Diskretus atsitiktinumas Kintamieji yra atsitiktiniai dydžiai, kurių reikšmės yra nutolusios viena nuo kitos ir kurias galima išvardyti iš anksto.
Paskirstymo dėsnis
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių.
Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo serija yra jo galimų reikšmių ir atitinkamų tikimybių sąrašas.
Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra funkcija:
,
kiekvienai argumento x reikšmei nustatant tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę už šį x reikšmę.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis
,
kur yra diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmė; - tikimybė, kad atsitiktinis dydis priims X reikšmes.
Jei atsitiktinis kintamasis užima skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį, tada:
.
Matematinė įvykio įvykių skaičiaus prognozė n nepriklausomų bandymų:
,

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija ir standartinis nuokrypis
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija:
arba .
Įvykio atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų
,
čia p yra įvykio tikimybė.
Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis:
.

1 pavyzdys
Sudarykite diskretinio atsitiktinio dydžio (DRV) X tikimybių pasiskirstymo dėsnį – bent vieno „šešio“ atvejo k skaičių per n = 8 kauliukų poros metimus. Sukurkite paskirstymo daugiakampį. Raskite skirstinio skaitines charakteristikas (paskirstymo režimas, matematinė prognozė M(X), dispersija D(X), standartinis nuokrypis s(X)). Sprendimas:Įveskime žymėjimą: įvykis A – „metant kauliukų porą, šešetas pasirodo bent kartą“. Norint rasti įvykio A tikimybę P(A) = p, patogiau pirmiausia rasti priešingo įvykio tikimybę P(Ā) = q - „metant kauliukų porą, šešetukas niekada neatsirado“.
Kadangi tikimybė, kad metant vieną kauliuką neatsiras „šešetas“, yra 5/6, tai pagal tikimybių daugybos teoremą
P(Ā) = q = = .
Atitinkamai,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemoje atlikti testai pagal Bernulio schemą, todėl d.s.v. dydžio X- numeris k bent vieno šešetuko atsiradimas metant du kauliukus paklūsta tikimybių skirstinio dvinariui dėsniui:

kur = yra derinių skaičius n Autorius k.

Šios problemos skaičiavimai gali būti patogiai pateikti lentelės pavidalu:
Tikimybių skirstinys d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Diskretaus atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio daugiakampis (daugiakampis). X parodyta paveiksle:

Ryžiai. Tikimybių skirstinio daugiakampis d.s.v. X=k.
Vertikali linija rodo matematinius pasiskirstymo lūkesčius M(X).

Raskime d.s.v tikimybių skirstinio skaitines charakteristikas. X. Paskirstymo režimas yra 2 (čia P 8(2) = daugiausia 0,2932). Matematinis lūkestis pagal apibrėžimą yra lygus:
M(X) = = 2,4444,
Kur xk = k– vertė paimta d.s.v. X. Dispersija D(X) paskirstymą randame naudodami formulę:
D(X) = = 4,8097.
Standartinis nuokrypis (RMS):
s( X) = = 2,1931.

2 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis dydis X duota paskirstymo dėsnio

Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją.

Sprendimas. Jei , tada (trečioji savybė).
Jei tada. tikrai, X gali gauti reikšmę 1 su 0,3 tikimybe.
Jei tada. Iš tiesų, jei jis tenkina nelygybę
, tada lygi įvykio, kuris gali įvykti, tikimybei X ims reikšmę 1 (šio įvykio tikimybė yra 0,3) arba reikšmę 4 (šio įvykio tikimybė yra 0,1). Kadangi šie du įvykiai yra nesuderinami, tai pagal sudėjimo teoremą įvykio tikimybė yra lygi tikimybių sumai 0,3 + 0,1 = 0,4. Jei tada. Iš tiesų įvykis yra tikras, todėl jo tikimybė lygi vienetui. Taigi paskirstymo funkciją galima analitiškai parašyti taip:

Šios funkcijos grafikas:
Raskime tikimybes, atitinkančias šias reikšmes. Pagal sąlygą įrenginių gedimo tikimybės yra lygios: tada tikimybė, kad įrenginiai veiks garantiniu laikotarpiu, yra vienoda:




Paskirstymo įstatymas turi tokią formą:

Taikant tikimybių teoriją, eksperimento kiekybinės charakteristikos yra svarbiausios. Dydis, kurį galima nustatyti kiekybiškai ir kuris dėl eksperimento gali įgyti skirtingas reikšmes, priklausomai nuo atvejo, vadinamas atsitiktinis kintamasis.

Atsitiktinių kintamųjų pavyzdžiai:

1. Kiek kartų per dešimt kauliuko metimų pasirodo lyginis taškų skaičius.

2. Šūvių seriją paleidusio šaulio smūgių į taikinį skaičius.

3. Sprogstančio sviedinio skeveldrų skaičius.

Kiekviename iš pateiktų pavyzdžių atsitiktinis kintamasis gali turėti tik atskiras reikšmes, ty vertes, kurios gali būti sunumeruotos naudojant natūralią skaičių seriją.

Toks atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės yra atskiri atskiri skaičiai, kuriuos šis kintamasis įgauna su tam tikromis tikimybėmis, vadinamas diskretus.

Diskretaus atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis (skaičiuojamas).

Paskirstymo dėsnis Diskretusis atsitiktinis dydis yra jo galimų reikšmių ir atitinkamų tikimybių sąrašas. Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu (tikimybių skirstinio eilutė), analitiškai ir grafiškai (tikimybių skirstinio daugiakampis).

Atliekant eksperimentą, reikia įvertinti tiriamą vertę „vidutiniškai“. Atsitiktinio dydžio vidutinės reikšmės vaidmenį atlieka skaitinė charakteristika, vadinama matematiniai lūkesčiai, kuri nustatoma pagal formulę

Kur x 1 , x 2 ,.. , x n– atsitiktinių dydžių reikšmės X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– šių verčių tikimybės (atkreipkite dėmesį, kad p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Pavyzdys. Šaudoma į taikinį (11 pav.).

I pataikymas duoda tris taškus, II – du, III – vieną tašką. Vieno šaulio vienu šūviu surinktų taškų skaičius turi formos skirstymo dėsnį

Norint palyginti šaulių meistriškumą, pakanka palyginti vidutines surinktų taškų reikšmes, t.y. matematiniai lūkesčiai M(X) Ir M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Antrasis šaulys vidutiniškai duoda kiek didesnį balų skaičių, t.y. tai duos geresnių rezultatų, kai šaudoma pakartotinai.

Atkreipkite dėmesį į matematinio lūkesčio savybes:

1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

M(C) = C.

2. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Matematinė viena nuo kitos nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandauga yra lygi veiksnių matematinių lūkesčių sandaugai.

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Matematinis dvinario skirstinio neigimas yra lygus bandymų skaičiaus ir įvykio, kuris įvyks viename bandyme, sandaugai (4.6 užduotis).

M(X) = pr.

Įvertinti, kaip atsitiktinis dydis „vidutiniškai“ nukrypsta nuo savo matematinio lūkesčio, t.y. Norint apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą tikimybių teorijoje, naudojama dispersijos sąvoka.

Dispersija atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu nuokrypio kvadratu lūkesčiu:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersija yra skaitinė atsitiktinio dydžio sklaidos charakteristika. Iš apibrėžimo aišku, kad kuo mažesnė atsitiktinio dydžio dispersija, tuo jo galimos reikšmės yra artimesnės matematiniam lūkesčiui, tai yra, tuo geriau atsitiktinio dydžio reikšmes apibūdina jo matematiniai lūkesčiai. .

Iš apibrėžimo matyti, kad dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę

.

Patogu apskaičiuoti dispersiją naudojant kitą formulę:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersija turi šias savybes:

1. Konstantos dispersija lygi nuliui:

D(C) = 0.

2. Pastovųjį koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi terminų dispersijos sumai:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Binominio skirstinio dispersija yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio atsiradimo ir neįvykimo tikimybės sandaugai viename bandyme:

D(X) = npq.

Tikimybių teorijoje dažnai naudojama skaitinė charakteristika, lygi atsitiktinio dydžio dispersijos kvadratinei šaknei. Ši skaitinė charakteristika vadinama vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu ir žymima simboliu

.

Jis apibūdina apytikslį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį ir turi tą patį dydį kaip ir atsitiktinis kintamasis.

4.1. Šaulys į taikinį paleidžia tris šūvius. Tikimybė pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu yra 0,3.

Sukurkite įvykių skaičiaus paskirstymo seriją.

Sprendimas. Patikimų skaičius yra atskiras atsitiktinis kintamasis X. Kiekviena vertė x n atsitiktinis kintamasis X atitinka tam tikrą tikimybę P n .

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį šiuo atveju galima nurodyti netoli platinimo.

Šioje problemoje X ima reikšmes 0, 1, 2, 3. Pagal Bernulio formulę

,

Raskime galimų atsitiktinių dydžių verčių tikimybes:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Išdėstydami atsitiktinio dydžio reikšmes X didėjančia tvarka gauname paskirstymo eilutes:

X n

Atkreipkite dėmesį, kad suma

reiškia tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X paims bent vieną reikšmę iš galimų, todėl šis įvykis yra patikimas

.

4.2 .Urnoje yra keturi rutuliai su skaičiais nuo 1 iki 4. Išimami du rutuliai. Atsitiktinė vertė X– rutuliukų skaičių suma. Sukurkite atsitiktinio dydžio skirstinio seką X.

Sprendimas. Atsitiktinių kintamųjų reikšmės X yra 3, 4, 5, 6, 7. Raskime atitinkamas tikimybes. Atsitiktinio kintamojo reikšmė 3 X gali būti priimtas vieninteliu atveju, kai vienas iš pasirinktų kamuoliukų turi skaičių 1, o kitas 2. Galimų testo rezultatų skaičius lygus keturių kombinacijų skaičiui (galimų kamuoliukų porų skaičiui) iš dviejų.

Naudodami klasikinę tikimybių formulę gauname

Taip pat,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Suma 5 gali atsirasti dviem atvejais: 1 + 4 ir 2 + 3, taigi

.

X turi formą:

Raskite paskirstymo funkciją F(x) atsitiktinis dydis X ir suplanuoti. Apskaičiuokite už X jo matematinis lūkestis ir dispersija.

Sprendimas. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti pasiskirstymo funkcija

F(x) =P(X x).

Paskirstymo funkcija F(x) yra nemažėjanti, iš kairės ištisinė funkcija, apibrėžta visoje skaičių eilutėje, while

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ši funkcija išreiškiama formule

.

Todėl šiuo atveju

Pasiskirstymo funkcijos grafikas F(x) yra laiptuota linija (12 pav.)

	F(x)

Tikėtina vertėM(X) yra svertinis aritmetinis reikšmių vidurkis X 1 , X 2 ,……X n atsitiktinis kintamasis X su svarstyklėmis ρ 1, ρ 2, …… , ρ n ir vadinama vidutine atsitiktinio dydžio verte X. Pagal formulę

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Sklaida apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos laipsnį nuo jo vidutinės vertės ir yra žymimas D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Atskirajam atsitiktiniam dydžiui dispersija turi tokią formą

arba jį galima apskaičiuoti naudojant formulę

Pakeitę skaitinius uždavinio duomenis į formulę, gauname:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Du kauliukai metami du kartus vienu metu. Parašykite diskrečiojo atsitiktinio dydžio dvinarį pasiskirstymo dėsnį X- lyginio bendro taškų skaičiaus ant dviejų kauliukų skaičių.

Sprendimas. Pristatykime atsitiktinį įvykį

A= (du kauliukai su vienu metimu iš viso gavo lyginį taškų skaičių).

Naudodami klasikinį tikimybės apibrėžimą randame

R(A)= ,

Kur n - galimų testo rezultatų skaičius nustatomas pagal taisyklę

daugyba:

n = 6∙6 =36,

m - renginiui pritariančių žmonių skaičius A rezultatai – vienodi

m= 3∙6=18.

Taigi vieno bandymo sėkmės tikimybė yra

ρ = P(A)= 1/2.

Problema išspręsta naudojant Bernoulli testo schemą. Vienas iššūkis čia būtų vieną kartą išmesti du kauliukus. Tokių testų skaičius n = 2. Atsitiktinis kintamasis X ima reikšmes 0, 1, 2 su tikimybėmis

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Reikalingas atsitiktinio dydžio binominis skirstinys X gali būti pavaizduota kaip paskirstymo serija:

X n
ρ n

4.5 . Šešių dalių partijoje yra keturios standartinės. Atsitiktinai buvo atrinktos trys dalys. Sukurkite diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinį X– standartinių dalių skaičių tarp pasirinktų ir raskite jo matematinį lūkestį.

Sprendimas. Atsitiktinių kintamųjų reikšmės X yra skaičiai 0,1,2,3. Tai aišku R(X=0)=0, nes yra tik dvi nestandartinės dalys.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X Pateiksime ją paskirstymo serijos forma:

X n
ρ n

Tikėtina vertė

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Įrodykite, kad diskretinio atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis X- įvykio atvejų skaičius A V n nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename įvykio tikimybė yra lygi ρ – lygus bandymų skaičiaus sandaugai su įvykio tikimybe įvykti viename bandyme, tai yra įrodyti, kad matematinis dvejetainio skirstinio lūkestis

M(X) =n . ρ ,

ir dispersija

D(X) =n.p. .

Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali turėti reikšmes 0, 1, 2..., n. Tikimybė R(X= k) randamas naudojant Bernulio formulę:

R(X=k)= R n(k)= ρ Į (1-ρ ) n-Į

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X turi formą:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Kur q= 1- ρ .

Dėl matematinių lūkesčių turime išraišką:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Vieno testo atveju, tai yra su n = 1 atsitiktiniam dydžiui X 1 – įvykio atvejų skaičius A- platinimo serijos forma:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Jeigu X k – įvykio atvejų skaičius A kuriame teste tada R(X Į)= ρ Ir

X = X 1 +X 2 +….+X n .

Iš čia gauname

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= Nr,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Kokybės kontrolės skyrius tikrina gaminių standartiškumą. Tikimybė, kad produktas yra standartinis, yra 0,9. Kiekvienoje partijoje yra 5 produktai. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą X- partijų, kurių kiekvienoje bus 4 standartiniai produktai, skaičius, jei tikrinama 50 partijų.

Sprendimas. Tikimybė, kad kiekvienoje atsitiktinai parinktoje partijoje bus 4 standartiniai produktai, yra pastovi; pažymėkime tai ρ .Tada matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X lygus M(X)= 50∙ρ.

Raskime tikimybę ρ pagal Bernulio formulę:

ρ = P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Mesti trys kauliukai. Raskite iškritusių taškų sumos matematinę lūkesčius.

Sprendimas. Galite rasti atsitiktinio dydžio pasiskirstymą X- nukritusių taškų suma ir jos matematinis lūkestis. Tačiau šis kelias yra pernelyg sudėtingas. Lengviau naudoti kitą metodą, vaizduojantį atsitiktinį kintamąjį X, kurio matematinį lūkestį reikia apskaičiuoti, kelių paprastesnių atsitiktinių dydžių, kurių matematinį lūkestį lengviau apskaičiuoti, sumos pavidalu. Jei atsitiktinis dydis X i yra surinktų taškų skaičius i– kaulai ( i= 1, 2, 3), tada taškų suma X bus išreikšta forma

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Norint apskaičiuoti pirminio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, belieka naudoti matematinio lūkesčio savybę

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Tai akivaizdu

R(X i = K)= 1/6, Į= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Todėl atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis X i atrodo kaip

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Nustatykite matematinį tikėtiną įrenginių, kurie sugedo bandymo metu, skaičių, jei:

a) visų įrenginių gedimo tikimybė yra vienoda R, o bandomų įrenginių skaičius yra lygus n;

b) gedimo tikimybė už i – prietaiso yra lygus p i , i= 1, 2, … , n.

Sprendimas. Tegul atsitiktinis kintamasis X yra sugedusių įrenginių skaičius

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Tai aišku

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 +… + P n .

„a“ atveju įrenginio gedimo tikimybė yra tokia pati, tai yra

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Šį atsakymą būtų galima gauti iš karto, jei pastebėtume, kad atsitiktinis kintamasis X turi dvinarį skirstinį su parametrais ( n, p).

4.10. Du kauliukai metami vienu metu du kartus. Parašykite diskrečiojo atsitiktinio dydžio dvinarį pasiskirstymo dėsnį X - lyginio taškų skaičiaus metimų ant dviejų kauliukų skaičius.

Sprendimas. Leisti

A=(lyginio skaičiaus metimas ant pirmo kauliuko),

B =(lyginio skaičiaus metimas antruoju kauliuku).

Lyginio skaičiaus gavimas ant abiejų kauliukų vienu metimu išreiškiamas sandauga AB. Tada

R (AB) = R(A)∙R(IN) =
.

Antrojo dviejų kauliukų metimo rezultatas nepriklauso nuo pirmojo, todėl Bernulio formulė taikoma, kai

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Atsitiktinė vertė X gali turėti reikšmes 0, 1, 2 , kurio tikimybę galima rasti naudojant Bernulio formulę:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X:

4.11. Įrenginys susideda iš daugybės savarankiškai veikiančių elementų, kurių kiekvieno elemento gedimo tikimybė laikui bėgant yra tokia pati labai maža. t. Raskite vidutinį atsisakymų skaičių per tam tikrą laiką t elementai, jei tikimybė, kad bent vienas elementas suges per šį laiką, yra 0,98.

Sprendimas. Žmonių, kurie laikui bėgant atsisakė, skaičius t elementai – atsitiktinis dydis X, kuris pasiskirsto pagal Puasono dėsnį, kadangi elementų skaičius yra didelis, elementai veikia savarankiškai ir kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra maža. Vidutinis įvykio įvykių skaičius n testai lygūs

M(X) = n.p..

Nuo nesėkmės tikimybės KAM elementai iš n išreikšta formule

R n (KAM)
,

kur  = n.p., tada tikimybė, kad per tą laiką nesuges nė vienas elementas t mes pasiekiame K = 0:

R n (0)= e -  .

Todėl priešingo įvykio tikimybė yra laike t bent vienas elementas sugenda – lygus 1 - e -  . Pagal uždavinio sąlygas ši tikimybė yra 0,98. Iš Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

iš čia  = -ln 0,02  4.

Taigi, laiku tįrenginio veikimas, vidutiniškai suges 4 elementai.

4.12 . Kauliukai ridenami tol, kol pasirodo „du“. Raskite vidutinį metimų skaičių.

Sprendimas. Įveskime atsitiktinį kintamąjį X– testų, kuriuos reikia atlikti, skaičius, kol įvyks mus dominantis įvykis. Tikimybė, kad X= 1 lygi tikimybei, kad per vieną kauliuko metimą atsiras „du“, t.y.

R(X= 1) = 1/6.

Renginys X= 2 reiškia, kad per pirmąjį bandymą „du“ neiškrito, o antruoju – iškrito. Įvykio tikimybė X= 2 randama pagal nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklę:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Taip pat,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

ir tt Gauname tikimybių skirstinių seriją:

					(5/6) Į ∙1/6

Vidutinis metimų (bandymų) skaičius yra matematinis lūkestis

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + KAM (5/6) KAM -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + KAM (5/6) KAM -1 + …)

Raskime serijos sumą:

KAMg KAM -1 = (g KAM) g 
.

Vadinasi,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Taigi, jums reikia atlikti vidutiniškai 6 kauliukų metimus, kol pasirodys „du“.

4.13. Nepriklausomi testai atliekami su ta pačia įvykio tikimybe A kiekviename teste. Raskite įvykio tikimybę A, jei įvykio atvejų skaičiaus dispersija per tris nepriklausomus bandymus yra 0,63 .

Sprendimas.Įvykio atvejų skaičius per tris bandymus yra atsitiktinis dydis X, paskirstytas pagal dvinario dėsnį. Įvykio atvejų skaičiaus dispersija nepriklausomuose bandymuose (esant tokiai pačiai įvykio tikimybei kiekviename bandyme) yra lygi bandymų skaičiaus sandaugai su įvykio įvykio ir neįvykimo tikimybe (4.6 problema)

D(X) = npq.

Pagal sąlygą n = 3, D(X) = 0,63, taigi galite R rasti iš lygties

0,63 = 3∙R(1-R),

kuri turi du sprendimus R 1 = 0,7 ir R 2 = 0,3.

Diskretus vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris su tam tikromis tikimybėmis gali įgyti atskiras, izoliuotas reikšmes.

1 PAVYZDYS. Kiek kartų herbas pasirodo trijose monetose. Galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, jų tikimybės atitinkamai lygios:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

2 PAVYZDYS. Sugedusių elementų skaičius įrenginyje, kurį sudaro penki elementai. Galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, 4, 5; jų tikimybės priklauso nuo kiekvieno elemento patikimumo.

Diskretus atsitiktinis dydis X gali būti pateikta skirstinio seka arba skirstinio funkcija (integralinio skirstinio dėsnis).

Netoli platinimo yra visų galimų reikšmių rinkinys Xi ir atitinkamas tikimybes Ri = P(X = xi), ją galima nurodyti kaip lentelę:

x i				x n
p i				р n

Šiuo atveju tikimybės Ri patenkinti sąlygą

Ri= 1, nes

kur yra galimų reikšmių skaičius n gali būti baigtinis arba begalinis.

Grafinis pasiskirstymo serijų vaizdavimas vadinamas paskirstymo daugiakampiu . Norėdami jį sukurti, galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ( Xi) brėžiami išilgai x ašies ir tikimybės Ri- išilgai ordinačių ašies; taškų Ai su koordinatėmis ( Xaš, рi) yra sujungti trūkinėmis linijomis.

Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis X vadinama funkcija F(X), kurio vertė taške X yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis kintamasis X bus mažesnė už šią vertę X, tai yra

F(x) = P(X< х).

Funkcija F(X) Dėl diskrečiųjų atsitiktinių dydžių apskaičiuojamas pagal formulę

F(X) = Ri , (1.10.1)

kur sumuojama visomis reikšmėmis i, kuriam Xi< х.

3 PAVYZDYS. Iš partijos, kurioje yra 100 gaminių, iš kurių 10 yra brokuotų, atsitiktine tvarka atrenkami penki gaminiai jų kokybei patikrinti. Sukurkite atsitiktinio skaičiaus skirstinių seriją X pavyzdyje esantys nekokybiški gaminiai.

Sprendimas. Kadangi pavyzdyje gaminių su trūkumais skaičius gali būti bet koks sveikasis skaičius nuo 0 iki 5 imtinai, galimos reikšmės Xi atsitiktinis kintamasis X yra lygūs:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Tikimybė R(X = k) kad pavyzdyje yra tiksliai k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) nekokybiški gaminiai, lygūs

P (X = k) = .

Skaičiuodami pagal šią formulę 0,001 tikslumu, gauname:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Patikrinkite lygybę Rk=1, įsitikiname, kad skaičiavimai ir apvalinimas buvo atlikti teisingai (žr. lentelę).

x i
p i

4 PAVYZDYS. Duota atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X :

x i
p i

Raskite tikimybių skirstinio funkciją F(X) šio atsitiktinio dydžio ir sukonstruoti jį.

Sprendimas. Jeigu X Tada 10 svarų F(X)= P(X<X) = 0;

jei 10<X Tada 20 svarų F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

jei 20<X Tada £30 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jei 30<X Tada 40 svarų F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jei 40<X Tada £50 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Jeigu X> 50, tada F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

PASKIRSTYMO DĖSNIS IR CHARAKTERISTIKOS

ATSITIKTINIAI KINTAMAI

Atsitiktiniai dydžiai, jų klasifikacija ir aprašymo metodai.

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, bet kuris iš anksto nežinomas. Todėl atsitiktiniam dydžiui galite nurodyti tik reikšmes, iš kurių vienos tikrai reikės kaip eksperimento rezultatas. Toliau šias reikšmes vadinsime galimomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis. Kadangi atsitiktinis dydis kiekybiškai apibūdina atsitiktinį eksperimento rezultatą, jį galima laikyti kiekybine atsitiktinio įvykio charakteristika.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis, pavyzdžiui, X..Y..Z, o galimos jų reikšmės – atitinkamomis mažomis raidėmis.

Yra trijų tipų atsitiktiniai dydžiai:

Diskretus; Nepertraukiamas; Mišrus.

Diskretus yra atsitiktinis dydis, kurio galimų reikšmių skaičius sudaro skaičiuojamą aibę. Savo ruožtu aibė, kurios elementus galima sunumeruoti, vadinama skaičiuojama. Žodis „diskretus“ kilęs iš lotyniško žodžio discretus, reiškiančio „nepertraukiamas, susidedantis iš atskirų dalių“.

1 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra sugedusių dalių X skaičius nproduktų partijoje. Iš tiesų, galimos šio atsitiktinio dydžio reikšmės yra sveikųjų skaičių nuo 0 iki n.

2 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis kintamasis yra šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį. Čia, kaip ir 1 pavyzdyje, galimos reikšmės gali būti sunumeruotos, nors ribiniu atveju galima reikšmė yra be galo didelis skaičius.

Nuolatinis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą skaitinės ašies intervalą, kartais vadinamą šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalu. Taigi bet kuriame baigtiniame egzistavimo intervale nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra be galo didelis.

3 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra įmonės elektros energijos suvartojimas per mėnesį.

4 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra paklaida matuojant aukštį naudojant aukščiamatį. Iš aukščiamačio veikimo principo aišku, kad paklaida yra intervale nuo 0 iki 2 m. Todėl šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalas yra intervalas nuo 0 iki 2 m.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinis dydis laikomas visiškai apibrėžtu, jei jo galimos reikšmės nurodytos skaitinėje ašyje ir nustatytas skirstymo dėsnis.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio verčių ir atitinkamų tikimybių.

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis yra paskirstytas pagal tam tikrą dėsnį arba jam taikomas tam tikras pasiskirstymo dėsnis. Kai kurie tikimybių, pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos yra naudojami kaip pasiskirstymo dėsniai.

Pasiskirstymo dėsnis pateikia pilną tikėtiną atsitiktinio dydžio aprašymą. Pagal pasiskirstymo dėsnį, prieš eksperimentą galima nuspręsti, kurios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės pasirodys dažniau, o kurios rečiau.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Paprasčiausias diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nurodymo būdas yra lentelė (matrica), kurioje didėjimo tvarka surašytos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jas atitinkančios tikimybės, t.y.

Tokia lentelė vadinama diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka. 1

Įvykiai X 1, X 2,..., X n, susidedantys iš to, kad atlikus testą atsitiktinis dydis X atitinkamai įgis x 1, x 2,... x n reikšmes. nenuoseklūs ir vieninteliai galimi (kadangi lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės), t.y. sudaryti pilną grupę. Todėl jų tikimybių suma lygi 1. Taigi bet kuriam diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui

(Šis vienetas kažkaip paskirstomas tarp atsitiktinio dydžio reikšmių, taigi ir terminas „paskirstymas“).

Paskirstymo eilutes galima pavaizduoti grafiškai, jei atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o jų atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Sujungus gautus taškus, susidaro trūkinė linija, vadinama tikimybių skirstinio daugiakampiu arba daugiakampiu (1 pav.).

PavyzdysĮ loteriją įeina: automobilis, kurio vertė 5000 den. vnt., 4 televizoriai, kainuojantys 250 den. vnt., 5 vaizdo registratoriai, kurių vertė 200 den. vienetų Iš viso 7 dienoms parduodama 1000 bilietų. vienetų Sudarykite loterijos dalyvio, įsigijusio vieną bilietą, grynųjų laimėjimų paskirstymo įstatymą.

Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės - grynasis laimėjimas už bilietą - yra lygios 0-7 = -7 pinigai. vienetų (jei bilietas nelaimėjo), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienetų (jei biliete yra atitinkamai vaizdo grotuvo, televizoriaus ar automobilio laimėjimai). Atsižvelgdami į tai, kad iš 1000 bilietų nelaimėjusiųjų skaičius yra 990, o nurodyti laimėjimai yra atitinkamai 5, 4 ir 1, ir naudojant klasikinį tikimybės apibrėžimą, gauname.

1 apibrėžimas

Atsitiktinis kintamasis $X$ vadinamas diskrečiu (nepertraukiamu), jei jo reikšmių aibė yra begalinė arba baigtinė, bet skaičiuojama.

Kitaip tariant, dydis vadinamas diskrečiu, jei jo reikšmes galima sunumeruoti.

Atsitiktinis dydis gali būti apibūdintas naudojant pasiskirstymo dėsnį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje nurodomos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės didėjančia tvarka, o antroje eilutėje yra atitinkamos jų tikimybės. vertės:

1 paveikslas.

kur $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Ši lentelė yra netoli diskretinio atsitiktinio dydžio skirstinio.

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibė yra begalinė, tai eilutė $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ susilieja ir jos suma bus lygi $1$.

Grafiškai gali būti pavaizduotas diskretinio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnis, kuriam koordinačių sistemoje (stačiakampyje) sukonstruota laužta linija, kuri nuosekliai sujungia taškus su koordinatėmis $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Linija, kurią gavome, vadinama paskirstymo daugiakampis.

2 pav.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį taip pat galima pavaizduoti analitiškai (naudojant formulę):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operacijos su diskrečiomis tikimybėmis

Sprendžiant daugelį tikimybių teorijos uždavinių, reikia atlikti operacijas, kai diskrečiųjį atsitiktinį dydį dauginant iš konstantos, sudedant du atsitiktinius dydžius, padauginant, pakeičiant laipsniu. Tokiais atvejais būtina laikytis šių atsitiktinių atskirų kiekių taisyklių:

3 apibrėžimas

Daugyba Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ konstanta $K$ yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių $Y=KX,$, kuris nustatomas pagal lygybes: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

4 apibrėžimas

Iškviečiami du atsitiktiniai dydžiai $x$ ir $y$ nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgijo antrasis dydis.

5 apibrėžimas

Suma du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami atsitiktiniu dydžiu $Z=X+Y,$ nustatomas lygybėmis: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

6 apibrėžimas

Daugyba du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami atsitiktiniu dydžiu $Z=XY,$ nustatoma pagal lygybes: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Atsižvelkime į tai, kad kai kurie produktai $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ gali būti lygūs vienas kitam. Šiuo atveju sandaugos pridėjimo tikimybė yra lygi atitinkamų tikimybių sumai.

Pavyzdžiui, jei $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, tikimybė $x_2y_3$ (arba to paties $x_5y_7$) bus lygi $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma sumai. Jei $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, tada $x_1+\ y_2$ (arba to paties $x_4+\ y_6$) tikimybė bus lygi $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Atsitiktinius dydžius $X$ ir $Y$ nurodo skirstymo dėsniai:

3 pav.

Kur $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Tada sumos $X+Y$ pasiskirstymo dėsnis turės formą

4 pav.

Ir produkto $XY$ pasiskirstymo dėsnis turės formą

5 pav.

Paskirstymo funkcija

Išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą taip pat pateikia pasiskirstymo funkcija.

Geometriškai pasiskirstymo funkcija paaiškinama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis reikšmę, kurią skaičių tiesėje atvaizduoja taškas, esantis kairėje nuo taško $x$.