Paprastai tiesinė lygtis yra tokia:

Lygtis turi sprendimą: jei bent vienas iš nežinomųjų koeficientų skiriasi nuo nulio. Šiuo atveju bet koks -matmenų vektorius vadinamas lygties sprendiniu, jei, pakeičiant jo koordinates, lygtis tampa tapatybe.

Išspręstos lygčių sistemos bendrosios charakteristikos

20.1 pavyzdys

Apibūdinkite lygčių sistemą.

Sprendimas:

1. Ar yra prieštaringa lygtis?(Jei koeficientai, šiuo atveju lygtis turi formą: ir vadinama prieštaringas.)

• Jei sistemoje yra kažkas prieštaringo, tokia sistema yra nenuosekli ir neturi sprendimo.

2. Raskite visus leidžiamus kintamuosius. (Nežinomasis vadinamasleidžiama lygčių sistemai, jeigu ji įtraukta į vieną iš sistemos lygčių su koeficientu +1, bet neįtraukta į likusias lygtis (t.y. įtraukta su koeficientu, lygiu nuliui).

3. Ar lygčių sistema išspręsta? (Lygčių sistema vadinama išspręsta, jei kiekvienoje sistemos lygtyje yra išspręstas nežinomasis, tarp kurių nėra sutampančių)

Išspręsti nežinomieji, paimti iš kiekvienos sistemos lygties, susidaro visas išspręstų nežinomųjų dalykų rinkinys sistemos. (mūsų pavyzdyje tai yra)

Taip pat vadinami leidžiami nežinomieji, įtraukti į pilną rinkinį pagrindinis(), ir neįeina į rinkinį - Laisvas ().

Bendruoju atveju išspręsta lygčių sistema turi tokią formą:

Šiame etape svarbiausia suprasti, kas tai yra išspręsta nežinoma(įskaičiuota į bazę ir nemokama).

Bendrieji ypatumai Pagrindiniai sprendimai

Bendras sprendimas Išspręsta lygčių sistema yra išspręstų nežinomųjų išraiškų laisvaisiais terminais ir laisvaisiais nežinomaisiais visuma:

Privatus sprendimas vadinamas sprendiniu, gautu iš bendro sprendinio, skirto konkrečioms laisvųjų kintamųjų ir nežinomųjų verčių reikšmėms.

Bazinis sprendimas yra specialus sprendimas, gautas iš bendrojo laisvųjų kintamųjų nulinėms reikšmėms.

• Bazinis sprendimas (vektorius) vadinamas išsigimęs, jei jo nenulinių koordinačių skaičius yra mažesnis už leidžiamų nežinomųjų skaičių.
• Pagrindinis sprendimas vadinamas neišsigimęs, jei jo nenulinių koordinačių skaičius yra lygus į pilną aibę įtrauktos sistemos leidžiamų nežinomųjų skaičiui.

Teorema (1)

Išspręsta lygčių sistema visada yra nuosekli(nes turi bent vieną sprendimą); Be to, jei sistemoje nėra laisvų nežinomųjų,(ty lygčių sistemoje visos leidžiamos yra įtrauktos į bazę) tada jis apibrėžiamas(turi unikalų sprendimą); jei yra bent vienas laisvas kintamasis, tai sistema neapibrėžta(turi begalinį sprendinių skaičių).

1 pavyzdys. Raskite bendrąjį, pagrindinį ir bet kurį konkretų lygčių sistemos sprendimą:

Sprendimas:

1. Ar tikriname, ar sistema autorizuota?

• Sistema išspręsta (kadangi kiekvienoje lygtyje yra išspręstas nežinomasis)

2. Į aibę įtraukiame leidžiamus nežinomuosius – po vieną iš kiekvienos lygties.

3. Užrašome bendrą sprendimą priklausomai nuo to, kokius leidžiamus nežinomus įtraukėme į rinkinį.

4. Konkretaus sprendimo paieška. Norėdami tai padaryti, laisvus kintamuosius, kurių neįtraukėme į rinkinį, prilyginame savavališkais skaičiais.

Atsakymas: privatus sprendimas(vienas iš variantų)

5. Pagrindinio sprendimo paieška. Norėdami tai padaryti, laisvuosius kintamuosius, kurių neįtraukėme į rinkinį, prilyginame nuliui.

Elementariosios tiesinių lygčių transformacijos

Tiesinių lygčių sistemos redukuojamos į lygiavertes išspręstas sistemas naudojant elementariąsias transformacijas.

Teorema (2)

Jei bet kuris padauginkite sistemos lygtį iš kokio nors nulinio skaičiaus, o likusias lygtis palikite nepakeistas, tada . (tai yra, jei padauginsite kairę ir dešinę lygties puses iš to paties skaičiaus, gausite lygtį, lygiavertę šiai)

Teorema (3)

Jeigu prie bet kurios sistemos lygties pridėkite kitą, o visas kitas lygtis palikite nepakeistas gauname šiai lygiavertę sistemą. (tai yra, jei pridėsite dvi lygtis (pridėdami jų kairę ir dešinę puses), gausite lygtį, lygiavertę duomenims)

Teoremų (2 ir 3) išvados

Jeigu prie lygties, padaugintos iš tam tikro skaičiaus, pridėkite kitą lygtį, o visas kitas lygtis palikite nepakeistas, tada gauname šiai lygiavertę sistemą.

Sistemos koeficientų perskaičiavimo formulės

Jei turime lygčių sistemą ir norime ją paversti išspręsta lygčių sistema, Jordano-Gausso metodas mums tai padės.

Jordano transformacija su sprendžiamuoju elementu leidžia gauti išspręstą nežinomąjį lygčių sistemai lygtyje su skaičiumi . (2 pavyzdys).

Jordano transformaciją sudaro dviejų tipų elementarios transformacijos:

Tarkime, kad nežinomąjį žemesnėje lygtyje norime padaryti išspręstu nežinomu. Norėdami tai padaryti, turime padalyti iš , kad suma būtų .

2 pavyzdys Perskaičiuokime sistemos koeficientus

Dalijant lygtį su skaičiumi iš , jos koeficientai perskaičiuojami naudojant formules:

Norėdami išskirti iš lygties su skaičiumi, turite padauginti lygtį iš skaičiaus ir pridėti prie šios lygties.

Teorema (4) Dėl sistemos lygčių skaičiaus mažinimo.

Jei lygčių sistemoje yra triviali lygtis, tada ją galima pašalinti iš sistemos ir gaunama sistema, lygiavertė pradinei.

(5) teorema apie lygčių sistemos nesuderinamumą.

Jei lygčių sistemoje yra nenuosekli lygtis, ji yra nenuosekli.

Jordano-Gausso metodo algoritmas

Lygčių sistemų sprendimo Jordano-Gauss metodu algoritmas susideda iš kelių panašių žingsnių, kurių kiekviename veiksmai atliekami tokia tvarka:

1. Patikrina, ar sistema nenuosekli. Jei sistemoje yra nenuosekli lygtis, ji yra nenuosekli.
2. Patikrinama galimybė sumažinti lygčių skaičių. Jei sistemoje yra triviali lygtis, ji perbraukiama.
3. Jei lygčių sistema išspręsta, užrašykite bendrą sistemos sprendimą ir, jei reikia, konkrečius sprendinius.
4. Jei sistema neišspręsta, tada lygtyje, kurioje nėra išspręsto nežinomojo, pasirenkamas sprendžiamasis elementas ir su šiuo elementu atliekama Jordano transformacija.
5. Tada grįžkite į 1 punktą

3 pavyzdys Išspręskite lygčių sistemą naudodami Jordano-Gausso metodą.

Rasti: du bendrieji ir du atitinkami pagrindiniai sprendiniai

Sprendimas:

Skaičiavimai pateikti žemiau esančioje lentelėje:

Lentelės dešinėje yra lygčių veiksmai. Rodyklės rodo, prie kurios lygties pridedama lygtis su skiriamuoju elementu, padauginta iš tinkamo koeficiento.

Pirmosiose trijose lentelės eilutėse yra nežinomųjų ir pradinės sistemos dešiniųjų pusių koeficientai. Pirmosios Jordano transformacijos su skiriamuoju elementu, lygiu vienetui, rezultatai pateikiami 4, 5, 6 eilutėse. Antrosios Jordano transformacijos su skiriamuoju elementu, lygiu (-1), rezultatai pateikiami 7, 8, 9 eilutėse. Kadangi trečioji lygtis yra triviali, ją galima praleisti.

Apsvarstykite m tiesinių lygčių sistemą, kurioje yra n kintamųjų

(1)

Šią sistemą galima trumpai parašyti taip:

Arba matricos forma: Ax = B.

Tiesinio programavimo uždaviniuose nagrinėjamos neapibrėžtos lygčių sistemos, t.y. turintis begalinį sprendinių skaičių. Tada sistemos matricos rangas r

,
mažiau nei kintamųjų skaičius: rn. Tai reiškia, kad didžiausias tiesiškai nepriklausomų lygčių skaičius (1) yra lygus r. Laikysime, kad sistemoje (1) tiesiškai nepriklausomų lygčių skaičius lygus m, t.y. r = m. Iš algebros žinoma, kad šiuo atveju yra m kintamųjų, koeficientų kurios sistemoje (1) sudaro matricą su nuliniu determinantu. Toks determinantas vadinamas baziniu minoriniu, o atitinkami kintamieji – baziniais. Likę n – m kintamieji vadinami laisvaisiais kintamaisiais. Pagrindiniai kintamieji gali būti išreikšti laisvais kintamaisiais naudojant sistemos (1) lygtis, priskirti savavališkas reikšmes laisviesiems kintamiesiems ir rasti pagrindinių kintamųjų reikšmes naudojant Cramerio formules. Rezultatas yra vienas iš sistemos (1) sprendimų.

1 apibrėžimas. Tiesinių lygčių sistemos (1) sprendimas, gautas su nulinėmis laisvųjų kintamųjų reikšmėmis, vadinamas baziniu sprendimu.

Pagrindiniai kintamieji, taigi ir nuliniai pagrindinio sprendinio komponentai, atitinka tiesiškai nepriklausomas tiesinių lygčių sistemos koeficientų matricos stulpelius. Tai leidžia mums pateikti kitokį tiesinių lygčių sistemos pagrindinio sprendimo apibrėžimą.

2 apibrėžimas. Pagrindinis tiesinių lygčių sistemos sprendinys yra šios sistemos sprendimas, kurio nuliniai komponentai atitinka tiesiškai nepriklausomas šios sistemos koeficientų matricos stulpelius.

Pagrindiniai kintamieji gali būti skirtingos grupės, turinčios m kintamųjų iš n kintamųjų, nurodytų (1). Didžiausias galimas būdų, kaip pasirinkti m kintamųjų iš rinkinio, kuriame yra n kintamųjų, skaičius yra lygus derinių skaičiui . Tačiau gali būti atvejų, kai iš pasirinktų m kintamųjų sistemoje (1) matricos, sudarytos iš koeficientų, atitinkamas determinantas yra lygus nuliui. Todėl pagrindinių kintamųjų grupių skaičius neviršija . Kiekvienai pagrindinių kintamųjų grupei galima rasti atitinkamą pagrindinį sistemos (1) sprendimą. Iš aukščiau pateikto samprotavimo teorema seka:

Teorema. Neapibrėžtos sistemos (1), kurioje yra sistemos matricos rangas, pagrindinių sprendinių skaičiusr = m < nneviršija .

Pavyzdys. Raskite visus pagrindinius (2) lygčių sistemos sprendinius:

(2)

Sprendimas. Akivaizdu, kad r=m=2, n=4. Bendras pagrindinių kintamųjų grupių skaičius yra ne didesnis kaip = 6. Tačiau sistemos matricos kintamųjų koeficientų pirma, antra ir ketvirta stulpeliai yra proporcingi, todėl antros eilės determinantai, sudaryti iš bet kurių dviejų iš šių trijų stulpelių koeficientų, yra lygūs nuliui. Likę rinkiniai:
,
Ir
.

Kintamųjų rinkiniui
determinantas, sudarytas iš jų koeficientų d = = –2 0. Vadinasi, šie kintamieji gali būti laikomi pagrindiniais kintamaisiais,
- Laisvas. Laisviesiems kintamiesiems priskirkime nulines reikšmes:
Mes išsprendžiame sistemą:

(3)
, kur
.

Gauso metodas turi nemažai trūkumų: neįmanoma žinoti, ar sistema yra nuosekli, ar ne, kol nėra atliktos visos Gauso metodui būtinos transformacijos; Gauso metodas netinka sistemoms su raidžių koeficientais.

Panagrinėkime kitus tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdus. Šie metodai naudoja matricos rango sąvoką ir sumažina bet kurios nuoseklios sistemos sprendimą iki sistemos, kuriai taikoma Cramerio taisyklė, sprendimu.

1 pavyzdys. Raskite bendrą šios tiesinių lygčių sistemos sprendimą, naudodami pagrindinę redukuotos vienalytės sistemos sprendinių sistemą ir konkretų nehomogeninės sistemos sprendimą.

1. Matricos sudarymas A ir išplėstinė sistemos matrica (1)

2. Ištirkite sistemą (1) už bendrumą. Norėdami tai padaryti, randame matricų eiles A ir https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jei paaiškės, kad , tada sistema (1) nesuderinamas. Jei tai gausime , tada ši sistema yra nuosekli ir mes ją išspręsime. (Suderinamumo tyrimas pagrįstas Kronecker-Capelli teorema).

a. Mes randame rA.

Rasti rA, mes nuosekliai nagrinėsime matricos pirmosios, antrosios ir kt. A ir juos supančius nepilnamečius.

M1=1≠0 (imame 1 iš viršutinio kairiojo matricos kampo A).

Mes ribojamės M1 antroji šios matricos eilutė ir antras stulpelis. . Mes tęsiame sieną M1 antroji eilutė ir trečias stulpelis..gif" width="37" height="20 src=">. Dabar apribojame ne nulį mažą M2′ Antras užsakymas.

Mes turime: (nes pirmi du stulpeliai yra vienodi)

(kadangi antroji ir trečioji eilutės yra proporcingos).

Mes tai matome rA=2, a yra matricos pagrindinis minoras A.

b. Mes randame.

Gana elementari minor M2′ matricos A kraštinė su laisvų terminų stulpeliu ir visomis eilutėmis (turime tik paskutinę eilutę).

. Tai seka M3′′ išlieka pagrindine matricos minora https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Nes M2′- matricos pagrindinis minoras A sistemos (2) , tada ši sistema yra lygiavertė sistemai (3) , susidedantis iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių (2) (dėl M2′ yra pirmose dviejose A matricos eilutėse).

(3)

Nuo pagrindinės nepilnametės https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Šioje sistemoje yra du laisvi nežinomieji ( x2 Ir x4 ). Štai kodėl FSR sistemos (4) susideda iš dviejų sprendimų. Norėdami juos rasti, priskiriame nemokamus nežinomuosius (4) vertybės pirmiausia x2=1 , x4=0 , ir tada - x2=0 , x4=1 .

At x2=1 , x4=0 mes gauname:

.

Ši sistema jau turi vienintelis dalykas sprendimas (jį galima rasti naudojant Cramerio taisyklę arba bet kurį kitą metodą). Iš antrosios lygties atėmę pirmąją, gauname:

Jos sprendimas bus x1= -1 , x3=0 . Atsižvelgiant į vertybes x2 Ir x4 , kurį pridėjome, gauname pirmąjį pagrindinį sistemos sprendimą (2) : .

Dabar mes tikime (4) x2=0 , x4=1 . Mes gauname:

.

Šią sistemą išsprendžiame naudodami Cramerio teoremą:

.

Gauname antrąjį pagrindinį sistemos sprendimą (2) : .

Sprendimai β1 , β2 ir pasidaryti FSR sistemos (2) . Tada jos bendras sprendimas bus

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Čia C1 , C2 – savavališkos konstantos.

4. Suraskime vieną privatus sprendimas nevienalytė sistema(1) . Kaip pastraipoje 3 , vietoj sistemos (1) Panagrinėkime lygiavertę sistemą (5) , susidedantis iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių (1) .

(5)

Perkelkime laisvuosius nežinomuosius į dešinę pusę x2 Ir x4.

(6)

Duokime nemokamų nežinomųjų x2 Ir x4 savavališkos vertės, pvz. x2=2 , x4=1 ir įdėkite juos (6) . Paimkime sistemą

Ši sistema turi unikalų sprendimą (nuo jo determinanto M2′0). Išspręsdami ją (naudodami Cramerio teoremą arba Gauso metodą), gauname x1=3 , x3=3 . Atsižvelgiant į laisvųjų nežinomųjų vertybes x2 Ir x4 , mes gauname konkretus nehomogeninės sistemos sprendimas(1)α1=(3,2,3,1).

5. Dabar belieka tai užsirašyti nehomogeninės sistemos bendrasis sprendimas α(1) : ji lygi sumai privatus sprendimasši sistema ir bendras jos redukuotos homogeninės sistemos sprendimas (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Tai reiškia: (7)

6. Apžiūra. Norėdami patikrinti, ar teisingai išsprendėte sistemą (1) , mums reikia bendro sprendimo (7) pakaitalas (1) . Jei kiekviena lygtis virsta tapatybe ( C1 Ir C2 turi būti sunaikinti), tada sprendimas rastas teisingai.

Mes pakeisime (7) pavyzdžiui, tik paskutinė sistemos lygtis (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Gauname: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kur –1=–1. Gavome tapatybę. Tai darome su visomis kitomis sistemos lygtimis (1) .

komentuoti. Patikrinimas paprastai yra gana sudėtingas. Galima rekomenduoti tokį „dalinį patikrinimą“: bendrame sistemos sprendime (1) priskirti kai kurias vertes savavališkoms konstantoms ir gautą dalinį sprendimą pakeisti tik į išmestas lygtis (t. y. į tas lygtis iš (1) , kurie nebuvo įtraukti (5) ). Jei gausite tapatybes, tada labiau tikėtina, sisteminis sprendimas (1) rasta teisingai (tačiau toks patikrinimas nesuteikia visiškos teisingumo garantijos!). Pavyzdžiui, jei į (7) įdėti C2=- 1 , C1=1, tada gauname: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Pakeitę paskutinę sistemos (1) lygtį, turime: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.y. –1=–1. Gavome tapatybę.

2 pavyzdys. Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą (1) , išreiškiantis pagrindinius nežinomuosius laisvais.

Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdys, sudaryti matricas A ir https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> šių matricų. Dabar paliekame tik tas sistemos lygtis (1) , kurių koeficientai yra įtraukti į šį pagrindinį mažąjį (t. y. turime dvi pirmąsias lygtis) ir apsvarstykite iš jų susidedančią sistemą, lygiavertę sistemai (1).

Perkelkime laisvuosius nežinomuosius į dešiniąsias šių lygčių puses.

sistema (9) Sprendžiame Gauso metodu, dešiniąsias puses laikant laisvais terminais.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

2 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

4 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

5 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

6 variantas.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Šis internetinis skaičiuotuvas randa bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą, naudodamas Jordano-Gausso metodą. Pateikiamas išsamus sprendimas. Norėdami apskaičiuoti, pasirinkite lygčių skaičių ir kintamųjų skaičių. Tada įveskite duomenis į langelius ir spustelėkite mygtuką "Apskaičiuoti".

Žemiau rasite teorinę tiesinių lygčių sistemos sprendimo taikant Jordano-Gausso metodą dalį.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Skaičių vaizdavimas:

sveikieji skaičiai ir (arba) bendrosios trupmenos
Sveikieji skaičiai ir (arba) dešimtainiai

Vietų skaičius po kablelio skyriklio

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Jordano-Gausso metodas

Jordano-Gausso metodas yra tiesinių lygčių sistemų sprendimo ir atvirkštinės matricos nustatymo metodas. Šis metodas yra Gauso metodo modifikacija.

Pirmasis Jordano-Gausso metodo etapas yra panašus į Gauso metodą (tiesioginis Gauso judėjimas), kurį išsamiai galite peržiūrėti puslapyje „Gausso metodas internete“. Antrasis Jordano-Gausso metodo etapas (atvirkštinis) susideda iš visų tiesinių lygčių sistemos koeficientų matricos elementų nulinimo virš pirmaujančių elementų. Atkreipkite dėmesį, kad čia mes svarstome savavališką tiesinių lygčių sistemą, kurioje kintamųjų skaičius gali būti nelygus apribojimų skaičiui.

Apsvarstykite šią tiesinių lygčių sistemą:

(1)

Parašykime sistemą (1) matricos forma:

Ax=b

(2)

(3)

A- vadinama sistemos koeficientų matrica, b− dešinėje apribojimų pusėje, x− kintamųjų vektorius, kurį reikia rasti. Leiskite reitinguoti ( A)=p.

Sukurkime išplėstinę sistemos matricą:

Jei ,..., yra lygūs nuliui, tai tiesinių lygčių sistema turi sprendimą, bet jei bent vienas iš šių skaičių skiriasi nuo nulio, tai sistema yra nenuosekli. Kitaip tariant, sistema (2) yra nuosekli tada ir tik tada, kai matricos rangas A lygus išplėstinės matricos rangui ( A|b).

Leisti . Tada atvirkštine tvarka, pradedant nuo pagrindinio elemento, taikome atvirkštinį Gauso judėjimą. Atvirkštinio judėjimo esmė – iš naujo nustatyti visus išplėstinės matricos elementus, kurie yra aukščiau už pirmaujančius elementus.

Taigi, iš naujo nustatykime visus stulpelio elementus p, virš elemento. Kadangi ≠0, pridedame eilutes 1,2,... p− 1 su linija p, padaugintas iš atitinkamai.

Išplėstinė matrica bus tokios formos:

Padalinkite kiekvieną eilutę iš atitinkamo pagrindinio elemento (jei yra pirmaujantis elementas):

Tada sprendimą galima parašyti taip:

Matricos įrašymo tipas: Ax=b, Kur

Pažymėkime pagal a ij elementai i-toji eilutė ir j stulpelis.

Pirmas lygmuo. Gauso judėjimas pirmyn

a vienuolika . Norėdami tai padaryti, pridėkite eilutes 2,3 su 1 eilute, padaugintą iš 1/2,-3/2:

Išskirkime virš elemento esančios matricos 3 stulpelio elementus a 33. Norėdami tai padaryti, pridėkite 1, 2 eilutes su 3 eilute, padaugintą atitinkamai iš -3/2, -5/4:

Kiekvieną matricos eilutę padalijame iš atitinkamo pagrindinio elemento (jei yra pagrindinis elementas):

Matricos įrašymo tipas: Ax=b, Kur

Pažymėkime pagal a ij elementai i-toji eilutė ir j stulpelis.

Pirmas lygmuo. Tiesioginis Gauso judėjimas.

Išskirkime po elementu esančios matricos 1 stulpelio elementus a vienuolika . Norėdami tai padaryti, pridėkite eilutes 2,3 su 1 eilute, padaugintą atitinkamai iš 4/3, 5/3:

Antrasis etapas. Gauso apsisukimas

Išskirkime virš elemento esančios matricos 2 stulpelio elementus a 22. Norėdami tai padaryti, pridėkite 1 eilutę su 2 eilute, padauginta iš -3/10:

Išreikškime kintamuosius x 1 , x 2, palyginti su kitais kintamaisiais.

Tada vektorinį sprendimą galima pavaizduoti taip:

,

x 3 yra savavališkas realusis skaičius.

Kur x* - vienas iš nehomogeninės sistemos sprendimų (2) (pavyzdžiui (4)), (E−A+A) sudaro matricos branduolį (nulinę erdvę). A.

Atlikime matricos skeletinį skaidymą (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Kur K n×n−r- rango matrica (Q)=n-r, S n−r×n- rango matrica (S)=n-r.

Tada (13) gali būti parašytas tokia forma:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Kur k=Sz.

Taigi, bendro sprendimo paieškos procedūra tiesinių lygčių sistemos, naudojant pseudoinversinę matricą, gali būti pavaizduotos tokia forma:

1. Pseudoinversinės matricos apskaičiavimas A + .
2. Apskaičiuojame konkretų nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos (2) sprendimą: x*=A + b.
3. Mes patikriname sistemos suderinamumą. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame A.A. + b. Jeigu A.A. + b≠b, tada sistema yra nenuosekli. Kitu atveju tęsiame procedūrą.
4. Išsiaiškinkime E−A+A.
5. Atlieka skeleto irimą E−A + A=Q·S.
6. Sprendimo kūrimas

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas internete

Internetinis skaičiuotuvas leidžia rasti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą su išsamiais paaiškinimais.