Išvesdami pačią pirmąją lentelės formulę, vadovausimės išvestinės funkcijos apibrėžimu taške. Paimkime kur x- bet koks tikrasis skaičius, ty x– bet koks skaičius iš funkcijos apibrėžimo srities. Užrašykime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą: 
Reikėtų pažymėti, kad pagal ribinį ženklą gaunama išraiška, kuri nėra nulio neapibrėžtis, padalyta iš nulio, nes skaitiklyje yra ne be galo maža reikšmė, o tiksliai nulis. Kitaip tariant, pastovios funkcijos prieaugis visada yra lygus nuliui.
Taigi, pastovios funkcijos išvestinėyra lygus nuliui visoje apibrėžimo srityje.
Galios funkcijos išvestinės formulė turi formą 
, kur eksponentas p– bet koks tikrasis skaičius.
Pirmiausia įrodykime natūraliojo rodiklio formulę, tai yra už p = 1, 2, 3, …
Naudosime išvestinės apibrėžimą. Užrašykime galios funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą: 
Norėdami supaprastinti išraišką skaitiklyje, kreipiamės į Niutono binominę formulę: 
Vadinasi, 
Tai įrodo natūraliojo eksponento laipsnio funkcijos išvestinės formulę.
Pateikiame išvestinės formulės išvedimą pagal apibrėžimą:
Atėjome į netikrumą. Norėdami jį išplėsti, pristatome naują kintamąjį ir . Tada . Paskutiniame perėjime naudojome perėjimo prie naujos logaritminės bazės formulę.
Pakeiskime pradinę ribą: 
Jei prisiminsime antrąją reikšmingą ribą, gauname eksponentinės funkcijos išvestinės formulę: 
Įrodykime logaritminės funkcijos išvestinės formulę visiems x iš apibrėžimo srities ir visų galiojančių bazės reikšmių a logaritmas Pagal išvestinės priemonės apibrėžimą turime: 
Kaip pastebėjote, įrodinėjimo metu transformacijos buvo atliekamos naudojant logaritmo savybes. Lygybė 
yra tiesa dėl antrosios nepaprastos ribos.
Norėdami išvesti trigonometrinių funkcijų išvestinių formules, turėsime prisiminti kai kurias trigonometrijos formules, taip pat pirmąją reikšmingą ribą.
Pagal mūsų turimos sinusinės funkcijos išvestinės apibrėžimą 
.
Naudokime sinusų skirtumo formulę: 
Belieka pereiti prie pirmosios nepaprastos ribos: 
Taigi funkcijos išvestinė nuodėmė x Yra cos x.
Lygiai taip pat įrodoma kosinuso išvestinės formulė. 
Todėl funkcijos išvestinė cos x Yra – nuodėmė x.
Tangento ir kotangento išvestinių lentelės formules išvesime naudodami įrodytas diferenciacijos taisykles (trupmenos išvestinę). 
Diferencijavimo taisyklės ir eksponentinės funkcijos išvestinės formulė iš išvestinių lentelės leidžia išvesti hiperbolinio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formules. 
Norėdami išvengti painiavos pateikimo metu, apatiniame indekse pažymėkime funkcijos argumentą, pagal kurį atliekamas diferencijavimas, tai yra, tai yra funkcijos išvestinė f(x) Autorius x.
Dabar suformuluokime atvirkštinės funkcijos išvestinės radimo taisyklė.
Tegul funkcijos y = f(x) Ir x = g(y) tarpusavyje atvirkštiniai, apibrėžti intervalais ir atitinkamai. Jeigu taške yra baigtinė nulinė funkcijos išvestinė f(x), tada taške yra atvirkštinės funkcijos baigtinė išvestinė g(y), ir 
. Kitame įraše 
.
Šią taisyklę galima performuluoti bet kuriai x iš intervalo , tada gauname 
.
Patikrinkime šių formulių pagrįstumą.
Raskime atvirkštinę natūraliojo logaritmo funkciją 
(Čia y yra funkcija ir x- argumentas). Išsprendę šią lygtį x, gauname (čia x yra funkcija ir y– jos argumentas). Tai yra, 
ir tarpusavyje atvirkštines funkcijas.
Iš išvestinių lentelės matome, kad 
Ir 
.
Įsitikinkite, kad formulės, skirtos rasti atvirkštinės funkcijos išvestines, duoda tuos pačius rezultatus: 
Išvestinės apskaičiavimas dažnai randamas vieningo valstybinio egzamino užduotyse. Šiame puslapyje pateikiamas išvestinių išvestinių formulių sąrašas.
Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:
Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.
Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėse. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų dariniais.
Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.
Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:
| vardas | Funkcija | Darinys |
| Pastovus | f(x) = C, C ∈ R | 0 (taip, nulis!) |
| Galia su racionaliuoju rodikliu | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinusas | f(x) = nuodėmė x | cos x |
| Kosinusas | f(x) = cos x | − nuodėmė x(minus sinusas) |
| Tangentas | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangentas | f(x) = ctg x | – 1 / nuodėmė 2 x |
| Natūralus logaritmas | f(x) = žurnalas x | 1/x |
| Savavališkas logaritmas | f(x) = žurnalas a x | 1/(x ln a) |
| Eksponentinė funkcija | f(x) = e x | e x(Niekas nepasikeitė) |
Jei elementarioji funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:
(C · f)’ = C · f ’.
Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuotos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.
Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:
Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:
f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;
Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.
Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− nuod x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)
Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.
Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:
Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau ją ištirti konkrečiais pavyzdžiais.
Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:
Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia dalinio išvestinės formulės:
Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:
Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau jos nebus galima rasti naudojant aukščiau aptartas taisykles.
Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:
f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).
Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti naudojant konkrečius pavyzdžius, išsamiai aprašant kiekvieną veiksmą.
Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)
Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtingos funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Mes turime:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’
Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.
Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, sumos smūgis yra lygus smūgių sumai. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.
Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju rodikliu:
(x n)’ = n · x n − 1
Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. Ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta duoti testuose ir egzaminuose.
Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:
Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju eksponentu:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Dabar pakeičiame: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.
Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Galiausiai grįžkime prie šaknų:
Išvestinis skaičiavimas- viena iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo operacijų. Žemiau yra lentelė, skirta paprastų funkcijų išvestinėms rasti. Norėdami sužinoti daugiau sudėtingų diferenciacijos taisyklių, žr. kitas pamokas: Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus jos argumentui. Kadangi skaičius jokiu būdu nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.
2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1
Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimų rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.
3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
Šiuo atveju kiekvieną kartą, kai pasikeičia funkcijos argumentas ( X) jo reikšmė (y) didėja Su kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis, palyginti su argumento kitimo greičiu, yra tiksliai lygus reikšmei Su.
Iš kur tai išplaukia
(cx + b)" = c
tai yra tiesinės funkcijos y=kx+b diferencialas lygus tiesės (k) nuolydžiui.
5. Kintamojo išvestinė iš laipsnio lygus šios galios skaičiaus ir kintamojo sandaugai laipsniui, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami prisiminti formulę:
Perkelkite kintamojo laipsnį žemyn kaip veiksnį, o tada sumažinkite patį laipsnį vienu. Pavyzdžiui, x 2 - jie du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog suteikė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 - „perkeliame“ trigubą žemyn, sumažiname jį vienu ir vietoj kubo turime kvadratą, tai yra, 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengvai įsimenama.
6.Trupmenos išvestinė 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip neigiama galia
(1/x)" = (x -1)", tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Trupmenos išvestinė su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1 / x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Šaknies vedinys(kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)" reiškia, kad galite taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Kintamojo išvestinė pagal savavališko laipsnio šaknį
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Norėdami rasti bet kurios funkcijos išvestinę, turite įsisavinti tik tris sąvokas:
2. Diferencijavimo taisyklės.
3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.
Būtent tokia tvarka. Tai užuomina.)
Žinoma, būtų malonu turėti idėją apie išvestines priemones apskritai). Kas yra išvestinė ir kaip dirbti su išvestinių lentele, aiškiai paaiškinta ankstesnėje pamokoje. Čia nagrinėsime diferenciacijos taisykles.
Diferencijavimas yra išvestinės paieškos operacija. Po šiuo terminu nėra nieko daugiau paslėpta. Tie. posakius "rasti funkcijos išvestinę" Ir „atskirti funkciją“- Tai tas pats.
Išraiška „diferencijavimo taisyklės“ nurodo išvestinio radimą iš aritmetinių operacijų.Šis supratimas labai padeda išvengti painiavos jūsų galvoje.
Susikaupkime ir prisiminkime visus, visus, visus aritmetinius veiksmus. Jų yra keturi). Sudėjimas (suma), atėmimas (skirtumas), daugyba (produktas) ir dalyba (dalytuvas). Čia yra diferenciacijos taisyklės:
Plokštelė rodo penkios taisyklės dėl keturi aritmetinės operacijos. Aš nesutrumpinau.) Tiesiog 4 taisyklė yra elementari 3 taisyklės pasekmė. Tačiau ji tokia populiari, kad prasminga ją rašyti (ir atsiminti!) kaip nepriklausomą formulę.
Pagal pavadinimus U Ir V numanomos kai kurios (visiškai bet kokios!) funkcijos U(x) Ir V(x).
Pažvelkime į kelis pavyzdžius. Pirmiausia – patys paprasčiausi.
Raskite funkcijos y=sinx - x 2 išvestinę
Štai mes turime skirtumas dvi elementarios funkcijos. Taikome 2 taisyklę. Laikysime, kad sinx yra funkcija U, o x 2 yra funkcija V. Mes turime visas teises rašyti:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Tai geriau, tiesa?) Belieka rasti x sinuso ir kvadrato išvestines. Tam yra išvestinių priemonių lentelė. Mes tiesiog ieškome reikalingų funkcijų lentelėje ( sinx Ir x 2), pažiūrėkite, kokias išvestines jie turi, ir užrašykite atsakymą:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Viskas. 1 sumos diferenciacijos taisyklė veikia lygiai taip pat.
Ką daryti, jei turime keletą terminų? Jokių problemų.) Funkciją suskaidome į terminus ir ieškome kiekvieno termino išvestinės nepriklausomai nuo kitų. Pavyzdžiui:
Raskite funkcijos y=sinx - x 2 +cosx - x +3 išvestinę
Drąsiai rašome:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
Pamokos pabaigoje pateiksiu patarimų, kaip palengvinti gyvenimą diferencijuojant.)
Praktiniai patarimai:
1. Prieš diferencijuodami pažiūrėkite, ar įmanoma supaprastinti pradinę funkciją.
2. Sudėtinguose pavyzdžiuose sprendimą aprašome išsamiai, su visais skliaustais ir brūkšniais.
3. Diferencijuodami trupmenas, kurių vardiklyje yra pastovus skaičius, skaidymą paverčiame daugyba ir naudojame 4 taisyklę.
