FIRT studentai

Grupuoti pagal

Mokytojas

Gadilova F.G.

ĮVADAS………………………………………………………………………………………..…3

1 SKYRIUS. TEORINĖ DALIS

RUNGE-KUTTA METODO ESMĖ…………………………………………………………5

1.2. TIKSLAS IR TAIKYMO SRITIS……………………………10

SKYRIUS2. PRAKTINĖ DALIS

2.1. PROBLEMOS NUSTATYMAS IR PROBLEMOS SPRENDIMO ALGORITMO KŪRIMAS………………………………………………………………………………………………..… …….11

2.2. TECHNINIŲ IR PROGRAMINĖS ĮRANKIŲ SUDĖTIES PASIRINKIMAS……………………………………………………………………………16

2.4. PROGRAMOS BANDYMAS……………………………………………………………18

IŠVADA…………………………………………………………………………19

LITERATŪRA…………………………………………………………………………………20

PROGRAMOS:

PRIEDAS Nr. 1 (PROGRAMŲ SĄRAŠAS)

Įvadas

Kursinio darbo tikslas: parašyti programą įprastos diferencialinės lygties y'=f(x,y),y(a)=y0 apytikriam sprendiniui rasti atkarpoje penktos eilės Runge-Kutta metodu. su nurodytu pastoviu žingsniu.

Norint pasiekti šį tikslą, reikia atlikti šias užduotis:

Apsvarstykite Runge-Kutta metodo esmę.

Tikslas ir apimtis.

Išbandykite programą.

Ši problema susijusi su skaitiniais metodais. Reikia rasti paprastos diferencialinės lygties su pastovia žingsniu h sprendimą.

Problemai išspręsti bus naudojama TurboPascal 7.0 programavimo kalba, nes ši kalba leidžia dirbti su matematinėmis formulėmis, atlikti įvairias matematines operacijas ir veiksmus „Borlando Turbo Pascal“ yra kalbos standarto plėtinys ir turi integruotą aplinką kuris pagreitina ir palengvina programos kūrimo procesą. TurboPascal7.0 programavimo kalba naudoja įvestą adreso operatorių, atvirus masyvus ir eilutes, kurios suteikia vartotojui papildomų galimybių sprendžiant matematinius uždavinius. Matematinėse problemose dažnai reikia diegti skaitinius metodus ir eksperimentiškai ištirti metodų konvergencijos būklę ir greitį. Problemos pareiškimas, kaip taisyklė, pateikia pagrindinę kiekvieno metodo idėją (Euler, Runge-Kutta ir kt.).

Užduotyje naudojamos funkcijos ir jos išvestinės skaičiavimą rekomenduojama suprojektuoti paprogramių pavidalu, kad bet kurią funkciją būtų galima pavaizduoti nekeičiant pačios programos. Klaida, pradinė sąlyga ir algoritmo parametras nurodomi įvestyje. Jei įmanoma, rekomenduojama išbandyti algoritmą su pavyzdžiais, kuriems yra žinomas arba galima rasti analitiškai tikslų sprendimą.

1 skyrius.

1.1.Rungės-Kutta metodo esmė

Runge-Kutta metodas apima keletą kitų, pvz., Eulerio metodą ir Eulerio – Koši metodą.

Runge-Kutta metodai turi šias savybes:

1. Šie metodai yra vieno žingsnio: reikia rasti m+1

informacija apie ankstesnį tašką xmym

2 Jie atitinka Taylor seriją iki eilės h p kai p galia yra skirtinga skirtingiems metodams ir vadinama eilės skaičiumi arba metodo tvarka

3Jiems nereikia skaičiuoti išvestinių išvestinių f(xy) bet jie reikalauja pačios funkcijos skaičiavimas

Pirmiausia panagrinėkime geometrinę konstrukciją ir pagal geometrines analogijas išveskime keletą formuliųPo to gautus rezultatus patvirtinsime analitiškai(Naudojamas analitinis metodas diferencialinės lygties sprendimą pateikia analitinės išraiškos pavidalu; Grafinė metodas, kuris duoda apytikslį sprendimą grafiko pavidalu, kai reikiama funkcija gaunama lentelės pavidalu.)

Tarkime, kad žinome norimos kreivės tašką xmym Tada galime nubrėžti tiesę su polinkio kampo liestine  m =f(x m y m), kuri eis per tašką x m y m  Ši konstrukcija yra parodyta 1 pav., kur kreivė parodo tikslų, bet visiškai nežinomą lygties sprendimą, o tiesė L1 yra sudaryta kaip aprašyta

Tiesės L 1 lygtis atrodo taip: y=y m +y m (x-x m), nes y=f(x m y m) ir be tox m+1 =x m +h, tada lygtis bus forma

y m+1 =y m +h*f(x m y m) 1.1.

Klaida ties x=x m+1 rodoma kaip atkarpa eAkivaizdu, kad tokiu būdu rasta apytikslė vertė atitinka Teiloro serijos išplėtimą iki eilės h, todėl apribojimo paklaida yra lygi e t = Kh 2

Atkreipkite dėmesį, kad nors taškas 1 pav. buvo parodytas kreivėje, iš tikrųjų y m yra apytikslė reikšmė ir nėra tiksliai kreivėje.

Formulė 11 aprašo Eulerio metodą – vieną iš seniausių ir plačiausiai žinomų diferencialinių lygčių skaitmeninės integracijos metodų Atkreipkite dėmesį, kad Eulerio metodas yra vienas iš pirmosios eilės Runge-Kutta metodų

Panagrinėkime pataisytą Eulerio metodą ir modifikuotą Eulerio metodą. Taikant pakoreguotą Eulerio metodą, randame dviejų taškų liestinės kampo vidutinę liestinę: x m y m ir x m +hy m +hy m Paskutinis taškas yra tas pats, kuris Eulerio metodu buvo žymimas x m+1 y m+1  Geometrinį taško x m+1 y m+1 radimo procesą galima atsekti 2 pav. Naudodami Eulerio metodą, randame tašką x m +hy m +hy m, esantį tiesėje L 1 Šiame taške vėl apskaičiuojama liestinėper tašką x m y m gaunama tiesė LGaliausiai. nubrėžiame tiesę Llygiagrečią LTaškui, kurioje tiesė L susikirs su ordinate, atkurta iš x=x m+1 =x m +h ir bus norimas taškas x m+1 y m+1 

Ir dvi Runge-Kutta schemos ketvirta apytikslė tvarka:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį d naudodami ketvirtos eilės Runge-Kutta metodą y/d x = –y, y(0) = 1.

Pagal pirmiau minėtus ryšius nustatome koeficientus:

Sukurkime reikiamos funkcijos reikšmių seką:

Gauto skaitinio argumento reikšmės sprendinio rezultatai x= 10 įvairiuose integravimo etapuose pateiktos lentelėje. 15.2. Trys teisingi žingsnio reikšminiai skaičiai h = 0.25.

15.1 ir 15.2 lentelių palyginimas su tos pačios problemos sprendimais leidžia daryti išvadą, kad didesnis aproksimacijos laipsnis diferencialinė lygtis su skirtumo analogu leidžia mums gauti tikslesnis sprendimas su didesniu žingsniu ir dėl to mažiau žingsnių, tai yra veda į reikalingų išteklių mažinimas KOMPIUTERIS.

Šiandien apytiksliai skaičiavimai atliekami Eulerio metodu, tikslūs skaičiavimai atliekami Runge-Kutta metodu.

16. 16 paskaita.
Prognozavimo ir korekcijos metodai
(iteraciniai metodai)

Anksčiau tyrinėti metodai turėjo vieną svarbią savybę – kiekvienas metodas dažniausiai atitinka tam tikrą tikslumo klasę, kurią žymėjome kaip Oi. Pavyzdžiui, Eulerio metodas turėjo pirmąją tikslumo klasę O 1 . Tai reiškė, kad žingsniui sumažėjus 10 kartų (dydžiu), rezultato tikslumas taip pat padidėjo 10 kartų (viena eile). Runge-Kutta metodas turi 4 tikslumo eilutes - O 4, kai žingsnis sumažinamas 10 kartų, rezultatas pagerėja 10 000 kartų. Kadangi šis metodas, palyginti su Eulerio metodu, naudoja tik 4 kartus daugiau skaičiavimų, jo naudojimas yra pelningesnis. Šiandien žinomi metodai iki 8 eilės tikslumo (pavyzdžiui, Prince Dortmund metodas), nors tuo pat metu verta nepamiršti, kad algoritmų rašymas jiems yra gana sudėtinga užduotis. Visų šių algoritmų pranašumas yra tas, kad jų skaičiavimo kiekis yra žinomas iš anksto.

Jei reikia pasiekti BET KOKIO tikslumas žingsnyje, tada turėtų būti naudojami prognozavimo ir korekcijos metodai. Šis metodas susideda iš to, kad lygtyje nurodyta trajektorija apskaičiuojama kelis kartus kiekviename žingsnyje. Būtent, pirmiausia apytikslė funkcijos reikšmė veiksmo pabaigoje apskaičiuojama naudojant kokią nors paprastą formulę (pavyzdžiui, Eulerio metodą), tada apskaičiuojama išvestinė šiame taške ir apskaičiavimas vėl atliekamas nuo žingsnio pradžios taško. , bet su patikslinta išvestinės vertės verte. Atliekama paskutinė operacija – funkcijos išvestinės ir reikšmės patikslinimas žingsnio pabaigoje KARTOTOJAI KIEKVIEME ŽINGSNE , tai yra, kol apskaičiuotos reikšmės (funkcija ir išvestinė veiksmo pabaigoje) nustos keistis arba pasikeis nežymiai, mažiau nei iš anksto nurodyta. ε . Tik tada galime pasakyti, kad tikslumas ε pasiekti.

Taigi, dėl pasikartojančios procedūros kiekviename atskirame žingsnyje galite pasiekti bet kokį iš anksto nustatytą tikslumą ε . Šis metodo pranašumas turi savo kainą: deja, neįmanoma iš anksto pasakyti, kiek pakartojimų reikės norint pasiekti nurodytą tikslumą vienu žingsniu. ε . Todėl tokie metodai negali būti naudojami, pavyzdžiui, realaus laiko sistemose.

Pažvelkime į du šios klasės metodus kaip pavyzdį. Kaip ir anksčiau, užduotis yra rasti funkciją y(t) iš diferencialinės lygties dy/dt = f(y, x, t) arba funkcijų rinkinį iš tokių lygčių sistemos.

Tarkime, kad turime rasti diferencialinės lygties sprendimą

y’ = f(t, y),

tenkinantis pradinę sąlygą

tu(t 0) = y 0 .

Principą, kuriuo grindžiamas Runge-Kutta metodas, galima paaiškinti, kaip ir principą, kuriuo grindžiamas Eulerio metodas, naudojant Taylor serijos funkcijos išplėtimą.

Kad Taylor penis išliktų linijoje n-toji tvarka, reikia skaičiuoti n-toji priklausomo kintamojo išvestinė. Naudojant modifikuotą Eulerio metodą, norint gauti antrąją išvestinę baigtinio skirtumo forma, pakako žinoti kreivės nuolydį nagrinėjamo intervalo galuose. Norint apskaičiuoti trečiąją išvestinę baigtinio skirtumo forma, antrosios išvestinės reikšmės turi būti bent dviejuose taškuose. Norėdami tai padaryti, būtina papildomai nustatyti kreivės nuolydį tam tikrame tarpiniame intervalo taške h, t.y. tarp tn Ir n 1 t+ . Akivaizdu, kad kuo aukštesnė skaičiuojamos išvestinės priemonės tvarka, tuo daugiau papildomų taškų reikės skaičiuoti per intervalą. Kadangi yra keletas būdų, kaip rasti vidinius taškus ir parinkti santykinius rastų išvestinių svorius, Runge–Kutta metodas iš esmės sujungia visą diferencialinių lygčių sprendimo metodų šeimą.

Dažniausias yra ketvirtos eilės metodas, kuriame yra visos Taylor serijos sąlygos, įskaitant h 4 . Skaičiavimai šiuo klasikiniu metodu atliekami pagal formules:

Eulerio metodas ir jo modifikacija iš esmės yra atitinkamai pirmosios ir antrosios eilės Runge-Kutta metodai. Didesnis Runge-Kutta metodo tikslumas leidžia padidinti integravimo žingsnį h. Leidžiama paklaida žingsnyje nustato jo didžiausią vertę. Programinės įrangos paketuose žingsnių pasirinkimas dažnai atliekamas automatiškai. Norėdami tai padaryti, skaičiavimai pirmiausia atliekami etapais h, o tada – žingsniais h/2.

Skaičiavimų su žingsneliais paklaidai įvertinti h/2 galime paimti apytikslę formulę

kur yra apskaičiuota vertė žingsniais h/2; y n– apskaičiuota vertė žingsniais h. Pavyzdys: y’ = xy.

Diegiant Runge–Kutta metodus kompiuteryje, kiekvienam taškui atliekamas dvigubas skaičiavimas. Jei gautos reikšmės šiuo atveju atitinka (5.4) išraišką, tada taškui t n+1 žingsnis padvigubinamas, kitu atveju – perpus. Tačiau reikia atsiminti, kad išraiška (5.4) yra apytikslė ir nepalankiomis sąlygomis galite gauti visiškai klaidingus rezultatus, nors daugeliu atvejų situacija yra gera.

Runge-Kutta metodas yra vienas dažniausiai naudojamų didelio tikslumo metodų. Eulerio metodą galima laikyti paprasčiausia Runge-Kutta metodo versija.

Apsvarstykite diferencialinės lygties Koši uždavinį

y"(t) = f(t, y(t))

su pradine būkle y(t 0) = y 0.

Kaip ir Eulerio metodu, pasirenkame žingsnį h= ir sukurti tinklelį su mazgų sistema t i = t 0 + oi, aš= 0, 1, …, n.

Pažymėkime pagal y i apytikslė norimo sprendimo reikšmė taške t i .

Duokim ketvirtos eilės tikslumo Runge-Kutta metodo skaičiavimo formulės:

y i+ 1 = y i + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = f(t i , y i),

k = f(t i + , y i + k), (6.17)

k= f(t i + , y i + k),

k = f(t i +h, y i + hk),

i= 0, 1, …, n.

Klaidos įvertinimas. Įvertinimas Runge-Kutta metodo klaidos yra sunkios. Apytikslis paklaidos įvertinimas pateikiamas pagal Runge's taisyklę (žr. 6.2 skyrių). Kadangi Runge-Kutta metodas turi ketvirtą tikslumo eilę, t.y. p= 4, tada paklaidos įvertinimas (6.6) įgis tokią formą

R |y-y|. (6.18)

Naudojant Runge'o taisyklę, galima sukonstruoti procedūrą, kaip apytiksliai apskaičiuoti Koši problemos sprendimą, naudojant Runge-Kutta ketvirtos eilės tikslumo metodą su nurodytu tikslumu. . Skaičiavimus reikia pradėti nuo tam tikros žingsnio vertės h, iš eilės sumažinkite šią vertę per pusę, kiekvieną kartą apskaičiuodami apytikslę vertę y, i= 0, 1, …, n. Skaičiavimai sustabdomi, kai įvykdoma sąlyga:

R |y-y| < . (6.19)

Apytikslis sprendimas būtų vertės y, i= 0, 1, …, n.

6.4 pavyzdys.

Naudodami ketvirtos eilės tikslumo Runge-Kutta metodą, rasime šios Koši problemos segmento sprendimą.

y"(t) = 2dešimt, y(0) = 1. (6.20)

Ženkime žingsnį h = 0.1. Tada n = = 10.

Pagal (6.17) skaičiavimo formulės bus tokios formos:

y i+ 1 = y i + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = 2t i y i ,

k = 2(t i +)(y i + k), (6.21)

k= 2(t i +)(y i + k),

k = 2(t i +h)(y i + hk),

i= 0, 1, …, 10.

Uždavinys (6.20) turi tikslų sprendimą: y(t) = e, todėl paklaida apibrėžiama kaip absoliuti skirtumo tarp tikslių ir apytikslių verčių reikšmė i = |y(t i) - y i |.

Apytikslės sprendimo reikšmės, rastos naudojant (6.21) formules y i ir jų klaidos i pateikti 6.5 lentelėje:

6.5 lentelė

t i	y i		t i	y i

Kurso „Skaičiavimo metodai“ įskaitos tikslai

Pastaba: Kiekvienas studentas pirmiausia turi nustatyti savo testo užduoties parametrą, s= log 10 (1 +), kur k- studento numeris grupės sąraše, k= 1, 2, ... Užduočių sprendimas turi būti kruopščiai parengtas ir jame turi būti visi tarpiniai skaičiavimai. Kaip pavyzdį galite naudoti pavyzdžius, aptartus atitinkamuose gairių skyriuose.

1. Naudodamiesi atkarpos padalijimo per pusę metodu, raskite lygties šaknį

4(1 - x 2) - e x = s su tikslumu = 10 -3 .

2. Seidelio metodu išspręskite lygčių sistemą =10-3 tikslumu.

6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s

A = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s.

1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s

3. Raskite funkcijos aproksimaciją f(x) = e sx atkarpoje pagal Taylor daugianario tikslumu = 10 -3. Apskaičiuoti e s .

4. Apytiksliai apskaičiuokite integralą ties n= 4 ir įvertinkite rezultato paklaidą.

5. Naudodami Eulerio metodą raskite skaitinį Koši uždavinio sprendimą

y" = 2sy; y(0) = 1, atkarpoje su žingsniu h = 0.2.

Palyginkite su tiksliu sprendimu.

Norint išspręsti daugelį techninių, cheminių ir biologinių problemų, reikia išspręsti Koši problemą. Šią problemą galima išspręsti įvairiais būdais – tiek analitiniais, tiek skaitiniais, naudojant kompiuterį. Dažnai svarbu pasiekti rezultatų per trumpą laiką. Šiuo atveju pirmenybė teikiama skaitmeniniams metodams. Be to, yra tokių sudėtingų diferencialinių lygčių, kad arba iš viso neįmanoma rasti analitinio sprendimo, arba tam reikia labai didelių laiko ir pastangų investicijų.

Darbe detaliai išnagrinėtas ketvirtos eilės Runge-Kutta metodas su automatiniu integravimo žingsnio ilgio parinkimu (tai užtikrina daug didesnį skaičiavimo tikslumą, lyginant su metodu naudojant pastovų žingsnio ilgį), pateikiama reikiama teorinė santrauka, metodo aprašymas, taip pat kompiuterinė programa, rezultatai jos įgyvendinimas ir iliustracija.

Reikšminiai žodžiai: diferencialinė lygtis, Runge-Kutta metodas, Eulerio metodas, Runge-Kutta metodo eiliškumas, Koši problema, Teiloro eilutė, segmentas, koeficientai, integravimo žingsnis, integralinė kreivė.

Darbą sudaro 36 lapai, iš jų 8 grafikai, 4 iliustracijos ir 12 lentelių.

Įvadas

1. Teorinė dalis

1.1 Problemos teiginys

1.2 Eilerio metodas

1.3 Bendra Runge-Kutta metodų formuluotė

1.4 Užsakymo aptarimas 4 metodai

1.5 „Optimalios“ formulės

1.6 Runge-Kutta metodų užsakymo sąlygos

1.7. Runge-Kutta metodų klaidų įvertinimas ir konvergencija

1.7.1 Griežti neapibrėžtumo vertinimai

1.7.2 Pagrindinės klaidos terminas

1.7.3 Pasaulinio neapibrėžtumo įvertinimas

1.8 Optimalus žingsnio pasirinkimas

2. Praktinė dalis

2.1 Programos „Ilja RK-4 versija 1.43“ aprašymas

Išvada

Naudotų šaltinių sąrašas

A priedas. Funkcijų grafikai

B priedas. Funkcijos y(x) reikšmių lentelės pavyzdys

Priedas B. Programos „Ilja RK-4 versija 1.43“ sąrašas

Įvadas

Dėl to, kad Runge-Kutta metodams nereikia skaičiuoti papildomų pradinių reikšmių, šie metodai užima ypatingą vietą tarp klasikinių metodų. Žemiau aptarsime jų savybes, taip pat kai kuriuos šiems metodams būdingus apribojimus.

Didėjant etapų skaičiui didelėms problemoms, sprendžiamoms šiais metodais, be to, iškiltų sunkumų su kompiuterio atmintimi (ir tai yra dar svarbiau), didelėms problemoms, kaip taisyklė, Lipschitz konstantos visada yra didelės. Apskritai dėl to aukšto lygio Runge-Kutta metodai nėra tinkami tokioms problemoms spręsti. Bet kokiu atveju kiti metodai paprastai yra veiksmingesni ir jiems turėtų būti teikiama pirmenybė. Tačiau ketvirtos eilės Runge-Kutta metodus gana lengva įdiegti kompiuteryje, o automatinio žingsnių pasirinkimo buvimas leidžia atlikti skaičiavimus labai tiksliai. Todėl patartina juos naudoti atliekant gana įvairias užduotis.

Runge-Kutta metodai turi keletą reikšmingų pranašumų, lemiančių jų populiarumą tarp nemažos dalies tyrėjų. Šiuos metodus lengva programuoti ir jie turi pakankamai tikslumo ir stabilumo savybių įvairioms užduotims atlikti. Šie metodai, kaip ir visi vieno žingsnio metodai, yra įsijungiantys savaime ir leidžia lengvai pakeisti integravimo žingsnį bet kuriame skaičiavimo etape.

Darbe pagrindinis dėmesys skiriamas tikslumo ir efektyvumo klausimams sprendžiant tokio tipo problemas, kurioms priimtini Runge-Kutta metodai.

Ketvirtosios eilės Runge-Kutta metodų programinė įranga su automatiniu žingsnių pasirinkimu pateikiama aukšto lygio kalba parašytos programos pavidalu. Borlandas C ++ 3.1 . Programą galima paleisti aplinkoje MS - DOS arba Windows ® 95/98/ Aš /2 k / XP. Kaip išvestį programa įrašo reikšmių lentelę į failą diske ir piešia grafiką kompiuterio ekrane.

Sukurtos programos rezultatams patikrinti tos pačios diferencialinės lygtys buvo išspręstos matematiniame pakete Vaterlo Klevas 9.01 ir naudojant sukurtą programą (1.43 versija), buvo išanalizuoti reikšmių lentelės ir sprendimų grafikai.

1. Teorinė dalis

1.1 Problemos teiginys

Pateikta diferencialinė lygtis ir pradinė sąlyga, tai yra, iškelta Koši problema:

(2.1.1)

Reikia rasti integralinę kreivę, kuri patenkina nurodytą Koši problemą, naudojant ketvirtos eilės Runge-Kutta metodą su automatiniu žingsnio atkarpos parinkimu.

. Problemą galima išspręsti analitiškai, surandant diferencialinės lygties sprendimą ir į ją pakeičiant pradinę sąlygą, taip surandant reikiamą integralinę kreivę. Bet mums įdomu išspręsti šią problemą naudojant skaitinį metodą, o tiksliau, 4-osios eilės Runge-Kutta metodą su automatiniu žingsnių pasirinkimu, tai yra skaitinis sprendimas. Automatinis žingsnių pasirinkimas yra būtina adekvataus programos elgesio su staigiai besikeičiančiomis funkcijomis, kurios apibrėžia integralo kreivę, sąlyga, kuri leidžia atspindėti visus integralo kreivės veikimo momentus ir pasiekti aukštą tikslumą.

1.2 Eilerio metodas

Eulerio metodą pradinės reikšmės uždaviniui (2.1.1) spręsti Euleris aprašė 1768 m. Šis metodas yra gana paprastas. Jos visuotinė klaida turi formą

, kur yra konstanta, priklausomai nuo užduoties, ir yra didžiausias žingsnio ilgis. Jei norima, tarkime, gauti 6 tikslus po kablelio, tai reikia maždaug milijono žingsnių, o tai nėra labai patenkinama. Kita vertus, nuo Niutono laikų buvo žinoma, kad galima rasti daug tikslesnius metodus, jei tai nepriklauso nuo , tai yra, jei turime uždavinį (2.1.1), išsprendžiamą kvadratu.

. (2.2.1)

Kaip pavyzdį apsvarstykite pirmąją Gauso kvadratūros formulę, dar vadinamą „vidurio taško taisykle“:

(2.2.2) ir

– subintervalų, į kuriuos padalintas integravimo intervalas, ribiniai taškai. Yra žinoma, kad šios formulės visuotinės paklaidos įvertis turi formą . Taigi, jei norimas tikslumas yra 6 skaitmenys po kablelio, paprastai jį galima pasiekti maždaug 1000 žingsnių, todėl šis metodas yra tūkstantį kartų greitesnis. Todėl Runge uždavė tokį klausimą: ar įmanoma šį metodą išplėsti iki pradinės Koši problemos? Pirmasis ilgio žingsnis turėtų atrodyti taip