კანონი.
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის მიმართება, რომელიც ამყარებს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და შესაბამის ალბათობებს შორის.
შემთხვევით ცვლადზე ამბობენ, რომ განაწილებულია მოცემული კანონის მიხედვით, ან ექვემდებარება მოცემული განაწილების კანონს. განაწილების კანონებად გამოიყენება რამდენიმე ალბათობა, განაწილების ფუნქცია, ალბათობის სიმკვრივე და დამახასიათებელი ფუნქცია.
განაწილების კანონი იძლევა შემთხვევითი ცვლადის სრულ სავარაუდო აღწერას. განაწილების კანონის მიხედვით, ექსპერიმენტამდე შეიძლება ვიმსჯელოთ, შემთხვევითი ცვლადის რომელი შესაძლო მნიშვნელობები გამოჩნდება უფრო ხშირად და რომელი ნაკლებად.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, განაწილების კანონი შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის სახით, ანალიტიკურად (ფორმულის სახით) და გრაფიკულად.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის მითითების უმარტივესი ფორმაა ცხრილი (მატრიცა), რომელიც ზრდის მიმდევრობით ჩამოთვლის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას და მათ შესაბამის ალბათობას, ე.ი.
ასეთ ცხრილს ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია. 1
მოვლენები X 1, X 2,..., X n, რომელიც შედგება იმაში, რომ ტესტის შედეგად, შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს x 1, x 2,... x n მნიშვნელობებს, შესაბამისად, არის არათანმიმდევრული და ერთადერთი შესაძლო (რადგან ცხრილში მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა), ე.ი. შექმენით სრული ჯგუფი. მაშასადამე, მათი ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს. ამრიგად, ნებისმიერი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი
(ეს ერთეული რატომღაც განაწილებულია შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს შორის, აქედან გამომდინარეობს ტერმინი "განაწილება").
განაწილების სერია შეიძლება გამოისახოს გრაფიკულად, თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო მათი შესაბამისი ალბათობები გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. მიღებული წერტილების შეერთება ქმნის გაწყვეტილ ხაზს, რომელსაც უწოდებენ ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედს ან მრავალკუთხედს (ნახ. 1).
მაგალითიგათამაშებაში შედის: ავტომობილი 5000 დენ. ერთეული, 4 ტელევიზორი 250 დენ. ერთეული, 5 ვიდეო ჩამწერი 200 დენ. ერთეულები 7 დღის განმავლობაში სულ 1000 ბილეთი იყიდება. ერთეულები შეადგინეთ განაწილების კანონი ლატარიის მონაწილის მიერ მიღებული წმინდა მოგებისთვის, რომელმაც იყიდა ერთი ბილეთი.
გამოსავალი. X შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები - წმინდა მოგება თითო ბილეთზე - უდრის 0-7 = -7 ფულს. ერთეულები (თუ ბილეთი არ მოიგო), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 დენ. ერთეულები (თუ ბილეთს აქვს VCR, ტელევიზორის ან მანქანის მოგება, შესაბამისად). თუ გავითვალისწინებთ, რომ 1000 ბილეთიდან არამომგებელთა რაოდენობაა 990, ხოლო მითითებული მოგება არის შესაბამისად 5, 4 და 1 და ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენებით ვიღებთ.
განმარტება 1
შემთხვევით ცვლადს $X$ ეწოდება დისკრეტული (შეწყვეტილი), თუ მისი მნიშვნელობების სიმრავლე არის უსასრულო ან სასრული, მაგრამ თვლადი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაოდენობას ეწოდება დისკრეტული, თუ მისი მნიშვნელობები შეიძლება იყოს დანომრილი.
შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება აღწერილი იყოს განაწილების კანონის გამოყენებით.
$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის სახით, რომლის პირველი სტრიქონი მიუთითებს შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას ზრდადი თანმიმდევრობით, ხოლო მეორე სტრიქონი შეიცავს ამის შესაბამის ალბათობას. ღირებულებები:
სურათი 1.
სადაც $р1+ р2+ ... + рn = 1$.
ეს მაგიდა არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მახლობლად.
თუ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სიმრავლე უსასრულოა, მაშინ სერია $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ იყრის თავს და მისი ჯამი $1$-ის ტოლი იქნება.
$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფიკულად, რისთვისაც კოორდინატთა სისტემაში აგებულია გატეხილი ხაზი (მართკუთხა), რომელიც თანმიმდევრულად აკავშირებს წერტილებს კოორდინატებთან $(xi;pi), i=1,2, ... n$. ხაზი, რომელიც მივიღეთ, ჰქვია განაწილების პოლიგონი.
სურათი 2.
$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ანალიტიკურად (ფორმულის გამოყენებით):
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
ალბათობის თეორიაში მრავალი პრობლემის გადაჭრისას აუცილებელია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მუდმივზე გამრავლების ოპერაციები, ორი შემთხვევითი ცვლადის დამატება, მათი გამრავლება, მათი სიმძლავრით ჩანაცვლება. ამ შემთხვევებში აუცილებელია დაიცვან შემდეგი წესები შემთხვევითი დისკრეტული რაოდენობებისთვის:
განმარტება 3
გამრავლებადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის $X$ მუდმივი $K$ არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $Y=KX,$ რომელიც განისაზღვრება ტოლობებით: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ მარცხენა(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline (1,\ n).$
განმარტება 4
იწოდება ორი შემთხვევითი ცვლადი $x$ და $y$ დამოუკიდებელითუ ერთ-ერთი მათგანის განაწილების კანონი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა შესაძლო მნიშვნელობებზეა შეძენილი მეორე რაოდენობა.
განმარტება 5
თანხაორ დამოუკიდებელ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ და $Y$ ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი $Z=X+Y,$ განისაზღვრება ტოლობებით: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
განმარტება 6
გამრავლებაორ დამოუკიდებელ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ და $Y$ ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი $Z=XY,$ განისაზღვრება ტოლობებით: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ მარცხენა(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.
გავითვალისწინოთ, რომ ზოგიერთი პროდუქტი $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი. ამ შემთხვევაში პროდუქტის დამატების ალბათობა უდრის შესაბამისი ალბათობების ჯამს.
მაგალითად, თუ $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, მაშინ $x_2y_3$ (ან იგივე $x_5y_7$) ალბათობა იქნება $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 $
ზემოაღნიშნული ასევე ეხება თანხას. თუ $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, მაშინ ალბათობა $x_1+\ y_2$ (ან იგივე $x_4+\ y_6$) იქნება $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $
შემთხვევითი ცვლადები $X$ და $Y$ მითითებულია განაწილების კანონებით:
სურათი 3.
სადაც $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ მაშინ $X+Y$ ჯამის განაწილების კანონი ექნება ფორმას
სურათი 4.
და $XY$ პროდუქტის განაწილების კანონს ექნება ფორმა
სურათი 5.
შემთხვევითი ცვლადის სრული აღწერა მოცემულია აგრეთვე განაწილების ფუნქციით.
გეომეტრიულად, განაწილების ფუნქცია აიხსნება, როგორც ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც წარმოდგენილია რიცხვით წრფეზე $x$ წერტილის მარცხნივ მდებარე წერტილით.
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
ნ
